Jump to content

Теоремы о замене базы

В математике замене базы связывают прямой образ и обратный образ пучков теоремы о . Точнее, речь идет о карте изменения основания, заданной следующим естественным преобразованием пучков:

где

является декартовым квадратом топологических пространств и является пучком на X .

Такие теоремы существуют в разных разделах геометрии: для (по сути произвольных) топологических пространств и собственных отображений f , в алгебраической геометрии для (квази)когерентных пучков и собственного f или g- плоского, аналогично в аналитической геометрии , но также и для этальных пучков для f правильный или г гладкий.

Введение

[ редактировать ]

Простое явление замены базы возникает в коммутативной алгебре , когда A коммутативное кольцо , а B и A' — две A -алгебры. Позволять . В этой ситуации для данного B -модуля M существует изоморфизм ( A' -модулей):

Здесь индекс указывает на функтор забывания, т. е. является M , но рассматривается как A -модуль.Действительно, такой изоморфизм получается наблюдением

Таким образом, две операции, а именно функторы забывания и тензорные произведения, коммутируют в смысле указанного выше изоморфизма.Теоремы о замене базы, обсуждаемые ниже, представляют собой утверждения аналогичного типа.

Определение карты базовых изменений

[ редактировать ]

Все представленные ниже теоремы о замене базы утверждают, что (для разных типов пучков и при различных предположениях относительно задействованных отображений) следующая карта замены базы

является изоморфизмом, где

представляют собой непрерывные отображения между топологическими пространствами, образующими декартов квадрат и является пучком на X . [1] Здесь обозначает высший прямой образ под f , т. е. производный функтор функтора прямого изображения (также известного как выдвижение вперед) .

Это отображение существует без каких-либо предположений относительно отображений f и g . Он строится следующим образом: поскольку остается присоединенным к , существует естественная карта (называемая картой единиц)

и так

Спектральная последовательность Гротендика затем дает первую карту и последнюю карту (они являются картами ребер) в:

Объединение этого с вышеуказанными доходами

Используя сопряженность и наконец дает желаемую карту.

Упомянутый выше вводный пример является частным случаем этого, а именно для аффинных схем и, следовательно, , и квазикогерентный пучок ассоциированный с B -модулем M .

Концептуально удобно организовать приведенные выше карты базовых изменений, которые включают только один функтор прямого изображения более высокого уровня, в одну, которая кодирует все за раз. Фактически, аргументы, аналогичные приведенным выше, дают отображение в производной категории пучков на S':

где обозначает (общий) производный функтор .

Общая топология

[ редактировать ]

Правильная смена базы

[ редактировать ]

Если X топологическое хаусдорфово пространство , S локально компактное хаусдорфово пространство и f универсально замкнуто (т. е. является замкнутым отображением для любого непрерывного отображения ), затемкарта изменения базы

является изоморфизмом. [2] Действительно, мы имеем: для ,

и так для

Чтобы закодировать все отдельные функторы высших производных в одну сущность, приведенное выше утверждение можно эквивалентно перефразировать, сказав, что карта базовых изменений

является квазиизоморфизмом .

Предположения о том, что задействованные пространства являются хаусдорфовыми, были ослаблены Шнурером и Зёргелем (2016) .

Лурье (2009) распространил приведенную выше теорему на когомологии неабелевых пучков , т. е. пучки, принимающие значения в симплициальных множествах (в отличие от абелевых групп). [3]

Прямое изображение с компактной поддержкой

[ редактировать ]

Если карта f не замкнута, карта замены базы не обязательно должна быть изоморфизмом, как показывает следующий пример (карты являются стандартными включениями):

Одна с одной стороны всегда равен нулю, но если это локальная система на соответствующий представлению фундаментальной группы (который изоморфен Z ), то могут быть вычислены инварианты монодромии как действия на стебле (для любого ), которые не обязательно должны исчезать.

Чтобы получить результат изменения базы, функтор (или его производный функтор) необходимо заменить прямым образом с компактным носителем . Например, если является включение открытого подмножества, как в приведенном выше примере, является расширением нулем, т. е. его стебли задаются формулой

В общем есть карта , который является квазиизоморфизмом, если f собственный, но не вообще. Упомянутая выше теорема о правильной замене базы имеет следующее обобщение: существует квазиизоморфизм [4]

Изменение базы для квазикогерентных пучков

[ редактировать ]

Правильная смена базы

[ редактировать ]

Правильные теоремы о замене базы для квазикогерентных пучков применимы в следующей ситуации: является собственным морфизмом нётеровых схем и является когерентным пучком , плоским над S (т. е. плоский ). В этой ситуации справедливы следующие утверждения: [5]

  • «Теорема полунепрерывности»:
    • Для каждого , функция является полунепрерывным сверху .
    • Функция локально постоянна, где обозначает эйлерову характеристику .
  • « Грауэрта Теорема »: если S редуцировано и связно, то для каждого следующие эквивалентны
    • является постоянным.
    • локально свободна и естественная карта
является изоморфизмом для всех .
Более того, если эти условия выполнены, то естественное отображение
является изоморфизмом для всех .
  • Если для р некоторого для всех , то естественное отображение
является изоморфизмом для всех .

