Модули алгебраических кривых

В алгебраической геометрии пространство модулей ( алгебраических ) кривых представляет собой геометрическое пространство (обычно схему или алгебраический стек ), точки которого представляют классы изоморфизма алгебраических кривых . Таким образом, это частный случай пространства модулей . В зависимости от ограничений, наложенных на рассматриваемые классы алгебраических кривых, соответствующая задача модулей и пространство модулей различаются. Для одной и той же проблемы модулей также различают тонкие и грубые пространства модулей .

Самая основная проблема — это вопрос о модулях гладких полных кривых фиксированного рода . Над полем комплексных чисел они соответствуют в точности компактным римановым поверхностям данного рода, для которых Бернхард Риман доказал первые результаты о пространствах модулей, в частности их размерности («количество параметров, от которых зависит комплексная структура»).

Стеки модулей устойчивых кривых

Стек модулей ${\mathcal {M}}_{g}$ классифицирует семейства гладких проективных кривых вместе с их изоморфизмами. Когда $g>1$ , этот стек можно компактифицировать, добавляя новые «граничные» точки, соответствующие устойчивым узловым кривым (вместе с их изоморфизмами). Кривая устойчива , если она полная, связная, не имеет особенностей, кроме двойных точек, и имеет лишь конечную группу автоморфизмов. Полученный стек обозначается ${\overline {\mathcal {M}}}_{g}$ . Оба набора модулей содержат универсальные семейства кривых.

Обе стопки выше имеют размерность $3g-3$ ; следовательно, стабильную узловую кривую можно полностью задать, выбрав значения $3g-3$ параметры, когда $g>1$ . В низшем роде необходимо учитывать наличие гладких семейств автоморфизмов, вычитая их количество. Существует ровно одна комплексная кривая нулевого рода — сфера Римана, и ее группа изоморфизмов — PGL(2). Отсюда размерность ${\mathcal {M}}_{0}$ равно

{\begin{aligned}\dim({\text{space of genus 0 curves}})-\dim({\text{group of automorphisms}})&=0-\dim(\mathrm {PGL} (2))\\&=-3.\end{aligned}}

Аналогично, в роде 1 существует одномерное пространство кривых, но каждая такая кривая имеет одномерную группу автоморфизмов. Следовательно, стек ${\mathcal {M}}_{1}$ имеет размерность 0.

Конструкция и неприводимость

Это нетривиальная теорема, доказанная Пьером Делинем и Дэвидом Мамфордом : ^[1] что стек модулей ${\mathcal {M}}_{g}$ неприводимо, то есть его нельзя выразить как объединение двух собственных подстеков. Они доказывают это, анализируя локус $H_{g}$ устойчивых кривых в схеме Гильберта $\mathrm {Hilb} _{\mathbb {P} ^{5g-5-1}}^{P_{g}(n)}$ триканонически вложенных кривых (в результате вложения очень обильного $\omega _{C}^{\otimes 3}$ для каждой кривой), которые имеют полином Гильберта $P_{g}(n)=(6n-1)(g-1)$ . Затем стек $[H_{g}/\mathrm {PGL} (5g-6)]$ является конструкцией пространства модулей ${\mathcal {M}}_{g}$ . Используя теорию деформации , Делинь и Мамфорд показывают, что этот стек гладкий, и используют стек изоморфизмов между устойчивыми кривыми. $\mathrm {Isom} _{S}(C,C')$ , чтобы показать это ${\mathcal {M}}_{g}$ имеет конечные стабилизаторы, следовательно, это стек Делиня – Мамфорда . Более того, они обнаруживают расслоение $H_{g}$ как

H_{g}^{o}\coprod H_{g,1}\coprod \cdots \coprod H_{g,n}

,

где $H_{g}^{o}$ – подсхема гладких устойчивых кривых и $H_{g,i}$ является неприводимой составляющей $S^{*}=H_{g}\setminus H_{g}^{o}$ . Они анализируют компоненты ${\mathcal {M}}_{g}^{0}=H_{g}^{0}/\mathrm {PGL} (5g-6)$ (как коэффициент GIT ). Если бы существовало несколько компонентов $H_{g}^{o}$ , ни один из них не будет полным. Кроме того, любой компонент $H_{g}$ должны содержать неособые кривые. Следовательно, единственное место $S^{*}$ связен, следовательно, содержится в одной компоненте $H_{g}$ . Более того, поскольку все компоненты пересекаются $S^{*}$ , все компоненты должны содержаться в одном компоненте, отсюда и грубое пространство $H_{g}$ является нередуцируемым. Из общей теории алгебраических стеков это означает фактор стека ${\mathcal {M}}_{g}$ является нередуцируемым.

