Кольцо модульных форм

В математике кольцо модулярных форм, с подгруппой Γ специальной линейной группы SL(2, Z ), является градуированным кольцом, порожденным модулярными формами Γ ассоциированное . Изучение колец модулярных форм описывает алгебраическую структуру пространства модулярных форм.

Определение

Пусть Γ — подгруппа SL(2, Z ) конечного индекса и Mk _{( Γ} ) — векторное пространство модулярных форм веса k . Кольцо модулярных форм группы Γ — это градуированное кольцо ${\textstyle M(\Gamma )=\bigoplus _{k\geq 0}M_{k}(\Gamma )}$.

Пример

Кольцо модулярных форм полной модулярной группы SL(2, Z ) порождается свободно рядами Эйзенштейна E ₄ и E ₆ . Другими словами, M _k (Γ) изоморфен $\mathbb {C}$-алгебра к $\mathbb {C} [E_{4},E_{6}]$, которое представляет собой кольцо многочленов двух переменных над комплексными числами .

Характеристики

Кольцо модулярных форм является градуированной алгеброй Ли, поскольку скобка Ли $[f,g]=kfg'-\ell f'g$ модулярных форм f и g соответствующих весов k и ℓ является модулярной формой веса k + ℓ + 2 . Скобка может быть определена для n -й производной модулярных форм, и такая скобка называется скобкой Рэнкина – Коэна .

Конгруэнц-подгруппы SL(2, Z)

В 1973 году Пьер Делинь и Майкл Рапопорт показали, что кольцо модулярных форм M(Γ) , конечно порождено когда Γ является конгруэнтной подгруппой группы SL(2, Z ) .

В 2003 году Лев Борисов и Пол Ганнеллс показали, что кольцо модулярных форм M(Γ) генерируется когда с весом не более 3, $\Gamma$ является конгруэнтной подгруппой $\Gamma _{1}(N)$ простого уровня N в SL(2, Z ) с помощью теории торических модулярных форм . В 2014 году Надим Рустом продлил результат Борисова и Ганнеллса на $\Gamma _{1}(N)$ на все уровни N , а также продемонстрировал, что кольцо модулярных форм конгруэнтной подгруппы $\Gamma _{0}(N)$ генерируется с весом не более 6 для некоторых уровней N .

В 2015 году Джон Войт и Дэвид Зурейк-Браун обобщили эти результаты: они доказали, что градуированное кольцо модулярных форм четного веса для любой конгруэнтной подгруппы Γ в SL(2, Z ) порождается с весом не более 6 с отношениями , порожденными с весом максимум 12. Опираясь на эту работу, в 2016 году Аарон Ландесман, Питер Рум и Робин Чжан показали, что те же оценки справедливы для полного кольца (все веса) с улучшенными оценками 5 и 10, когда Γ имеет некоторую ненулевой модулярную форму с нечетным весом.

Общие фуксовы группы

Фуксова группа Γ соответствует орбифолду , полученному из фактора $\Gamma \backslash \mathbb {H}$ верхней полуплоскости $\mathbb {H}$. Благодаря стековому обобщению теоремы существования Римана существует соответствие между кольцом модулярных форм Γ и кольцом конкретного сечения, тесно связанным с каноническим кольцом стековой кривой .

Существует общая формула для весов образующих и отношений колец модулярных форм, основанная на работах Войта и Цюрейка-Брауна, а также работах Ландесмана, Рума и Чжана.Позволять $e_{i}$ — порядки стабилизатора точек стека стековой кривой (эквивалентно точкам возврата орбифолда $\Gamma \backslash \mathbb {H}$), связанный с Γ . Если Γ не имеет ненулевых модулярных форм нечетного веса, то кольцо модулярных форм порождается весом не более $6\max(1,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})$ и имеет отношения, сгенерированные с весом не более $12\max(1,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})$. Если Γ имеет модулярную форму с ненулевым нечетным весом, то кольцо модулярных форм порождается весом не более $\max(5,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})$ и имеет отношения, сгенерированные с весом не более $2\max(5,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})$.

Приложения

В теории струн и суперсимметричной калибровочной теории алгебраическая структура кольца модулярных форм может быть использована для изучения структуры вакуума Хиггса четырехмерных калибровочных теорий с N = 1 суперсимметрией . Стабилизаторами суперпотенциалов в N = 4-суперсимметричной теории Янга–Миллса являются кольца модулярных форм конгруэнц-подгруппы Γ(2) группы SL(2, Z ) .