Стек (математика)

В математике стек — или 2-пучок это, грубо говоря, пучок, который принимает значения в категориях, а не в наборах. Стеки используются для формализации некоторых основных конструкций теории спуска и для построения стеков тонких модулей, когда пространства точных модулей не существуют.

Теория спуска занимается обобщениями ситуаций, когда изоморфные , совместимые геометрические объекты (такие как векторные расслоения в топологических пространствах ) могут быть «склеены» в пределах ограничения топологического базиса. В более общей схеме ограничения заменяются откатами ; тогда расслоенные категории создают хорошую основу для обсуждения возможности такого склеивания. Интуитивное значение стека состоит в том, что это расслоенная категория, в которой «работают все возможные склейки». Спецификация склеек требует определения покрытий, относительно которых могут рассматриваться склейки. Оказывается, что общим языком описания этих накрытий является язык топологии Гротендика . Таким образом, стек формально задается как расслоенная категория над другой базовой категорией, где база имеет топологию Гротендика и где расслоенная категория удовлетворяет нескольким аксиомам, которые обеспечивают существование и уникальность определенных склеек относительно топологии Гротендика.

Обзор

Стеки — это базовая структура алгебраических стеков (также называемых стеками Артина) и стеков Делиня-Мамфорда, которые обобщают схемы и алгебраические пространства и особенно полезны при изучении пространств модулей . Есть включения:

схемы ⊆ алгебраические пространства ⊆ стеки Делиня–Мамфорда ⊆ алгебраические стеки (стеки Артина) ⊆ стеки.

Эдидин (2003) и Фантечи (2001) дают краткое введение в стеки, Гомес (2001) , Олссон (2007) и Вистоли (2005) дают более подробное введение, а Лаумон и Море-Байи (2000) описывают более продвинутую теорию. .

Мотивация и история

Практический вывод, к которому я пришел сейчас, состоит в том, что всякий раз, когда по моим критериям, множество модулей (вернее, схема модулей) для классификации вариаций (глобальных или бесконечно малых) определенных структур (полных неособых многообразий, векторных расслоений и т. д.) не может существовать, несмотря на хорошие гипотезы плоскостности, чистоты и, возможно, несингулярности, причина лишь в существовании автоморфизмов структуры, препятствующих спуску техники с ходьбы.

Письмо Гротендика Серру, 5 ноября 1959 г.

Концепция суммирования берет свое начало в определении данных эффективного спуска Гротендиком (1959) .В письме Серру в 1959 году Гротендик заметил, что фундаментальным препятствием для построения хороших пространств модулей является существование автоморфизмов . Основная мотивация использования стеков заключается в том, что если пространство модулей для некоторой задачи не существует из-за существования автоморфизмов, все равно можно построить стек модулей .

Мамфорд (1965) изучал группу Пикара набора модулей эллиптических кривых до того, как были определены стеки. Стеки были впервые определены Жиро ( 1966 , 1971 ), а термин «стек» был введен Делинем и Мамфордом (1969) для обозначения оригинального французского термина «champ», означающего «поле». В этой статье они также представили стеки Делиня-Мамфорда , которые они назвали алгебраическими стеками, хотя термин «алгебраический стек» теперь обычно относится к более общим стекам Артина, введенным Артином ( 1974 ).

При определении факторов схем групповыми действиями часто невозможно, чтобы фактор был схемой и при этом удовлетворял желаемым свойствам фактора. Например, если несколько точек имеют нетривиальные стабилизаторы, то категориальное частное не будет существовать среди схем, а будет существовать в виде стека.

Точно так же пространства модулей кривых, векторных расслоений или других геометрических объектов часто лучше всего определять как стопки, а не как схемы. Конструирование пространств модулей часто начинается с построения большего пространства, параметризующего рассматриваемые объекты, а затем факторизации по групповому действию для учета объектов с пересчитанными автоморфизмами.

