Каноническое кольцо

В математике плюриканоническое кольцо алгебраического многообразия V (неособого ) или комплексного многообразия — это градуированное кольцо .

$R(V,K)=R(V,K_{V})\,$

сечений степеней канонического расслоения K . Его n- ная градуированная компонента (для $n\geq 0$) является:

$R_{n}:=H^{0}(V,K^{n}),\$

е. пространство сечений -го n т . тензорного произведения K ^н канонического расслоения K .

Компонент 0-й степени $R_{0}$ является сечением тривиального расслоения и является одномерным, поскольку V проективно. называется канонической моделью V , а размерность канонической модели называется Кодаиры размерностью V. Проективное многообразие, определяемое этим градуированным кольцом ,

Аналогичное кольцо можно определить для любого линейного расслоения L над V ; аналогичное измерение называется измерением Иитака . Линейное расслоение называется большим , если размерность Иитака равна размерности многообразия.

Характеристики

Бирациональная инвариантность

Каноническое кольцо, а, следовательно, и размерность Кодаиры, являются бирациональными инвариантами : любое бирациональное отображение между гладкими компактными комплексными многообразиями индуцирует изоморфизм между соответствующими каноническими кольцами. Как следствие, можно определить размерность Кодайры сингулярного пространства как размерность Кодайры десингуляризации . Благодаря бирациональной инвариантности это четко определено, т. е. не зависит от выбора десингуляризации.

Фундаментальная гипотеза бирациональной геометрии

Основная гипотеза состоит в том, что плюриканоническое кольцо конечно порождено . Это считается важным шагом в программе Мори .Кошер Биркар, Паоло Касчини и Кристофер Д. Хакон и др. ( 2010 ) доказали эту гипотезу.

Многородовые

Размер

$P_{n}=h^{0}(V,K^{n})=\operatorname {dim} \ H^{0}(V,K^{n})$

является классически n -м плюриродом V . определенным Плюриканонический делитель $K^{n}$через соответствующую линейную систему делителей дает отображение в проективное пространство $\mathbf {P} (H^{0}(V,K^{n}))=\mathbf {P} ^{P_{n}-1}$, называемое n -каноническим отображением.

Размер R является базовым инвариантом V и называется размерностью Кодаиры.

Ссылки

• Биркар, Коше ; Кашини, Паоло; Хакон, Кристофер Д .; МакКернан, Джеймс (2010), «Существование минимальных моделей для разновидностей логарифмического общего типа», Журнал Американского математического общества , 23 (2): 405–468, arXiv : math.AG/0610203 , Bibcode : 2010JAMS... 23..405Б , doi : 10.1090/S0894-0347-09-00649-3 , МР   2601039
• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джо (1994), Принципы алгебраической геометрии , Библиотека классики Wiley, Wiley Interscience, стр. 573, ISBN  0-471-05059-8