Правильность

Правильность или компактность орбифолдов следует из теоремы об устойчивой редукции на кривых. ^[1] Это можно найти, используя теорему Гротендика об устойчивой редукции абелевых многообразий и показывая ее эквивалентность стабильной редукции кривых. ^[1]^{раздел 5.2}

Грубые пространства модулей

Можно также рассмотреть грубые пространства модулей, представляющие классы изоморфизма гладких или устойчивых кривых. Эти грубые пространства модулей фактически изучались до того, как было введено понятие стека модулей. Фактически, идея стека модулей была введена Делинем и Мамфордом в попытке доказать проективность грубых пространств модулей. В последние годы стало очевидно, что набор кривых на самом деле является более фундаментальным объектом.

Пространства грубых модулей имеют ту же размерность, что и стопки, когда $g>1$ ; однако в нулевом роде грубое пространство модулей имеет нулевую размерность, а в первом роде - единицу.

Примеры пространств модулей низкого рода

Род 0

Определение геометрии пространства модулей рода $0$ кривые могут быть установлены с использованием теории деформации . Число модулей для рода $0$ кривая, например $\mathbb {P} ^{1}$ , задается группой когомологий

$H^{1}(C,T_{C})$

Ввиду двойственности Серра эта группа когомологий изоморфна

${\begin{aligned}H^{1}(C,T_{C})&\cong H^{0}(C,\omega _{C}\otimes T_{C}^{\vee })\\&\cong H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})\end{aligned}}$

для дуализирующего пучка $\omega _{C}$ . Но использование Римана – Роха показывает, что степень канонического расслоения равна $-2$ , поэтому степень $\omega _{C}^{\otimes 2}$ является $-4$ , следовательно, глобальных разделов нет, то есть

$H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})=0$

показывающие отсутствие деформаций рода $0$ кривые. Это доказывает ${\mathcal {M}}_{0}$ это всего лишь одна точка и единственный род $0$ кривые определяются выражением $\mathbb {P} ^{1}$ . Единственная техническая трудность — группа автоморфизмов $\mathbb {P} ^{1}$ алгебраическая группа ${\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )$ , который затвердевает один раз в трех точках ^[2] на $\mathbb {P} ^{1}$ фиксированы, поэтому большинство авторов принимают ${\mathcal {M}}_{0}$ означать ${\mathcal {M}}_{0,3}$ .

Род 1

Случай рода 1 является одним из первых хорошо изученных случаев пространств модулей, по крайней мере, над комплексными числами, поскольку классы изоморфизма эллиптических кривых классифицируются J-инвариантом

$j:{\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }\to \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}$

где ${\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }={\mathcal {M}}_{1,1}\times _{{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}{\text{Spec}}(\mathbb {C} )$ . Топологически ${\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }$ это всего лишь аффинная линия, но ее можно компактифицировать в стек с лежащим в основе топологическим пространством. $\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}$ добавив стабильную кривую на бесконечности. Это эллиптическая кривая с единственным выступом. Построение общего случая закончено. ${\text{Spec}}(\mathbb {Z} )$ первоначально был завершен Делинем и Рапопортом . ^[3]

Обратите внимание, что большинство авторов рассматривают случай кривых рода один с одной отмеченной точкой как начало группы, поскольку в противном случае группа стабилизатора в гипотетическом пространстве модулей ${\mathcal {M}}_{1}$ в этой точке будет группа стабилизатора $[C]\in {\mathcal {M}}_{1}$ заданной кривой, поскольку эллиптические кривые имеют абелеву групповую структуру. Это добавляет ненужную техническую сложность этому гипотетическому пространству модулей. С другой стороны, ${\mathcal {M}}_{1,1}$ представляет собой гладкий стек Делиня–Мамфорда .