Определения

Абстрактные стопки

Категория $c$ с функтором в категорию $C$ называется расслоенной категорией над $C$ если для любого морфизма $F:X\to Y$ в $C$ и любой предмет $y$ из $c$ с изображением $Y$ (под функтором) происходит откат $f:x\to y$ из $y$ к $F$. Это означает морфизм с изображением $F$ такой, что любой морфизм $g:z\to y$ с изображением $G=F\circ H$ может быть факторизован как $g=f\circ h$ уникальным морфизмом $h:z\to x$ в $c$ такой, что функтор отображает $h$ к $H$. Элемент $x=F^{*}y$ называется откатом ​ $y$ вдоль $F$ и единственна с точностью до канонического изоморфизма.

Категория c называется предстеком над категорией C с топологией Гротендика , если она расслоена над C и для любого объекта U из C и объектов x , y из c с образом U функтор из над категории C/U устанавливает перевод F : V → U в Hom( F * x , F * y ) является пучком. Эта терминология не согласуется с терминологией для пучков: предварительные стопки являются аналогами отдельных предпучков, а не предпучков. Некоторые авторы требуют, чтобы это было свойством стеков, а не пред-стеков.

Категория c называется стеком над категорией C с топологией Гротендика, если она представляет собой предварительное суммирование над C и все данные спуска эффективны. База спуска покрытия объекта V из C семейством Vi _Vi , элементов x _i в слое над данных _{состоит примерно из} и морфизмов f _ji ограничениями x _i и x _j на V _ij = Vi _× между _V V _j удовлетворяющий условию совместимости f _{ki знак} равно f _kj f _ji . База данных спуска называется эффективной , если элементы x _i по существу являются откатами элемента x с изображением V .

Стек называется стеком в группоидах или (2,1)-пучком , если он также расслоен на группоиды, то есть его слои (прообразы объектов C ) являются группоидами. Некоторые авторы используют слово «стек» для обозначения более ограничительного понятия стека в группоидах.

Алгебраические стеки

Основная статья: Алгебраический стек

Алгебраический стек или стек Артина — это стек в группоидах X на сайте fppf, такой, что диагональная карта X представима и существует плавная сюръекция из схемы (связанной с ней) в X.Морфизм Y $\rightarrow$ X стопок представимо , если для любого морфизма S $\rightarrow$ X из (ассоциированного стека) схемы в X, расслоенное произведение Y × _X   S изоморфно (ассоциированному стеку) алгебраическому пространству . Расслоенное произведение стеков определяется с использованием обычного универсального свойства и замены требования коммутации диаграмм на требование 2-коммутации . См. также морфизм алгебраических стеков для получения дополнительной информации.

Мотивация представимости диагонали следующая: диагональный морфизм $\Delta :{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {X}}\times {\mathfrak {X}}$ представимо тогда и только тогда, когда для любой пары морфизмов алгебраических пространств $X,Y\to {\mathfrak {X}}$, их волокнистый продукт $X\times _{\mathfrak {X}}Y$ является представительным.

Стек Делиня-Мамфорда — это алгебраический стек X такой, что существует этальная сюръекция от схемы к X . Грубо говоря, стопки Делиня–Мамфорда можно рассматривать как алгебраические стопки, объекты которых не имеют бесконечно малых автоморфизмов.

Локальная структура алгебраических стеков

С момента появления алгебраических стеков ожидалось, что они представляют собой локально факторизованные стопки вида $[{\text{Spec}}(A)/G]$ где $G$ — линейно редуктивная алгебраическая группа . Недавно это было доказано: учитывая квазиразделенный алгебраический стек ${\mathfrak {X}}$ локально конечного типа над алгебраически замкнутым полем $k$ чьи стабилизаторы аффинны, и $x\in {\mathfrak {X}}(k)$ гладкая и замкнутая точка с линейно редуктивной стабилизирующей группой $G_{x}$, существует этальное покрытие фактора GIT $(U,u)\to (N_{x}//G_{x},0)$, где $N_{x}=(J_{x}/J_{x}^{2})^{\vee }$, такой, что диаграмма

${\begin{matrix}([W/G_{x}],w)&\to &([N_{x}/G_{x}],0)\\\downarrow &&\downarrow \\(U,u)&\to &(N_{x}//G_{x},0)\end{matrix}}$

является декартовым и существует этальный морфизм

$f:([W/G_{x}],w)\to ({\mathfrak {X}},x)$

индуцируя изоморфизм групп стабилизаторов в $w$ и $x$.