Как стебель снопа тесно связан с когомологиями слоя точки под f , это утверждение перефразируется, говоря, что «когомологии коммутируют с базовым расширением». [6]

Эти утверждения доказываются с использованием следующего факта, где помимо сделанных выше предположений : существует конечный комплекс конечно порожденных проективных A -модулей и естественный изоморфизм функторов

по категории -алгебры.

Изменение плоского основания

[ редактировать ]

Карта изменения базы

является изоморфизмом квазикогерентного пучка (на ), при условии, что карта является плоским (вместе с рядом технических условий: f должен быть отделённым морфизмом конечного типа , используемые схемы должны быть нётеровыми). [7]

Фиксированное базовое изменение в производной категории

[ редактировать ]

Далеко идущее расширение плоского изменения базы возможно при рассмотрении карты изменения базы.

в производной категории пучков на S', аналогично упомянутому выше. Здесь это (полный) производный функтор обратного хода -модули (потому что включает в себя тензорное произведение, не является точным, когда g не является плоским и, следовательно, не равен своему производному функтору ).Это отображение является квазиизоморфизмом при выполнении следующих условий: [8]

  • является квазикомпактным и является квазикомпактным и квазиразделенным,
  • является объектом в , ограниченная производная категория -модули, а его пучки когомологий квазикогерентны (например, может быть ограниченным комплексом квазикогерентных пучков)
  • и независимы Tor от , что означает, что если и удовлетворить , то для всех целых чисел ,
.
  • Выполняется одно из следующих условий:
    • имеет конечную плоскую амплитуду относительно , что означает, что он квазиизоморфен в в комплекс такой, что является -квартира для всех вне некоторого ограниченного интервала ; эквивалентно, существует интервал такой, что для любого комплекса в , у одного есть для всех снаружи ; или
    • имеет конечную Tor-размерность, что означает, что имеет конечную плоскую амплитуду относительно .

Одним из преимуществ этой формулировки является то, что гипотеза плоскостности была ослаблена. Однако для конкретных вычислений когомологий левой и правой частей теперь требуется спектральная последовательность Гротендика .

Базовое изменение в производной алгебраической геометрии

[ редактировать ]

Производная алгебраическая геометрия позволяет отказаться от предположения о плоскостности при условии, что обратный ход заменяется гомотопическим возвратом . В самом простом случае, когда X , S и аффинны (в обозначениях, приведенных выше), гомотопический возврат задается производным тензорным произведением

Тогда, предполагая, что рассматриваемые схемы (или, в более общем смысле, производные схемы) квазикомпактны и квазиразделены, естественное преобразование

является квазиизоморфизмом для любого квазикогерентного пучка или, в более общем смысле, комплекса квазикогерентных пучков. [9] Вышеупомянутый результат плоской замены базы на самом деле является частным случаем, поскольку для g -плоского гомотопический обратный образ (который локально задается производным тензорным произведением) согласуется с обычным обратным образцом (локально заданным полученным тензорным произведением), и поскольку вдоль плоских отображений g и g' (т. е. автоматический вывод ). Вспомогательные предположения, связанные с Tor-независимостью или Tor-амплитудой в предыдущей теореме о замене базы, также становятся ненужными.

В приведенной выше форме изменение базы было расширено Бен-Цви, Фрэнсисом и Надлером (2010) на ситуацию, когда X , S и S' являются (возможно, производными) стопками , при условии, что отображение f является совершенным отображением (которое включает случай, когда f является квазикомпактным, квазиразделенным отображением схем, но также включает более общие стеки, такие как классифицирующий стек BG алгебраической группы в нулевой характеристике).

Варианты и приложения

[ редактировать ]

Правильная замена базы также имеет место в контексте комплексных многообразий и комплексных аналитических пространств . [10] Теорема о формальных функциях представляет собой вариант правильной замены базы, в которой обратный образ заменяется операцией пополнения .

