Теоремы о замене базы

В математике замене базы связывают прямой образ и обратный образ пучков теоремы о . Точнее, речь идет о карте изменения основания, заданной следующим естественным преобразованием пучков:

$g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})$

где

${\begin{array}{rcl}X'&{\stackrel {g'}{\to }}&X\\f'\downarrow &&\downarrow f\\S'&{\stackrel {g}{\to }}&S\end{array}}$

является декартовым квадратом топологических пространств и ${\mathcal {F}}$ является пучком на X .

Такие теоремы существуют в разных разделах геометрии: для (по сути произвольных) топологических пространств и собственных отображений f , в алгебраической геометрии для (квази)когерентных пучков и собственного f или g- плоского, аналогично в аналитической геометрии , но также и для этальных пучков для f правильный или г гладкий.

Введение

Простое явление замены базы возникает в коммутативной алгебре , когда A — коммутативное кольцо , а B и A' — две A -алгебры. Позволять $B'=B\otimes _{A}A'$. В этой ситуации для данного B -модуля M существует изоморфизм ( A' -модулей):

$(M\otimes _{B}B')_{A'}\cong (M_{A})\otimes _{A}A'.$

Здесь индекс указывает на функтор забывания, т. е. $M_{A}$ является M , но рассматривается как A -модуль.Действительно, такой изоморфизм получается наблюдением

$M\otimes _{B}B'=M\otimes _{B}B\otimes _{A}A'\cong M\otimes _{A}A'.$

Таким образом, две операции, а именно функторы забывания и тензорные произведения, коммутируют в смысле указанного выше изоморфизма.Теоремы о замене базы, обсуждаемые ниже, представляют собой утверждения аналогичного типа.

Определение карты базовых изменений

Все представленные ниже теоремы о замене базы утверждают, что (для разных типов пучков и при различных предположениях относительно задействованных отображений) следующая карта замены базы

$g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})$

является изоморфизмом, где

${\begin{array}{rcl}X'&{\stackrel {g'}{\to }}&X\\f'\downarrow &&\downarrow f\\S'&{\stackrel {g}{\to }}&S\\\end{array}}$

представляют собой непрерывные отображения между топологическими пространствами, образующими декартов квадрат и ${\mathcal {F}}$ является пучком на X . Здесь $R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}$ обозначает высший прямой образ ${\mathcal {F}}$ под f , т. е. производный функтор функтора прямого изображения (также известного как выдвижение вперед) $f_{*}$.

Это отображение существует без каких-либо предположений относительно отображений f и g . Он строится следующим образом: поскольку $g'^{*}$ остается присоединенным к $g'_{*}$, существует естественная карта (называемая картой единиц)

$\operatorname {id} \to g'_{*}\circ g'^{*}$

и так

$R^{r}f_{*}\to R^{r}f_{*}\circ g'_{*}\circ g'^{*}.$

Спектральная последовательность Гротендика затем дает первую карту и последнюю карту (они являются картами ребер) в:

$R^{r}f_{*}\circ g'_{*}\circ g'^{*}\to R^{r}(f\circ g')_{*}\circ g'^{*}=R^{r}(g\circ f')_{*}\circ g'^{*}\to g_{*}\circ R^{r}f'_{*}\circ g'^{*}.$

Объединение этого с вышеуказанными доходами

$R^{r}f_{*}\to g_{*}\circ R^{r}f'_{*}\circ g'^{*}.$

Используя сопряженность $g^{*}$ и $g_{*}$ наконец дает желаемую карту.

Упомянутый выше вводный пример является частным случаем этого, а именно для аффинных схем $X=\operatorname {Spec} (B),S=\operatorname {Spec} (A),S'=\operatorname {Spec} (A')$ и, следовательно, $X'=\operatorname {Spec} (B')$, и квазикогерентный пучок ${\mathcal {F}}:={\tilde {M}}$ ассоциированный с B -модулем M .

Концептуально удобно организовать приведенные выше карты базовых изменений, которые включают только один функтор прямого изображения более высокого уровня, в одну, которая кодирует все $R^{r}f_{*}$ за раз. Фактически, аргументы, аналогичные приведенным выше, дают отображение в производной категории пучков на S':

$g^{*}Rf_{*}({\mathcal {F}})\to Rf'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})$

где $Rf_{*}$ обозначает (общий) производный функтор $f_{*}$.