Примеры

Элементарные примеры

• Каждый сноп ${\mathcal {F}}:C^{op}\to Sets$ из категории $C$ с топологией Гротендика канонически можно превратить в стек. Для объекта $X\in {\text{Ob}}(C)$, вместо набора ${\mathcal {F}}(X)$ существует группоид, объекты которого являются элементами ${\mathcal {F}}(X)$ а стрелки — тождественный морфизм.
• Более конкретно, пусть $h$ быть контравариантным оператором

$h:(Sch/S)^{op}\to Sets$

Тогда этот функтор определяет следующую категорию $H$

1. объект - это пара $(X\to S,x)$ состоящий из схемы $X$ в $(Sch/S)^{op}$ и элемент $x\in h(X)$
2. морфизм $(X\to S,x)\to (Y\to S,y)$ состоит из морфизма $\phi :X\to Y$ в $(Sch/S)$ такой, что $h(\phi )(y)=x$.

Через функтор забывчивости $p:H\to (Sch/S)$, категория $H$ это категория, расслоенная на $(Sch/S)$. Например, если $X$ это схема в $(Sch/S)$, то он определяет контравариантный функтор $h=\operatorname {Hom} (-,X)$ и соответствующая расслоенная категория – это связанный с X. стек , Стеки (или предварительные стопки) могут быть построены как вариант этой конструкции. Фактически любая схема $X$ с квазикомпактной диагональю – это алгебраический стек, сопоставленный схеме $X$.

Стеки объектов

• Групповой стек .
• Стек модулей векторных расслоений : категория векторных расслоений V → S представляет собой стек над категорией топологических S. пространств Морфизм из V → S в W → T состоит из непрерывных отображений из S в T и из V в W (линейных на слоях) таких, что очевидный квадрат коммутирует. Условие того, что это расслоенная категория, следует из того, что можно выполнять обратные образы векторных расслоений над непрерывными отображениями топологических пространств, а условие эффективности спускаемых данных следует из того, что можно построить векторное расслоение над пространством, склеив векторные расслоения на элементы открытой крышки.
• Стек квазикогерентных пучков на схемах (относительно fpqc-топологии и более слабых топологий)
• Стек аффинных схем на базовой схеме (опять же относительно топологии fpqc или более слабой)

Конструкции со штабелями

Стековые коэффициенты

Если $X$ это схема $(Sch/S)$ и $G$ представляет собой гладкую аффинную групповую схему, действующую на $X$, то существует фактор-алгебраический стек $[X/G]$, принимая схему $Y\to S$ к группоиду $G$-торсоры над $S$-схема $Y$ с $G$-эквивариантные отображения в $X$. Явно, учитывая пространство $X$ с $G$-действие, сформировать стек $[X/G]$, который (интуитивно говоря) отправляет пробел $Y$ к группоиду обратных диаграмм

$[X/G](Y)={\begin{Bmatrix}Z&{\xrightarrow {\Phi }}&X\\\downarrow &&\downarrow \\Y&{\xrightarrow {\phi }}&[X/G]\end{Bmatrix}}$

где $\Phi$ это $G$-эквивариантный морфизм пространств и $Z\to Y$является директором $G$-пучок. Морфизмы этой категории — это просто морфизмы диаграмм, у которых стрелки в правой части равны, а стрелки в левой части — морфизмы главного $G$-связки.

Классификация стеков

Частный случай этого, когда X является точкой, дает классифицирующий стек BG гладкой аффинной групповой схемы G : ${\textbf {B}}G:=[pt/G].$ Он назван так из-за категории $\mathbf {B} G(Y)$, слой над Y , является в точности категорией $\operatorname {Bun} _{G}(Y)$ основного $G$-связывается $Y$. Обратите внимание, что $\operatorname {Bun} _{G}(Y)$ сам по себе может рассматриваться как стек, стек модулей главных G -расслоений на Y .

Важным подпримером из этой конструкции является $\mathbf {B} GL_{n}$, который представляет собой стек модулей принципала $GL_{n}$-связки. Поскольку данные принципала $GL_{n}$-bundle эквивалентен данным ранга $n$ векторное расслоение, оно изоморфно стеку модулей ранга $n$ векторные пучки $Vect_{n}$.