Род 2

Аффинное пространство параметров

состоит В роде 2 классический результат в том, что все такие кривые гиперэллиптические . ^[4]^{стр. 298} поэтому пространство модулей может быть полностью определено из места ветвления кривой с использованием формулы Римана – Гурвица . Поскольку произвольная кривая рода 2 задается многочленом вида

y^{2}-x(x-1)(x-a)(x-b)(x-c)

для некоторых однозначно определенных $a,b,c\in \mathbb {A} ^{1}$ пространство параметров для таких кривых определяется выражением

\mathbb {A} ^{3}\setminus (\Delta _{a,b}\cup \Delta _{a,c}\cup \Delta _{b,c}),

где $\Delta _{i,j}$ соответствует локусу $i\neq j$ . ^[5]

Взвешенное проективное пространство

Используя взвешенное проективное пространство и формулу Римана–Гурвица , гиперэллиптическая кривая может быть описана как многочлен вида ^[6]

z^{2}=ax^{6}+bx^{5}y+cx^{4}y^{2}+dx^{3}y^{3}+ex^{2}y^{4}+fxy^{5}+gy^{6},

где $a,\ldots ,f$ являются параметрами для разделов $\Gamma (\mathbb {P} (3,1),{\mathcal {O}}(g))$ . Тогда геометрическое место сечений, не содержащих тройного корня, содержит каждую кривую $C$ представлен точкой $[C]\in {\mathcal {M}}_{2}$ .

Род 3

Это первое пространство модулей кривых, которое имеет как гиперэллиптическое, так и негиперэллиптическое геометрическое положение. ^[7]^[8] Все негиперэллиптические кривые задаются плоскими кривыми степени 4 (с использованием формулы степени рода ), которые параметризуются гладким локусом в схеме Гильберта гиперповерхностей.

\operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} ^{2}}^{8t-4}\cong \mathbb {P} ^{{\binom {6}{4}}-1}

.

Затем пространство модулей расслаивается на подстеки

{\mathcal {M}}_{3}=[H_{2}/\mathrm {PGL} (3))]\coprod {\mathcal {M}}_{3}^{\mathrm {hyp} }

.

Бирациональная геометрия

Гипотеза об унирациональности

Во всех предыдущих случаях пространства модулей могут оказаться унирациональными , что означает, что существует доминирующий рациональный морфизм.

$\mathbb {P} ^{n}\to {\mathcal {M}}_{g}$

и давно ожидалось, что это будет справедливо для всех родов. Фактически, Севери доказал, что это верно для родов вплоть до $10$ . ^[9] Хотя оказывается, что для рода $g\geq 23$ ^[10]^[11]^[12] все такие пространства модулей имеют общий тип, то есть не унирациональны. Они достигли этого, изучив размерность Кодаиры грубых пространств модулей.

\kappa _{g}=\mathrm {Kod} ({\overline {\mathcal {M}}}_{g}),

и нашел $\kappa _{g}>0$ для $g\geq 23$ . Фактически, для $g>23$ ,

\kappa _{g}=3g-3=\dim({\mathcal {M}}_{g}),

и, следовательно, ${\mathcal {M}}_{g}$ носит общий тип.

Геометрическая импликация

Это важно с геометрической точки зрения, поскольку подразумевает, что любая линейная система линейчатого многообразия не может содержать универсальную кривую. ${\mathcal {C}}_{g}$ . ^[13]

Расслоение границы

Пространство модулей ${\overline {\mathcal {M}}}_{g}$ имеет естественное расслоение на границе $\partial {\overline {\mathcal {M}}}_{g}$ точки которого представляют собой особый род $g$ кривые. ^[14] Он распадается на пласты

\partial {\overline {\mathcal {M}}}_{g}=\coprod _{0\leq h\leq (g/2)}\Delta _{h}^{*}

,

где

$\Delta _{h}^{*}\cong {\overline {\mathcal {M}}}_{h}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{g-h}$ для $1\leq h<g/2$ .
$\Delta _{0}^{*}\cong {\overline {\mathcal {M}}}_{g-1,2}/(\mathbb {Z} /2)$ где действие меняет местами две отмеченные точки.
$\Delta _{g/2}\cong ({\overline {\mathcal {M}}}_{g/2}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{g/2})/(\mathbb {Z} /2)$ в любое время $g$ четный.

Кривые, лежащие выше этих локусов, соответствуют

Пара кривых $C,C'$ соединены в двойной точке.
Нормализация рода $g$ кривая в единственной двойной точке.
Пара кривых одного рода, соединенных в двойной точке с точностью до перестановки.

Стратификация для рода 2

Для рода $2$ случае существует стратификация, заданная

{\begin{aligned}\partial {\overline {\mathcal {M}}}_{2}&=\Delta _{0}^{*}\coprod \Delta _{1}^{*}\\&={\overline {\mathcal {M}}}_{1,2}/(\mathbb {Z} /2)\coprod ({\overline {\mathcal {M}}}_{1}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{1})/(\mathbb {Z} /2)\end{aligned}}

.

