Тавтологическое кольцо

В алгебраической геометрии тавтологическое кольцо — это подкольцо кольца Чжоу пространства модулей кривых, порождённых тавтологическими классами. Это классы, полученные из 1 путем продвижения вперед по различным морфизмам, описанным ниже. Кольцо тавтологических когомологий — это образ тавтологического кольца при отображении цикла (от кольца Чжоу к кольцу когомологий).

Определение

Позволять ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ быть набором модулей устойчивых отмеченных кривых $(C;x_{1},\ldots ,x_{n})$ , такой, что

C — комплексная кривая арифметического рода g , единственными особенностями которой являются узлы,

n точками точек x ₁ , ..., x _n являются различными гладкими C ,

отмеченная кривая устойчива, а именно, ее группа автоморфизмов (оставляющая отмеченные точки инвариантными) конечна.

Последнее условие требует $2g-2+n>0$ другими словами ( g , n ) не входит в число (0,0), (0,1), (0,2), (1,0). Стек ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ тогда имеет размерность $3g-3+n$ . Помимо перестановок отмеченных точек, важную роль в определении тавтологических классов играют следующие морфизмы между этими стеками модулей:

Забывчивые карты ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n-1}$ которые действуют путем удаления данной точки x _k из набора отмеченных точек, а затем повторной стабилизации отмеченной кривой, если она больше не стабильна. ^{[ нужны разъяснения ]}.

Склейка карт ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n+1}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{g',n'+1}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g+g',n+n'}$ которые отождествляют k -ю отмеченную точку кривой с l -й отмеченной точкой другой. Еще один набор карт склейки ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n+2}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g+1,n}$ которые идентифицируют k -ю и l -ю отмеченные точки, тем самым увеличивая род за счет создания замкнутого цикла.

Тавтологические кольца $R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})$ одновременно определяются как наименьшие подкольца колец Чоу, замкнутые при проталкивании забвением и склейкой отображений. ^[1]

когомологий Кольцо тавтологических $RH^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})$ это образ $R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})$ под картой цикла. По состоянию на 2016 год неизвестно, изоморфны ли тавтологические и тавтологические кольца когомологий.

Генераторная установка

Для $1\leq k\leq n$ мы определяем класс $\psi _{k}\in R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})$ следующее. Позволять $\delta _{k}$ быть продвижением 1 вдоль карты склейки ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{0,3}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n+1}$ который отождествляет отмеченную точку x _k первой кривой с одной из трех отмеченных точек y _i на сфере (последний выбор неважен благодаря автоморфизмам). Для определенности упорядочите полученные точки как x ₁ , ..., x _{k −1} , y ₁ , y ₂ , x _{k +1} , ..., x _n . Затем $\psi _{k}$ определяется как продвижение вперед $-\delta _{k}^{2}$ по забывчивой карте, забывающей точку y ₂ . Этот класс совпадает с первым классом Чженя некоторого линейного расслоения. ^[1]

Для $i\geq 1$ мы также определяем $\kappa _{i}\in R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})$ быть движущей силой $(\psi _{k})^{i+1}$ по забывчивой карте ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n+1}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ который забывает k -ю точку. Это не зависит от k (просто переставьте точки).

Теорема.

R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})

аддитивно генерируется путем продвижения вдоль (любого количества) склеек карт мономов в

\psi

и

\kappa

занятия.

Эти выдвижения одночленов (далее называемые базовыми классами) не составляют основу. Набор отношений до конца не известен.

Теорема. Тавтологические кольца инвариантны относительно откатов по склейке и забывчивым отображениям. Существуют универсальные комбинаторные формулы, выражающие движения вперед, откаты и произведения базовых классов как линейные комбинации базовых классов.

Гипотезы Фабера

Тавтологическое кольцо $R^{\bullet }({\mathcal {M}}_{g,n})$ на пространстве модулей гладких n -точечных кривых рода g просто состоит из ограничений классов из $R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})$ . Мы опускаем n , когда оно равно нулю (когда нет отмеченной точки).

В случае $n=0$ кривых без отмеченной точки, предположил Мамфорд, а Мэдсен и Вайс доказали, что для любого $d>0$ карта $\mathbb {Q} [\kappa _{1},\kappa _{2},\ldots ]\to H^{\bullet }({\mathcal {M}}_{g})$ является изоморфизмом степени d для достаточно большого g . В этом случае все классы тавтологичны.

Гипотеза (Фабер). (1) Тавтологические кольца большой степени исчезают:

R^{d}({\mathcal {M}}_{g})=0

для

d>g-2.

(2)

R^{g-2}({\mathcal {M}}_{g})\cong \mathbb {Q}

и для этого изоморфизма существует явная комбинаторная формула. (3) Произведение (из кольца Чоу) классов определяет идеальное спаривание

R^{d}({\mathcal {M}}_{g})\times R^{g-d-2}({\mathcal {M}}_{g})\to R^{g-2}({\mathcal {M}}_{g})\cong \mathbb {Q} .

Хотя $R^{d}({\mathcal {M}}_{g})$ тривиально исчезает для $d>3g-3$ из-за размерности ${\mathcal {M}}_{g}$ , предполагаемая граница намного ниже. Гипотеза полностью определила бы структуру кольца: полином от $\kappa _{j}$ когомологической степени d обращается в нуль тогда и только тогда, когда его спаривание со всеми многочленами когомологической степени $g-d-2$ исчезает.