Стек модулей линейных пучков

Стек модулей линейных расслоений $B\mathbb {G} _{m}$ поскольку каждое линейное расслоение канонически изоморфно главному $\mathbb {G} _{m}$-пучок. Действительно, учитывая линейный расслоение $L$ по схеме $S$, относительная спецификация

${\underline {\text{Spec}}}_{S}({\text{Sym}}_{S}(L^{\vee }))\to S$

дает геометрическое линейное расслоение. Удалив образ нулевого сечения, получим главный $\mathbb {G} _{m}$-пучок. И наоборот, из представления $id:\mathbb {G} _{m}\to {\text{Aut}}(\mathbb {A} ^{1})$, связанный линейный пучок может быть восстановлен.

Шкивы

Герб . — это локально непустой стек в группоидах, например тривиальный герб $BG$ который присваивает каждой схеме группоид принципала $G$-связки по схеме, для какой-то группы $G$.

Относительная спецификация и проект

Если A — квазикогерентный пучок алгебр в алгебраическом стеке X над схемой S , то существует стек Spec( A ), обобщающий конструкцию спектра Spec( A ) коммутативного кольца A . Объект Spec( A ) задается S -схемой T , объектом x схемы X ( T ) и морфизмом пучков алгебр из x *( A ) в координатное кольцо O ( T ) схемы T .

Если A — квазикогерентный пучок градуированных алгебр в алгебраическом стеке X над схемой S , то существует стек Proj( A ), обобщающий конструкцию проективной схемы Proj( A градуированного кольца A. )

Стеки модулей

Модули кривых

• Мамфорд (1965) изучил стек модулей M _1,1 эллиптических кривых и показал, что его группа Пикара является циклической 12-го порядка. Для эллиптических кривых над комплексными числами соответствующий стек подобен фактору верхней полуплоскости по формуле действие модульной группы .
• Пространство модулей алгебраических кривых ${\mathcal {M}}_{g}$ определяется как универсальное семейство гладких кривых заданного рода $g$ не существует как алгебраическое многообразие, поскольку, в частности, существуют кривые, допускающие нетривиальные автоморфизмы. Однако существует стек модулей ${\mathcal {M}}_{g}$, что является хорошей заменой несуществующему пространству тонких модулей гладкого рода $g$ кривые. В более общем смысле существует стек модулей ${\mathcal {M}}_{g,n}$ рода $g$ кривые с $n$ отмеченные точки. В общем, это алгебраический стек и стек Делиня – Мамфорда для $g\geq 2$ или $g=1,n\geq 1$ или $g=0,n\geq 3$ (другими словами, когда группы автоморфизмов кривых конечны). Этот стек модулей имеет пополнение, состоящее из стека модулей устойчивых кривых (при заданных $g$ и $n$), что является правильным над Spec Z . Например, ${\mathcal {M}}_{0}$ это классифицирующий стек $B{\text{PGL}}(2)$ проективной общей линейной группы. (Есть тонкость в определении ${\mathcal {M}}_{1}$, поскольку для его построения приходится использовать алгебраические пространства, а не схемы.)

Kontsevich moduli spaces

Другим широко изученным классом пространств модулей являются пространства модулей Концевича, параметризующие пространство устойчивых отображений кривых фиксированного рода в фиксированное пространство. $X$ образ которого представляет собой фиксированный класс когомологий. Эти пространства модулей обозначаются

${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,\beta )$

и могут иметь дикое поведение, например, представлять собой сокращаемые стопки, компоненты которых имеют неравную размерность. Например, стек модулей

${\overline {\mathcal {M}}}_{1,0}(\mathbb {P} ^{2},3[H])$

имеет гладкие кривые, параметризованные открытым подмножеством $U\subset \mathbb {P} ^{9}=\mathbb {P} (\Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(3)))$. На границе пространства модулей, где кривые могут вырождаться в приводимые кривые, находится подстек, параметризующий приводимые кривые рода $0$ компонент и род $1$ компонент пересекается в одной точке, и карта отправляет род $1$ кривая в точку. Поскольку все подобные рода $1$ кривые параметризуются $U$, и есть доп. $1$ размерный выбор места пересечения этих кривых на роду $1$ кривая, граничная составляющая имеет размерность $10$.