Дальнейший анализ этих слоев может быть использован для получения генераторов кольца Чоу. $A^{*}({\overline {\mathcal {M}}}_{2})$ ^[14] ^{предложение 9.1}.

Модули отмеченных кривых

Можно также обогатить задачу, рассмотрев стек модулей узловых кривых рода g с n отмеченными точками, попарно отличными и отличными от узлов. Такие отмеченные кривые называются устойчивыми, если подгруппа автоморфизмов кривых, фиксирующих отмеченные точки, конечна. Полученные стопки модулей гладких (или устойчивых) кривых рода g с n отмеченными точками обозначаются ${\mathcal {M}}_{g,n}$ (или ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ ) и имеют размерность $3g-3+n$ .

Особый интерес представляет стек модулей ${\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}$ кривых рода 1 с одной отмеченной точкой. Это стопка эллиптических кривых . уровня 1 Модульные формы — это секции линейных расслоений в этом стеке, а модульные формы уровня N — это секции линейных расслоений в стеке эллиптических кривых со уровня N структурой (примерно маркировка точек порядка N ).

Граничная геометрия

Важное свойство компактифицированных пространств модулей. ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ заключается в том, что их границу можно описать в терминах пространств модулей ${\overline {\mathcal {M}}}_{g',n'}$ для общего пользования $g'<g$ . Данной отмеченной стабильной узловой кривой можно связать ее двойственный граф , — граф вершины которого помечены неотрицательными целыми числами и могут иметь петли, кратные ребра, а также пронумерованные полуребра. Здесь вершины графа соответствуют неприводимым компонентам узловой кривой, метка вершины — арифметический род соответствующей компоненты, ребра — узлам кривой, а полуребра — меткам. Замыкание множества кривых заданным двойственным графом в ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ изоморфен фактору стека продукта $\prod _{v}{\overline {\mathcal {M}}}_{g_{v},n_{v}}$ компактифицированных пространств модулей кривых конечной группой. В произведении множитель, соответствующий вершине v, имеет род g _v, взятый из маркировки и количества маркировок. $n_{v}$ равно числу исходящих ребер и полуребер в точке v . Общий род g представляет собой сумму g _v плюс количество замкнутых циклов в графе.

Стабильные кривые, двойственный граф которых содержит вершину с меткой $g_{v}=g$ (следовательно, все остальные вершины имеют $g_{v}=0$ и граф является деревом) называются «рациональным хвостом», а пространство их модулей обозначается ${\mathcal {M}}_{g,n}^{\mathrm {r.t.} }$ . Стабильные кривые, двойственный график которых представляет собой дерево, называются «компактным типом» (поскольку якобиан компактен), а пространство их модулей обозначается ${\mathcal {M}}_{g,n}^{\mathrm {c.} }$ . ^[2]