Части (1) и (2) гипотезы были доказаны. Часть (3), называемая также гипотезой Горенштейна, проверялась только на предмет $g<24$ . Для $g=24$ и высшего рода, несколько способов построения отношений между $\kappa$ классы обнаруживают один и тот же набор отношений, которые предполагают, что измерения $R^{d}({\mathcal {M}}_{g})$ и $R^{g-d-2}({\mathcal {M}}_{g})$ разные. Если набор отношений, найденных этими методами, полный, то гипотеза Горенштейна неверна. Помимо оригинального несистематического компьютерного поиска Фабера, основанного на классических отображениях между векторными расслоениями по ${\mathcal {C}}_{g}^{d}$ , d -я степень слоя универсальной кривой ${\mathcal {C}}_{g}={\mathcal {M}}_{g,1}\twoheadrightarrow {\mathcal {M}}_{g}$ , для нахождения связей использовались следующие методы:

Виртуальные классы пространства модулей стабильных частных (над $\mathbb {P} ^{1}$ ) Пандхарипанде и Пикстона. ^[2]

-спин Виттена Класс r и классификация когомологических теорий поля Гивенталя-Телемана, используемые Пандхарипанде, Пикстоном, Звонкиным. ^[3]

Геометрия универсального якобиана над ${\mathcal {M}}_{g,1}$ , Инь.

Степени тэта-дивизора на универсальном абелевом многообразии Грушевского и Захарова. ^[4]

Доказано, что эти четыре метода дают один и тот же набор отношений.

Аналогичные гипотезы были сформулированы для пространств модулей ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ устойчивых кривых и ${\mathcal {M}}_{g,n}^{\text{c.t.}}$ устойчивых кривых компактного типа. Однако Петерсен-Томмази ^[5] доказал, что $R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{2,20})$ и $R^{\bullet }({\mathcal {M}}_{2,8}^{\text{c.t.}})$ не подчиняются (аналоговой) гипотезе Горенштейна. С другой стороны, Тавакол ^[6] доказал, что для рода 2 пространство модулей устойчивых кривых с рациональными хвостами ${\mathcal {M}}_{2,n}^{\text{r.t.}}$ подчиняется условию Горенштейна для каждого n .

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Фабер, К.; Пандхарипанде, Р. (2011). «Тавтологические и нетавтологические когомологии пространства модулей кривых». arXiv : 1101.5489 [ math.AG ].
^ Пандхарипанде, Р.; Пикстон, А. (2013). «Отношения в тавтологическом кольце пространства модулей кривых». arXiv : 1301.4561 [ math.AG ].
^ Pandharipande, R.; Pixton, A.; Zvonkine, D. (2016). "Tautological relations via r-spin structures". arXiv : 1607.00978 [ math.AG ].
^ Грушевский, Самуил; Захаров, Дмитрий (2012). «Нулевое сечение универсального полуабелева многообразия и цикл двойного ветвления». Математический журнал Дьюка . 163 (5): 953–982. arXiv : 1206.3534 . дои : 10.1215/00127094-26444575 .
^ Петерсен, Дэн; Томмаси, Орсола (2012). «Гипотеза Горенштейна неверна для тавтологического кольца $\mathcal{\bar M}_{2,n}$». Математические изобретения . 196 (2014): 139. arXiv : 1210.5761 . Бибкод : 2014InMat.196..139P . дои : 10.1007/s00222-013-0466-z .
^ Тавакол, Мехди (2011). «Тавтологическое кольцо пространства модулей M_{2,n}^rt». arXiv : 1101.5242 [ math.AG ].

Вакил, Рави (2003), «Пространство модулей кривых и его тавтологическое кольцо» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 50 (6): 647–658, MR 1988577
Грабер, Том; Вакил, Рави (2001), «О тавтологическом кольце ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ ( PDF ) , Турецкий математический журнал , 25 (1): 237–243, MR 1829089

[auto-1] Jump up to: ^а ^б Фабер, К.; Пандхарипанде, Р. (2011). «Тавтологические и нетавтологические когомологии пространства модулей кривых». arXiv : 1101.5489 [ math.AG ].

[2] Пандхарипанде, Р.; Пикстон, А. (2013). «Отношения в тавтологическом кольце пространства модулей кривых». arXiv : 1301.4561 [ math.AG ].

[3] Pandharipande, R.; Pixton, A.; Zvonkine, D. (2016). "Tautological relations via r-spin structures". arXiv : 1607.00978 [ math.AG ].

[4] Грушевский, Самуил; Захаров, Дмитрий (2012). «Нулевое сечение универсального полуабелева многообразия и цикл двойного ветвления». Математический журнал Дьюка . 163 (5): 953–982. arXiv : 1206.3534 . дои : 10.1215/00127094-26444575 .

[5] Петерсен, Дэн; Томмаси, Орсола (2012). «Гипотеза Горенштейна неверна для тавтологического кольца $\mathcal{\bar M}_{2,n}$». Математические изобретения . 196 (2014): 139. arXiv : 1210.5761 . Бибкод : 2014InMat.196..139P . дои : 10.1007/s00222-013-0466-z .

[6] Тавакол, Мехди (2011). «Тавтологическое кольцо пространства модулей M_{2,n}^rt». arXiv : 1101.5242 [ math.AG ].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]