Общая топология

Правильная смена базы

Если X — топологическое хаусдорфово пространство , S — локально компактное хаусдорфово пространство и f универсально замкнуто (т. е. $X\times _{S}T\to T$ является замкнутым отображением для любого непрерывного отображения $T\to S$), затемкарта изменения базы

$g^{*}R^{r}f_{*}{\mathcal {F}}\to R^{r}f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}$

является изоморфизмом. Действительно, мы имеем: для $s\in S$,

$(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})_{s}=\varinjlim H^{r}(U,{\mathcal {F}})=H^{r}(X_{s},{\mathcal {F}}),\quad X_{s}=f^{-1}(s)$

и так для $s=g(t)$

$g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})_{t}=H^{r}(X_{s},{\mathcal {F}})=H^{r}(X'_{t},g'^{*}{\mathcal {F}})=R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})_{t}.$

Чтобы закодировать все отдельные функторы высших производных $f_{*}$ в одну сущность, приведенное выше утверждение можно эквивалентно перефразировать, сказав, что карта базовых изменений

$g^{*}Rf_{*}{\mathcal {F}}\to Rf'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}$

является квазиизоморфизмом .

Предположения о том, что задействованные пространства являются хаусдорфовыми, были ослаблены Шнурером и Зёргелем (2016) .

Лурье (2009) распространил приведенную выше теорему на когомологии неабелевых пучков , т. е. пучки, принимающие значения в симплициальных множествах (в отличие от абелевых групп).

Прямое изображение с компактной поддержкой

Если карта f не замкнута, карта замены базы не обязательно должна быть изоморфизмом, как показывает следующий пример (карты являются стандартными включениями):

${\begin{array}{rcl}\emptyset &{\stackrel {g'}{\to }}&\mathbb {C} \setminus \{0\}\\f'\downarrow &&\downarrow f\\\{0\}&{\stackrel {g}{\to }}&\mathbb {C} \end{array}}$

Одна с одной стороны $f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}$ всегда равен нулю, но если ${\mathcal {F}}$ это локальная система на $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ соответствующий представлению фундаментальной группы $\pi _{1}(X)$ (который изоморфен Z ), то $g^{*}f_{*}{\mathcal {F}}$ могут быть вычислены инварианты монодромии как действия $\pi _{1}(X,x)$ на стебле ${\mathcal {F}}_{x}$ (для любого $x\neq 0$), которые не обязательно должны исчезать.

Чтобы получить результат изменения базы, функтор $f_{*}$ (или его производный функтор) необходимо заменить прямым образом с компактным носителем $Rf_{!}$. Например, если $f:X\to S$ является включение открытого подмножества, как в приведенном выше примере, $Rf_{!}{\mathcal {F}}$ является расширением нулем, т. е. его стебли задаются формулой

$(Rf_{!}{\mathcal {F}})_{s}={\begin{cases}{\mathcal {F}}_{s}&s\in X,\\0&s\notin X.\end{cases}}$

В общем есть карта $Rf_{!}{\mathcal {F}}\to Rf_{*}{\mathcal {F}}$, который является квазиизоморфизмом, если f собственный, но не вообще. Упомянутая выше теорема о правильной замене базы имеет следующее обобщение: существует квазиизоморфизм

$g^{*}Rf_{!}{\mathcal {F}}\to Rf'_{!}g'^{*}{\mathcal {F}}.$

Изменение базы для квазикогерентных пучков

Правильная смена базы

Правильные теоремы о замене базы для квазикогерентных пучков применимы в следующей ситуации: $f:X\to S$ является собственным морфизмом нётеровых схем и ${\mathcal {F}}$ является когерентным пучком , плоским над S (т. е. ${\mathcal {F}}_{x}$ плоский ​ ​ ${\mathcal {O}}_{S,f(x)}$). В этой ситуации справедливы следующие утверждения:

• «Теорема полунепрерывности»:
  • Для каждого $p\geq 0$, функция $s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s}):S\to \mathbb {Z}$ является полунепрерывным сверху .
  • Функция $s\mapsto \chi ({\mathcal {F}}_{s})$ локально постоянна, где $\chi ({\mathcal {F}})$ обозначает эйлерову характеристику .
• « Грауэрта Теорема »: если S редуцировано и связно, то для каждого $p\geq 0$ следующие эквивалентны
  • $s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})$ является постоянным.
  • $R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}$ локально свободна и естественная карта

$R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})$

является изоморфизмом для всех $s\in S$.