Другие стеки модулей

• Стек Пикара обобщает разновидность Пикара .
• Стек модулей формальных групповых законов классифицирует формальные групповые законы .
• Инди -схема, такая как бесконечное проективное пространство и формальная схема, представляет собой стек.
• Стек модулей штук используется в геометрической программе Ленглендса . (См. также штуки .)

Геометрические стопки

Взвешенные проективные стеки

Построение взвешенных проективных пространств включает в себя фактормногообразие некоторых $\mathbb {A} ^{n+1}-\{0\}$ по $\mathbb {G} _{m}$-действие. В частности, действие отправляет кортеж

$g\cdot (x_{0},\ldots ,x_{n})\mapsto (g^{a_{0}}x_{0},\ldots ,g^{a_{n}}x_{n})$

и частное этого действия дает взвешенное проективное пространство $\mathbb {WP} (a_{0},\ldots ,a_{n})$. Поскольку вместо этого это можно принять как фактор стека, взвешенный проективный стек ^{стр. 30} является

${\textbf {WP}}(a_{0},\ldots ,a_{n}):=[\mathbb {A} ^{n}-\{0\}/\mathbb {G} _{m}]$

Взяв исчезающее геометрическое место взвешенного многочлена в линейном расслоении $f\in \Gamma ({\textbf {WP}}(a_{0},\ldots ,a_{n}),{\mathcal {O}}(a))$ дает сложное взвешенное проективное разнообразие.

Сложные кривые

Сложные кривые , или орбикривые, можно построить, взяв фактор стека морфизма кривых по группе монодромии покрытия по общим точкам. Например, возьмем проективный морфизм

${\text{Proj}}(\mathbb {C} [x,y,z]/(x^{5}+y^{5}+z^{5}))\to {\text{Proj}}(\mathbb {C} [x,y])$

что вообще-то этально . Фактор стека домена по $\mu _{5}$ дает стек $\mathbb {P} ^{1}$ со стопорными точками, имеющими группу стабилизатора $\mathbb {Z} /5$ у пятых корней единства в $x/y$-диаграмма. Это потому, что это точки разветвления покрова.

Неаффинный стек

Примером неаффинного стека является полулиния с двумя стековыми началами. Это можно построить как копредел двух включений $[\mathbb {G} _{m}/(\mathbb {Z} /2)]\to [\mathbb {A} ^{1}/(\mathbb {Z} /2)]$.

Квазикогерентные пучки на алгебраических стопках

Основная статья: Квазикогерентный пучок на алгебраическом стеке

На алгебраическом стеке можно построить категорию квазикогерентных пучков, аналогичную категории квазикогерентных пучков над схемой.

Квазикогерентный пучок — это примерно такой пучок, который локально выглядит как пучок модуля над кольцом. Первая проблема состоит в том, чтобы решить, что понимать под словом «локально»: это предполагает выбор топологии Гротендика, и для этого существует множество возможных вариантов, каждый из которых имеет некоторые проблемы, и ни один из них не кажется полностью удовлетворительным. Топология Гротендика должна быть достаточно сильной, чтобы стек был локально аффинен в этой топологии: схемы локально аффинны в топологии Зарисского, поэтому это хороший выбор для схем, как обнаружил Серр, алгебраические пространства и стеки Делиня-Мамфорда локально аффинны в топологии Гротендика. этальная топология, поэтому для них обычно используется этальная топология, в то время как алгебраические стеки локально аффинны в гладкой топологии, поэтому в этом случае можно использовать гладкую топологию. Для общих алгебраических стеков в этальной топологии недостаточно открытых множеств: например, если G — гладкая связная группа, то единственными этальными покрытиями классифицирующего стека BG являются объединения копий BG, которых недостаточно для создания правильной теории. квазикогерентных пучков.

Вместо использования гладкой топологии для алгебраических стеков часто используется ее модификация, называемая топологией Lis-Et (сокращение от Lisse-Etale: lisse — французский термин, обозначающий «гладкость»), которая имеет те же открытые множества, что и гладкая топология, но открытые покрытия даются эталом, а не гладкими картами. Обычно кажется, что это приводит к эквивалентной категории квазикогерентных пучков, но ее проще использовать: например, ее легче сравнивать с этальной топологией в алгебраических пространствах. Топология Lis-Et имеет тонкую техническую проблему: морфизм между стеками, как правило, не дает морфизма между соответствующими топологиями. (Проблема в том, что, хотя можно построить пару сопряженных функторов f _* , f *, необходимых для геометрического морфизма топосов, функтор f * в общем случае не является точным слева. Эта проблема известна тем, что вызвала некоторые ошибки в опубликованные статьи и книги. ) Это означает, что построение обратного образа квазикогерентного пучка при морфизме стопок требует дополнительных усилий.