См. также

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Делинь, Пьер ; Мамфорд, Дэвид (1969). «Неприводимость пространства кривых данного рода» . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 36 : 75–109. дои : 10.1007/BF02684599 . S2CID 16482150 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Фабер, Карел; Пандхарипанде, Рахул (2011). «Тавтологические и нетавтологические когомологии пространства модулей кривых». arXiv : 1101.5489 [ math.AG ].
^ Делинь, П.; Рапопорт, М. (1973), Диаграммы модулей эллиптических кривых , Конспект лекций по математике, вып. 349, Springer Berlin Heidelberg, стр. 143–316, номер домена : 10.1007/bfb0066716 , ISBN. 978-3-540-06558-6 , URL: http://publications.ias.edu/node/367.
^ Хартсхорн, Робин (29 июня 2013 г.). Алгебраическая геометрия . Нью-Йорк. ISBN 978-1-4757-3849-0 . ОСЛК 861706007 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Игуса, Дзюн-Ичи (1960). «Арифметическое разнообразие модулей второго рода». Анналы математики . 72 (3): 612–649. дои : 10.2307/1970233 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1970233 .
^ Ларсон, Эрик (17 апреля 2019 г.). «Целое кольцо Чоу ${\overline {M}}_{2}$ " .arXiv : 1904.08081 [ math.AG ].
^ Жирар, Мартина; Кохель, Дэвид Р. (2006), Хесс, Флориан; Паули, Себастьян; Похст, Майкл (ред.), «Классификация кривых рода 3 в особых слоях пространства модулей», Алгоритмическая теория чисел , том. 4076, Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg, стр. 346–360, arXiv : math/0603555 , Bibcode : 2006math......3555G , doi : 10.1007/11792086_25 , ISBN 978-3-540-36075-9 , МР 2282935 , S2CID 15638167
^ Пенев, Никола; Вакил, Рави (2015). «Кольцо Чоу пространства модулей кривых рода шесть». Алгебраическая геометрия . 2 (1): 123–136. arXiv : 1307.6614 . дои : 10.14231/ag-2015-006 . ISSN 2214-2584 . МР 3322200 . S2CID 54876684 .
^ Севери, Франческо (1879–1961). (1915). О классификации алгебраических кривых и теореме существования Римана . Типография Академии Р. Линчеи. OCLC 881814709 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
^ Эйзенбуд, Дэвид ; Харрис, Джо (1987). «Кодаирская размерность пространства модулей кривых рода ?23». Математические изобретения . 90 (2): 359–387. Бибкод : 1987InMat..90..359E . дои : 10.1007/bf01388710 . ISSN 0020-9910 . S2CID 120642775 .
^ Харрис, Джо ; Мамфорд, Дэвид (1982), «О размерности Кодайры пространства кривых модулей» (PDF) , Избранные статьи , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York, стр. 171–234, doi : 10.1007/978-1-4757 -4265-7_8 , ISBN 978-1-4419-1936-6
^ Харрис, Джо; Мамфорд, Дэвид (1982), «О размерности Кодайры пространства кривых модулей» , Избранные статьи , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York, стр. 171–234, doi : 10.1007/978-1-4757-4265- 7_8 , ISBN 978-1-4419-1936-6
^ Фаркас, Гаврил (2009). «Глобальная геометрия пространства модулей кривых». Алгебраическая геометрия . Труды симпозиумов по чистой математике. Том. 80. стр. 125–147. дои : 10.1090/pspum/080.1/2483934 . ISBN 9780821847022 . S2CID 8281102 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Арифметика и геометрия: доклады, посвященные И.Р. Шафаревичу к шестидесятилетию со дня рождения (PDF) . Шафаревич Игорь Ростиславович, 1923–2017, Артин, Майкл, Тейт, Джон Торренс, 1925–2019. Бостон: Биркхойзер. 1983. ISBN 978-1-4757-9286-7 . OCLC 681426064 . {{cite book}}: CS1 maint: другие ( ссылка )

Классические ссылки

Гротендик, Александр (1960–1961). «Техника построения в аналитической геометрии. I. Аксиоматическое описание пространства Тейхмюллера и его вариантов» (PDF) . Семинар Анри Картана . 13 (1). Париж. Збл 0142.33503 . Презентации №7 и 8.

Мамфорд, Дэвид ; Фогарти, Джон; Кирван, Фрэнсис Клэр (1994). Геометрическая теория инвариантов (3-е изд.). Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-56963-4 . МР 1304906 . OCLC 29184987 .
Делинь, Пьер ; Мамфорд, Дэвид (1969). «Неприводимость пространства кривых данного рода» (PDF) . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 36 : 75–109. CiteSeerX 10.1.1.589.288 . дои : 10.1007/bf02684599 . S2CID 16482150 .

Книги по модулям кривых

Харрис, Джо ; Моррисон, Ян (1998). Модули кривых . Спрингер Верлаг . ISBN 978-0-387-98429-2 .

Кац, Николас М ; Мазур, Барри (1985). Арифметические модули эллиптических кривых . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-08352-0 .
Арбарелло, Энрико; Корнальба, Маурицио; Гриффитс, Филипп А. (2011). Геометрия алгебраических кривых II . Основные принципы математических наук. Том 268. doi : 10.1007/978-3-540-69392-5 . ISBN 978-3-540-42688-2 .

Когомологии и теория пересечений

Звонкин, Дмитрий (2012). «Введение в пространства модулей кривых и теорию их пересечений». В Пападопулосе, Атанас (ред.). Справочник по теории Тейхмюллера, том III (PDF) . Лекции ИРМА по математике и теоретической физике. Том. 17. Цюрих, Швейцария: Издательство Европейского математического общества. стр. 667–716. дои : 10.4171/103-1/12 . ISBN 978-3-03719-103-3 . МР 2952773 .
Фабер, Карел; Пандхарипанде, Рахул (2013). «Тавтологические и нетавтологические когомологии пространства модулей кривых» (PDF) . В Фаркасе, Гаврила; Моррисон, Ян (ред.). Справочник модулей, Том. Я. Продвинутые лекции по математике (ALM). Том. 24. Сомервилл, Массачусетс: Международная пресса. стр. 293–330. ISBN 9781571462572 . МР 3184167 .