Более того, если эти условия выполнены, то естественное отображение

$R^{p-1}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p-1}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})$

является изоморфизмом для всех $s\in S$.

• Если для р некоторого $H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})=0$ для всех $s\in S$, то естественное отображение

$R^{p-1}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p-1}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})$

является изоморфизмом для всех $s\in S$.

Как стебель снопа $R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}$ тесно связан с когомологиями слоя точки под f , это утверждение перефразируется, говоря, что «когомологии коммутируют с базовым расширением».

Эти утверждения доказываются с использованием следующего факта, где помимо сделанных выше предположений $S=\operatorname {Spec} A$: существует конечный комплекс $0\to K^{0}\to K^{1}\to \cdots \to K^{n}\to 0$ конечно порожденных проективных A -модулей и естественный изоморфизм функторов

$H^{p}(X\times _{S}\operatorname {Spec} -,{\mathcal {F}}\otimes _{A}-)\to H^{p}(K^{\bullet }\otimes _{A}-),p\geq 0$

по категории $A$-алгебры.

Изменение плоского основания

Карта изменения базы

$g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})$

является изоморфизмом квазикогерентного пучка ${\mathcal {F}}$ (на $X$), при условии, что карта $g:S'\rightarrow S$ является плоским (вместе с рядом технических условий: f должен быть отделённым морфизмом конечного типа , используемые схемы должны быть нётеровыми).

Фиксированное базовое изменение в производной категории

Далеко идущее расширение плоского изменения базы возможно при рассмотрении карты изменения базы.

$Lg^{*}Rf_{*}({\mathcal {F}})\to Rf'_{*}(Lg'^{*}{\mathcal {F}})$

в производной категории пучков на S', аналогично упомянутому выше. Здесь $Lg^{*}$ это (полный) производный функтор обратного хода ${\mathcal {O}}$-модули (потому что $g^{*}{\mathcal {G}}={\mathcal {O}}_{X}\otimes _{g^{-1}{\mathcal {O}}_{S}}g^{-1}{\mathcal {G}}$ включает в себя тензорное произведение, $g^{*}$ не является точным, когда g не является плоским и, следовательно, не равен своему производному функтору $Lg^{*}$).Это отображение является квазиизоморфизмом при выполнении следующих условий:

• $S$ является квазикомпактным и $f$ является квазикомпактным и квазиразделенным,
• ${\mathcal {F}}$ является объектом в $D^{b}({\mathcal {O}}_{X}{\text{-mod}})$, ограниченная производная категория ${\mathcal {O}}_{X}$-модули, а его пучки когомологий квазикогерентны (например, ${\mathcal {F}}$ может быть ограниченным комплексом квазикогерентных пучков)
• $X$ и $S'$ независимы Tor от $S$, что означает, что если $x\in X$ и $s'\in S'$ удовлетворить $f(x)=s=g(s')$, то для всех целых чисел $p\geq 1$,

$\operatorname {Tor} _{p}^{{\mathcal {O}}_{S,s}}({\mathcal {O}}_{X,x},{\mathcal {O}}_{S',s'})=0$.

• Выполняется одно из следующих условий:
  • ${\mathcal {F}}$ имеет конечную плоскую амплитуду относительно $f$, что означает, что он квазиизоморфен в $D^{-}(f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}{\text{-mod}})$ в комплекс ${\mathcal {F}}'$ такой, что $({\mathcal {F}}')^{i}$ является $f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}$-квартира для всех $i$ вне некоторого ограниченного интервала $[m,n]$; эквивалентно, существует интервал $[m,n]$ такой, что для любого комплекса ${\mathcal {G}}$ в $D^{-}(f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}{\text{-mod}})$, у одного есть $\operatorname {Tor} _{i}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})=0$ для всех $i$ снаружи $[m,n]$; или
  • $g$ имеет конечную Tor-размерность, что означает, что ${\mathcal {O}}_{S'}$ имеет конечную плоскую амплитуду относительно $g$.

Одним из преимуществ этой формулировки является то, что гипотеза плоскостности была ослаблена. Однако для конкретных вычислений когомологий левой и правой частей теперь требуется спектральная последовательность Гротендика .