Также возможно использовать более тонкие топологии. Наиболее разумные «достаточно большие» топологии Гротендика, по-видимому, приводят к эквивалентным категориям квазикогерентных пучков, но чем больше топология, тем труднее с ней обращаться, поэтому обычно предпочитают использовать меньшие топологии, если они имеют достаточно открытых множеств. Например, большая топология fppf приводит по существу к той же категории квазикогерентных пучков, что и топология Lis-Et, но имеет тонкую проблему: естественное вложение квазикогерентных пучков в модули O _X в этой топологии неточно ( он вообще не сохраняет ядра).

Другие типы стека

Дифференцируемые стопки и топологические стопки определяются аналогично алгебраическим стопкам, за исключением того, что основная категория аффинных схем заменяется категорией гладких многообразий или топологических пространств.

В более общем смысле можно определить понятие n -пучка или стека n -1, который, грубо говоря, представляет собой своего рода пучок, принимающий значения в категориях n -1. Есть несколько неэквивалентных способов сделать это. 1-шки — это то же самое, что снопы, а 2-шки — это то же самое, что стопки. Их называют более высокими стеками .

Очень похожее и аналогичное расширение заключается в разработке теории стека для недискретных объектов (т. е. пространство на самом деле является спектром в алгебраической топологии). Получающиеся в результате стековые объекты называются производными стеками (или спектральными стеками). Джейкоба Лурье В готовящейся книге «Спектральная алгебраическая геометрия» изучается обобщение, которое он называет спектральным стеком Делиня-Мамфорда . По определению, это кольцевой ∞-топос , который локально является этальным спектром -кольца E _∞ ( это понятие включает понятие производной схемы , по крайней мере, в нулевой характеристике.)

Теоретико-множественные задачи

Существуют некоторые незначительные теоретические проблемы множеств с обычными основами теории стеков, поскольку стопки часто определяются как определенные функторы категории множеств и, следовательно, не являются множествами. Есть несколько способов справиться с этой проблемой:

• Можно работать с вселенными Гротендика: тогда стек является функтором между классами некоторой фиксированной вселенной Гротендика, поэтому эти классы и стеки устанавливаются в более крупной вселенной Гротендика. Недостаток этого подхода состоит в том, что приходится предполагать существование достаточного количества вселенных Гротендика, что, по сути, является большой кардинальной аксиомой.
• Можно определить стеки как функторы множества множеств достаточно большого ранга и внимательно отслеживать ранги различных используемых множеств. Проблема в том, что это требует дополнительной, довольно утомительной бухгалтерии.
• Можно использовать принципы отражения из теории множеств, утверждающие, что можно найти модели множеств любого конечного фрагмента аксиом ZFC, чтобы показать, что можно автоматически найти множества, которые являются достаточно близкими аппроксимациями вселенной всех множеств.
• Можно просто игнорировать проблему. Именно такого подхода придерживаются многие авторы.

См. также

• Алгебраический стек
• Группа Chow стека
• Стек Делиня – Мамфорда
• Словарь алгебраической геометрии
• Преследование стеков
• Факторпространство алгебраического стека
• Кольцо модульных форм
• Симплициальный предпучок
• Проект стеков
• Торический стек
• Обобщенное пространство

Ссылки

Педагогический

• Беренд, Кай; Конрад, Брайан; Эдидин, Дэн; Фултон, Уильям; Фантечи, Барбара; Гетше, Лотар; Креш, Эндрю (2006), Алгебраические стеки , заархивировано из оригинала 5 мая 2008 г.
• Гомес, Томас (1999), Алгебраические стеки , arXiv : math/9911199 , Bibcode : 1999math.....11199G — это пояснительная статья, описывающая основы стеков с примерами.
• Эдидин, Дэн (2003), «Что такое... стек?» (PDF) , Уведомления AMS , 50 (4): 458–459.

