Стекистая кривая

В математике составная кривая — это объект алгебраической геометрии , который грубо представляет собой алгебраическую кривую с потенциально «дробными точками», называемыми стопочными точками . Стековая кривая — это тип стека, используемый при изучении теории Громова–Виттена , перечислительной геометрии и колец модулярных форм .

Стековые кривые тесно связаны с одномерными орбифолдами и поэтому иногда называются орбифолдными кривыми или орбикривыми .

Определение

Сложная кривая ${\mathfrak {X}}$ над полем k — гладкий собственный геометрически связный стек Делиня–Мамфорда размерности k 1 над полем , содержащий плотную открытую подсхему.

Характеристики

Слоистая кривая однозначно определяется (с точностью до изоморфизма) своим грубым пространством X (гладкой квазипроективной кривой над k ), конечным набором точек x _i (ее многослойные точки) и целыми числами n _i (ее порядки ветвления), большими, чем 1. Канонический делитель ​ ${\mathfrak {X}}$ сумме линейно эквивалентен канонического делителя X и дивизора ветвления R :

$K_{\mathfrak {X}}\sim K_{X}+R.$

Полагая g родом , грубого пространства X степень дивизора канонического ${\mathfrak {X}}$ поэтому:

$d=\deg K_{\mathfrak {X}}=2-2g-\sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}-1}{n_{i}}}.$

Слоистая кривая называется сферической, если d положительно, евклидовой , если d равно нулю, и гиперболической , если d отрицательно.

Хотя соответствующее утверждение теоремы Римана–Роха не выполняется для пакетных кривых, существует обобщение теоремы существования Римана , которое дает эквивалентность категорий между категорией пакетных кривых над комплексными числами и категорией комплексных орбифолдных кривых.

Приложения

Обобщение ГАГА для стековых кривых использовано при выводе теории алгебраической структуры колец модулярных форм .

Исследование стековых кривых широко используется в эквивариантной теории Громова–Виттена и перечислительной геометрии.