Базовое изменение в производной алгебраической геометрии

Производная алгебраическая геометрия позволяет отказаться от предположения о плоскостности при условии, что обратный ход $X'$ заменяется гомотопическим возвратом . В самом простом случае, когда X , S и $S'$ аффинны (в обозначениях, приведенных выше), гомотопический возврат задается производным тензорным произведением

$X'=\operatorname {Spec} (B'\otimes _{B}^{L}A)$

Тогда, предполагая, что рассматриваемые схемы (или, в более общем смысле, производные схемы) квазикомпактны и квазиразделены, естественное преобразование

$Lg^{*}Rf_{*}{\mathcal {F}}\to Rf'_{*}Lg'^{*}{\mathcal {F}}$

является квазиизоморфизмом для любого квазикогерентного пучка или, в более общем смысле, комплекса квазикогерентных пучков. Вышеупомянутый результат плоской замены базы на самом деле является частным случаем, поскольку для g -плоского гомотопический обратный образ (который локально задается производным тензорным произведением) согласуется с обычным обратным образцом (локально заданным полученным тензорным произведением), и поскольку вдоль плоских отображений g и g' (т. е. автоматический вывод $Lg^{*}=g^{*}$). Вспомогательные предположения, связанные с Tor-независимостью или Tor-амплитудой в предыдущей теореме о замене базы, также становятся ненужными.

В приведенной выше форме изменение базы было расширено Бен-Цви, Фрэнсисом и Надлером (2010) на ситуацию, когда X , S и S' являются (возможно, производными) стопками , при условии, что отображение f является совершенным отображением (которое включает случай, когда f является квазикомпактным, квазиразделенным отображением схем, но также включает более общие стеки, такие как классифицирующий стек BG алгебраической группы в нулевой характеристике).

Варианты и приложения

Правильная замена базы также имеет место в контексте комплексных многообразий и комплексных аналитических пространств . Теорема о формальных функциях представляет собой вариант правильной замены базы, в которой обратный образ заменяется операцией пополнения .

Принцип качелей и теорема куба , являющиеся основополагающими фактами теории абелевых многообразий , являются следствием правильной замены базы.

Замена базы также справедлива для D-модулей : если X , S , X' и S' — гладкие многообразия (но f и g не обязательно должны быть плоскими или собственными и т. д.), существует квазиизоморфизм

$g^{\dagger }\int _{f}{\mathcal {F}}\to \int _{f'}g'^{\dagger }{\mathcal {F}},$

где $-^{\dagger }$ и $\int$ обозначают функторы обратного и прямого образа для D -модулей.

Базовое изменение для шкивов

Для плоских витых шкивов ${\mathcal {F}}$, существует два результата изменения базы, называемые правильным и плавным изменением базы соответственно: изменение базы имеет место, если $f:X\rightarrow S$ является правильным . Это также верно, если , при g гладкая условии, что f квазикомпактна и кручение ${\mathcal {F}}$ просто характеристикой полей вычетов X . с

С правильной заменой базы тесно связан следующий факт (обе теоремы обычно доказываются одновременно): пусть X — многообразие над сепарабельно замкнутым полем и ${\mathcal {F}}$ конструктивный пучок на $X_{\text{et}}$. Затем $H^{r}(X,{\mathcal {F}})$ конечны в каждом из следующих случаев:

• X завершен, или
• ${\mathcal {F}}$ не имеет p -кручения, где p — характеристика k .

При дополнительных предположениях Денингер (1988) распространил правильную теорему о замене базы на этальные пучки без кручения.

Приложения

По аналогии с топологической ситуацией, упомянутой выше, отображение замены базы для открытого погружения f ,

$g^{*}f_{*}{\mathcal {F}}\to f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}$

обычно не является изоморфизмом. Вместо этого расширение нулевым функтором $f_{!}$ удовлетворяет изоморфизму

$g^{*}f_{!}{\mathcal {F}}\to f'_{!}g^{*}{\mathcal {F}}.$

Этот факт и правильная замена базы позволяют определить функтор прямого образа с компактным носителем для отображения f формулой

$Rf_{!}:=Rp_{*}j_{!}$

где $f=p\circ j$ является компактификацией f , т. е . факторизацией в открытое погружение с последующим правильным отображением.Правильная теорема о замене базы необходима, чтобы показать, что она корректна, т. е. независима (с точностью до изоморфизма) от выбора компактификации.Более того, опять же по аналогии со случаем пучков в топологическом пространстве, формула замены базы для $g_{*}$ против. $Rf_{!}$ справедливо для несобственных отображений f .

Для структурной карты $f:X\to S=\operatorname {Spec} k$ схемы над полем k отдельные когомологии $Rf_{!}({\mathcal {F}})$, обозначенный $H_{c}^{*}(X,{\mathcal {F}})$ называются когомологиями с компактным носителем . Это важный вариант обычных этальных когомологий .