Путеводители по литературе

• https://maths-people.anu.edu.au/~alperj/papers/stacks-guide.pdf
• http://stacks.math.columbia.edu/tag/03B0

Ссылки

• Артин, Майкл (1974), «Версальные деформации и алгебраические стеки», Inventiones Mathematicae , 27 (3): 165–189, Bibcode : 1974InMat..27..165A , doi : 10.1007/BF01390174 , ISSN   0020-9910 , MR   0399094 , S2CID   122887093
• Делинь, Пьер ; Мамфорд, Дэвид (1969), «Неприводимость пространства кривых данного рода» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 36 (36): 75–109, CiteSeerX   10.1.1.589.288 , doi : 10.1007/BF02684599 , ISSN   1618-1913 , МР   0262240 , S2CID   16482150
• Фантечи, Барбара (2001), «Стеки для всех» (PDF) , Европейский математический конгресс, том I , Progr. Матем., вып. 201, Базель: Биркхойзер, стр. 349–359, ISBN.  3-7643-6417-3 , МР   1905329
• Жиро, Жан (1964), «Метод спуска» , Société Mathématique de France. Информационный бюллетень. Добавка. Память , 2 : viii+150, МР   0190142
• Жиро, Жан (1966), Неабелевы когомологии степени 2 , диссертация, Париж. {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Жиро, Жан (1971), Неабелевы когомологии , Springer , ISBN  3-540-05307-7
• Гомес, Томас Л. (2001), «Алгебраические стеки», Proceedings - Mathematical Sciences , 111 (1): 1–31, arXiv : math/9911199 , doi : 10.1007/BF02829538 , MR   1818418 , S2CID   373638
• Гротендик, Александр (1959). «Техника спуска и теоремы существования в алгебраической геометрии. I. Общие сведения. Спуск по точно плоским морфизмам» . Семинар Бурбаки . 5 (Иллюстрация 190).
• Лаумон, Джерард; Море-Байи, Лоран (2000), Алгебрические поля , результаты математики и ее границы. 3-й эпизод. Серия современных обзоров по математике, том. 39, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-65761-3 , MR   1771927 К сожалению, в этой книге использовано неверное утверждение, что морфизмы алгебраических стеков индуцируют морфизмы lisse-этальных топосов. Некоторые из этих ошибок были исправлены Олссоном (2007) .
• Ласло, Ив; Олссон, Мартин (2008), «Шесть операций для пучков на стопках Артина. I. Конечные коэффициенты», Institut des Hautes Études Scientifiques. Mathematical Publications , 107 (1): 109–168, arXiv : math/0512097 , doi : 10.1007/s10240-008-0011-6 , MR   2434692 , S2CID   371801
• Мамфорд, Дэвид (1965), «Группы Пикара задач модулей» , в Schilling, OFG (ред.), Арифметическая алгебраическая геометрия (Proc. Conf. Purdue Univ., 1963) , Нью-Йорк: Harper & Row, стр. 33– 81, МР   0201443
• Олссон, Мартин Кристиан (2007), Геращенко, Антон (ред.), Конспекты курса по математике 274: Стеки (PDF)
• Олссон, Мартин (2016), Алгебраические пространства и стеки , Публикации коллоквиума, том. 62, Американское математическое общество, ISBN.  978-1470427986
• Вистоли, Анджело (2005), «Топологии Гротендика, расслоенные категории и теория спуска», Фундаментальная алгебраическая геометрия , Матем. Обзоры Моногр., вып. 123, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Soc., стр. 1–104, arXiv : math/0412512 , Bibcode : 2004math.....12512V , MR   2223406

Дальнейшее чтение

• Морава, Джек (2012). «Теории чего угодно». arXiv : 1202.0684 [ math.CT ].

Внешние ссылки

• стек в n лаборатории
• спуск в n Lab
• де Йонг, Айс Йохан, Stacks Project
• Фултон, Уильям, Что такое стек? , видеолекция ИИГГ и конспекты
• Тоэн, Бертран (2007), Магистерский курс 2: Алгебраические поля (2006–2007)
• «Хорошие вводные ссылки по алгебраическим стекам?»