Принцип качелей и теорема куба , являющиеся основополагающими фактами теории абелевых многообразий , являются следствием правильной замены базы. [11]

Замена базы также справедлива для D-модулей : если X , S , X' и S' — гладкие многообразия (но f и g не обязательно должны быть плоскими или собственными и т. д.), существует квазиизоморфизм

где и обозначают функторы обратного и прямого образа для D -модулей. [12]

Базовое изменение для шкивов

[ редактировать ]

Для плоских витых шкивов , существует два результата изменения базы, называемые правильным и плавным изменением базы соответственно: изменение базы имеет место, если является правильным . [13] Это также верно, если , при g гладкая условии, что f квазикомпактна и кручение просто характеристикой полей вычетов X . с [14]

С правильной заменой базы тесно связан следующий факт (обе теоремы обычно доказываются одновременно): пусть X — многообразие над сепарабельно замкнутым полем и конструктивный пучок на . Затем конечны в каждом из следующих случаев:

  • X завершен, или
  • не имеет p -кручения, где p — характеристика k .

При дополнительных предположениях Денингер (1988) распространил правильную теорему о замене базы на этальные пучки без кручения.

Приложения

[ редактировать ]

По аналогии с топологической ситуацией, упомянутой выше, отображение замены базы для открытого погружения f ,

обычно не является изоморфизмом. [15] Вместо этого расширение нулевым функтором удовлетворяет изоморфизму

Этот факт и правильная замена базы позволяют определить функтор прямого образа с компактным носителем для отображения f формулой

где является компактификацией f , т. е . факторизацией в открытое погружение с последующим правильным отображением.Правильная теорема о замене базы необходима, чтобы показать, что она корректна, т. е. независима (с точностью до изоморфизма) от выбора компактификации.Более того, опять же по аналогии со случаем пучков в топологическом пространстве, формула замены базы для против. справедливо для несобственных отображений f .

Для структурной карты схемы над полем k отдельные когомологии , обозначенный называются когомологиями с компактным носителем . Это важный вариант обычных этальных когомологий .

Подобные идеи используются и для построения аналога функтора в А 1 -гомотопическая теория . [16] [17]

См. также

[ редактировать ]

Дальнейшее чтение

[ редактировать ]
  • Эно, Х.; Керц, М.; Виттенберг, О. (2016), «Изоморфизм ограничения для циклов нулевой относительной размерности», Cambridge Journal of Mathematics , 4 (2): 163–196, arXiv : 1503.08187v2 , doi : 10.4310/CJM.2016.v4.n2 .a1 , S2CID   54896268

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Роли и симметричны, и в некоторых контекстах (особенно при плавном изменении базы) более знакома другая формулировка (вместо этого речь идет о отображении для сноп на ). Для единообразия все результаты в этой статье ниже приведены для одной и той же ситуации, а именно карты ; но читатели должны обязательно сверить это со своими ожиданиями.
  2. ^ Милн (2012 , Теорема 17.3)
  3. ^ Лурье (2009 , Теорема 7.3.1.16)
  4. ^ Иверсен (1986) , предполагается, что четыре пространства локально компактны и имеют конечную размерность.
  5. ^ Гротендик (1963 , раздел 7.7), Хартсхорн (1977 , теорема III.12.11), Вакил (2015 , глава 28 Когомологии и теоремы о замене базы )
  6. ^ Хартсхорн (1977 , стр. 255)
  7. ^ Хартсхорн (1977 , Предложение III.9.3)
  8. ^ Бертело, Гротендик и Иллюзи (1971 , SGA 6 IV, Предложение 3.1.0)
  9. ^ Тоен (2012 , Предложение 1.4)
  10. ^ Грауэрт (1960)
  11. ^ Мамфорд (2008)
  12. ^ Хотта, Такеучи и Танисаки (2008 , теорема 1.7.3)
  13. ^ Артин, Гротендик и Вердье (1972 , Exposé XII), Милн (1980 , раздел VI.2)
  14. ^ Артин, Гротендик и Вердье (1972 , Exposé XVI)
  15. ^ Милн (2012 , пример 8.5)
  16. ^ Аюб, Джозеф (2007), Шесть операций Гротендика и формализм мимолетных циклов в мотивном мире. I. , Французское математическое общество, ISBN  978-2-85629-244-0 , Збл   1146.14001
  17. ^ Цисинский, Дени-Шарль; Деглиз, Фредерик (2019), Триангулированные категории смешанных мотивов , Монографии Спрингера по математике, arXiv : 0912.2110 , Бибкод : 2009arXiv0912.2110C , doi : 10.1007/978-3-030-33242-6 , ISBN  978-3-030-33241-9 , S2CID   115163824
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: b5f2792a5ea16fb6f013de06f9d9d370__1688658420
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/b5/70/b5f2792a5ea16fb6f013de06f9d9d370.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Base change theorems - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)