Подобные идеи используются и для построения аналога функтора $Rf_{!}$ в А ¹ -гомотопическая теория .

См. также

• Относительная точка зрения Гротендика в алгебраической геометрии.
• Смена базы (значения)
• Поднятие базового изменения автоморфных форм

Дальнейшее чтение

• Эно, Х.; Керц, М.; Виттенберг, О. (2016), «Изоморфизм ограничения для циклов нулевой относительной размерности», Cambridge Journal of Mathematics , 4 (2): 163–196, arXiv : 1503.08187v2 , doi : 10.4310/CJM.2016.v4.n2 .a1 , S2CID   54896268

Ссылки

• Артин, Майкл ; Гротендик, Александр; Вердье, Жан-Луи (1972), Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1963-64 - Теория топосов и плоских когомологий схем - (SGA 4) - том. 3 (PDF) , Конспекты лекций по математике (на французском языке), том. 305, Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. vi + 640, номер домена : 10.1007/BFb0070714 , ISBN  978-3-540-06118-2
• Бен-Цви, Дэвид; Фрэнсис, Джон; Надлер, Дэвид (2010), «Интегральные преобразования и центры Дринфельда в производной алгебраической геометрии», J. Amer. Математика. Соц. , 23 (4): 909–966, arXiv : 0805.0157 , doi : 10.1090/S0894-0347-10-00669-7 , MR   2669705 , S2CID   2202294
• Бертло, Пьер ; Гротендик, Александр ; Иллюзи, Люк (1971), Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1966-67 - Теория пересечений и теорема Римана-Роха - (SGA 6) (Конспекты лекций по математике 225 ) (на французском языке), Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag , xii+700, doi : 10.1007/BFb0066283 , ISBN.  978-3-540-05647-8
• Денингер, Кристофер (1988), «Правильная теорема о замене базы для пучков без кручения в этальных когомологиях», Journal of Pure and Applied Algebra , 50 (3): 231–235, doi : 10.1016/0022-4049(88)90102 -8
• Габбер, « Теоремы конечности для этальных когомологий превосходных схем ».
• Грауэрт, Ганс (1960), «Теорема аналитической теории пучков и пространства модулей комплексных структур» (PDF) , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 5 : 5–64, doi : 10.1007/BF02684746 , S2CID   122593346 , Zbl   0100.08001
• Гротендик, А. (1963), "Элементы алгебраической геометрии. III. Когомологическое исследование когерентных пучков. II" , Опубл. Математика. IHÉS , заархивировано из оригинала 5 января 2017 г. , получено 4 января 2017 г.
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90244-9 , МР   0463157 , OCLC   13348052
• Хотта, Рёши, Такеучи, Киёси, Тошиюки (2008), D -модули, перверсивные пучки и теория представлений , Биркхойзер;
• Иверсен, Биргер (1986), Когомологии пучков , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-82783-9 , ISBN  978-3-540-16389-3 , МР   0842190
• Лурье, Джейкоб (2009), Теория высшего топоса , Анналы математических исследований, том. 170, Princeton University Press , arXiv : math.CT/0608040 , doi : 10.1515/9781400830558 , ISBN  978-0-691-14049-0 , МР   2522659
• Милн, Джеймс С. (1980), Этальные когомологии , Princeton University Press , ISBN  978-0-691-08238-7
• Милн, Джеймс С. (2012), Лекции по этальным когомологиям (PDF)
• Мамфорд, Дэвид (2008) [1970], Абелевы многообразия , Институт фундаментальных исследований в области математики Таты, том. 5, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-81-85931-86-9 , МР   0282985 , OCLC   138290
• Тоен, Бертран (2012), Собственные локальные морфизмы полного пересечения сохраняют совершенные комплексы , arXiv : 1210.2827 , Bibcode : 2012arXiv1210.2827T
• Шнурер, О.М.; Зёргель, В. (2016), «Правильное изменение базы для разделенных локально правильных карт», Rend. Семин. Мат. унив. Падуя , 135 : 223–250, arXiv : 1404.7630v2 , doi : 10.4171/RSMUP/135-13 , S2CID   118024164
• Вакил, Рави (2015), Основы алгебраической геометрии (PDF)

Внешние ссылки

• Раздаточный материал Брайана Конрада
• Проблема с полунепрерывностью