Внешние ссылки

«Топология и геометрия пространства модулей кривых» . Американский институт математики .
«Модули стабильных отображений, инварианты Громова-Виттена и квантовые когомологии»

[:0-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Делинь, Пьер ; Мамфорд, Дэвид (1969). «Неприводимость пространства кривых данного рода» . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 36 : 75–109. дои : 10.1007/BF02684599 . S2CID 16482150 .

[:2-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Фабер, Карел; Пандхарипанде, Рахул (2011). «Тавтологические и нетавтологические когомологии пространства модулей кривых». arXiv : 1101.5489 [ math.AG ].

[3] Делинь, П.; Рапопорт, М. (1973), Диаграммы модулей эллиптических кривых , Конспект лекций по математике, вып. 349, Springer Berlin Heidelberg, стр. 143–316, номер домена : 10.1007/bfb0066716 , ISBN. 978-3-540-06558-6 , URL: http://publications.ias.edu/node/367.

[4] Хартсхорн, Робин (29 июня 2013 г.). Алгебраическая геометрия . Нью-Йорк. ISBN 978-1-4757-3849-0 . ОСЛК 861706007 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[5] Игуса, Дзюн-Ичи (1960). «Арифметическое разнообразие модулей второго рода». Анналы математики . 72 (3): 612–649. дои : 10.2307/1970233 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1970233 .

[6] Ларсон, Эрик (17 апреля 2019 г.). «Целое кольцо Чоу ${\overline {M}}_{2}$ " .arXiv : 1904.08081 [ math.AG ].

[7] Жирар, Мартина; Кохель, Дэвид Р. (2006), Хесс, Флориан; Паули, Себастьян; Похст, Майкл (ред.), «Классификация кривых рода 3 в особых слоях пространства модулей», Алгоритмическая теория чисел , том. 4076, Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg, стр. 346–360, arXiv : math/0603555 , Bibcode : 2006math......3555G , doi : 10.1007/11792086_25 , ISBN 978-3-540-36075-9 , МР 2282935 , S2CID 15638167

[8] Пенев, Никола; Вакил, Рави (2015). «Кольцо Чоу пространства модулей кривых рода шесть». Алгебраическая геометрия . 2 (1): 123–136. arXiv : 1307.6614 . дои : 10.14231/ag-2015-006 . ISSN 2214-2584 . МР 3322200 . S2CID 54876684 .

[9] Севери, Франческо (1879–1961). (1915). О классификации алгебраических кривых и теореме существования Римана . Типография Академии Р. Линчеи. OCLC 881814709 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )

[10] Эйзенбуд, Дэвид ; Харрис, Джо (1987). «Кодаирская размерность пространства модулей кривых рода ?23». Математические изобретения . 90 (2): 359–387. Бибкод : 1987InMat..90..359E . дои : 10.1007/bf01388710 . ISSN 0020-9910 . S2CID 120642775 .

[11] Харрис, Джо ; Мамфорд, Дэвид (1982), «О размерности Кодайры пространства кривых модулей» (PDF) , Избранные статьи , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York, стр. 171–234, doi : 10.1007/978-1-4757 -4265-7_8 , ISBN 978-1-4419-1936-6

[12] Харрис, Джо; Мамфорд, Дэвид (1982), «О размерности Кодайры пространства кривых модулей» , Избранные статьи , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York, стр. 171–234, doi : 10.1007/978-1-4757-4265- 7_8 , ISBN 978-1-4419-1936-6

[13] Фаркас, Гаврил (2009). «Глобальная геометрия пространства модулей кривых». Алгебраическая геометрия . Труды симпозиумов по чистой математике. Том. 80. стр. 125–147. дои : 10.1090/pspum/080.1/2483934 . ISBN 9780821847022 . S2CID 8281102 .

[:1-14] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Арифметика и геометрия: доклады, посвященные И.Р. Шафаревичу к шестидесятилетию со дня рождения (PDF) . Шафаревич Игорь Ростиславович, 1923–2017, Артин, Майкл, Тейт, Джон Торренс, 1925–2019. Бостон: Биркхойзер. 1983. ISBN 978-1-4757-9286-7 . OCLC 681426064 . {{cite book}}: CS1 maint: другие ( ссылка )

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]