скобка Рэнкина – Коэна

В математике скобка Рэнкина-Коэна двух модулярных форм является еще одной модульной формой, обобщающей произведение двух модулярных форм. Рэнкин ( 1956 , 1957 ) дал некоторые общие условия, при которых многочлены от производных модулярных форм являются модулярными формами, а Коэн ( 1975 ) нашел явные примеры таких многочленов, которые дают скобки Рэнкина–Коэна. Они были названы Загиром ( 1994 ), который представил алгебры Рэнкина-Коэна как абстрактную среду для скобок Рэнкина-Коэна.

Определение

Если $f(\tau )$ и $g(\tau )$ являются модулярными формами веса k и h соответственно, то их n- я скобка Рэнкина–Коэна [ f , g ] _n определяется выражением

$[f,g]_{n}={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\sum _{r+s=n}(-1)^{r}{\binom {k+n-1}{s}}{\binom {h+n-1}{r}}{\frac {\mathrm {d} ^{r}f}{\mathrm {d} \tau ^{r}}}{\frac {\mathrm {d} ^{s}g}{\mathrm {d} \tau ^{s}}}\ .$

Это модульная форма веса k + h + 2 n . Обратите внимание, что фактор $(2\pi i)^{n}$ включен так, что коэффициенты q-разложения $[f,g]_{n}$ рациональны, если $f$ и $g$ являются. $d^{r}f/d\tau ^{r}$ и $d^{s}g/d\tau ^{s}$ являются стандартными производными , в отличие от производной по квадрату нома , которая иногда также используется.

Теория представлений

Загадочную формулу скобки Рэнкина–Коэна можно объяснить с точки зрения теории представлений . Модульные формы можно рассматривать как векторы наименьшего веса для представлений дискретной серии SL ₂ ( R ) в пространстве функций на SL ₂ ( R )/SL ₂ ( Z ). Тензорное произведение двух представлений с наименьшим весом, соответствующих модулярным формам f и g, разбивается как прямая сумма представлений с наименьшим весом, индексированных неотрицательными целыми числами n , и короткий расчет показывает, что соответствующие векторы наименьшего веса представляют собой скобки Рэнкина – Коэна [ ж , г ] _п .

Кольца модульных форм

Первая скобка Рэнкина-Коэна является скобкой Ли при рассмотрении кольца модулярных форм как алгебры Ли .

Ссылки

• Коэн, Анри (1975), «Суммы, включающие значения отрицательных целых чисел L-функций квадратичных символов», Math. Энн. , 217 (3): 271–285, doi : 10.1007/BF01436180 , MR   0382192 , Zbl   0311.10030
• Рэнкин, Р.А. (1956), «Построение автоморфных форм из производных заданной формы», J. Indian Math. Соц. , Новая серия, 20 : 103–116, МР   0082563 , Збл   0072.08601
• Рэнкин, Р.А. (1957), «Построение автоморфных форм из производных заданных форм», Michigan Math. Дж. , 4 : 181–186, doi : 10.1307/mmj/1028989013 , MR   0092870
• Загер, Дон (1994), «Модульные формы и дифференциальные операторы», Proc. Индийский акад. наук. Математика. наук. , Мемориальный выпуск К.Г. Раманатана, 104 (1): 57–75, doi : 10.1007/BF02830874 , MR   1280058 , Zbl   0806.11022