Измерение Иитака

В алгебраической геометрии линейного размерность Иитака расслоения L на алгебраическом многообразии X — это размерность образа рационального отображения в проективное пространство определяемое L. , Это на 1 меньше размера кольца сечения L

R(X,L)=\bigoplus _{d=0}^{\infty }H^{0}(X,L^{\otimes d}).

Размерность Иитака L равна размерности X. всегда меньше или Если L неэффективен, то его размерность Иитака обычно определяется как $-\infty$ или просто считается отрицательным (некоторые ранние ссылки определяют его как -1). Размерность Иитака L иногда называют L-размером, а размерность дивизора D называют D-размером. Измерение Иитака было введено Сигэру Иитакой ( 1970 , 1971 ).

Большие пучки линий

Линейное расслоение является большим , если оно имеет максимальную размерность Иитака, то есть если его размерность Иитака равна размерности лежащего в основе многообразия. Размерность — это бирациональный инвариант: если f : Y → X — бирациональный морфизм многообразий, и если L — большое линейное расслоение на X , то f ^*L — большое линейное расслоение на Y .

Все достаточные линейные пучки большие.

Большие линейные расслоения не обязательно определяют бирациональные изоморфизмы X с его образом. Например, если C — гиперэллиптическая кривая (например, кривая второго рода), то ее каноническое расслоение велико, но определяемое им рациональное отображение не является бирациональным изоморфизмом. Вместо этого это покрытие два к одному канонической кривой C , которая является рациональной нормальной кривой .

Кодайра измерение

Размерность Иитака канонического расслоения гладкого многообразия называется размерностью Кодаиры .

Гипотеза Иитаки

Ниже рассмотрим комплексные алгебраические многообразия.

Пусть K — каноническое расслоение на M. Размерность H ⁰(М,К ^м), голоморфные сечения K ^м, обозначается P _m (M), называется m-родом . Позволять

N(M)=\{m\geq 1|P_{m}(M)\geq 1\},

тогда N(M) становится целым положительным числом с ненулевым m-родом. Когда N(M) не пусто, для $m\in N(M)$ m-плюриканоническое отображение $\Phi _{mK}$ определяется как карта

{\begin{aligned}\Phi _{mK}:&M\longrightarrow \ \ \ \ \ \ \mathbb {P} ^{N}\\&z\ \ \ \mapsto \ \ (\varphi _{0}(z):\varphi _{1}(z):\cdots :\varphi _{N}(z))\end{aligned}}

где $\varphi _{i}$ являются основаниями H ⁰(М,К ^м). Тогда образ $\Phi _{mK}$ , $\Phi _{mK}(M)$ определяется как подмногообразие $\mathbb {P} ^{N}$ .

Наверняка $m$ позволять $\Phi _{mk}:M\rightarrow W=\Phi _{mK}(M)\subset \mathbb {P} ^{N}$ — m-плюриканоническое отображение, где W — комплексное многообразие, вложенное в проективное пространство P ^Н.

В случае поверхностей с κ(M)=1 указанная выше W заменяется кривой C, которая является эллиптической кривой (κ(C)=0). Мы хотим распространить этот факт на общую размерность и получить аналитическую слоистую структуру, изображенную на верхнем правом рисунке.

Учитывая бирациональное отображение $\varphi :M\longrightarrow W$ , m-плюриканоническое отображение приводит к коммутативной диаграмме, изображенной на левом рисунке, что означает, что $\Phi _{mK}(M)=\Phi _{mK}(W)$ , т.е. m-плюриканонический род бирационально инвариантен.

Иитака показывает, что для данного n-мерного компактного комплексного многообразия M с размерностью Кодаиры κ(M), удовлетворяющей условию 1 ⩽ κ(M) ⩽ n-1, существуют достаточно большие m ₁ , m ₂ такие, что $\Phi _{m_{1}K}:M\longrightarrow W_{m_{1}}(M)$ и $\Phi _{m_{2}K}:M\longrightarrow W_{m_{2}}(M)$ бирационально эквивалентны, что означает существование бирационального отображения $\varphi :W_{m_{1}}\longrightarrow W_{m_{2}}(M)$ . А именно, диаграмма, изображенная на правом рисунке, является коммутативной.

Кроме того, можно выбрать $M^{*}$ это бирационально с $M$ и $W^{*}$ это бирационально с обоими $W_{m_{1}}$ и $W_{m_{1}}$ такой, что

\Phi :M^{*}\longrightarrow W^{*}

является бирациональным отображением, слои $\Phi$ односвязны, и общие волокна $\Phi$

M_{w}^{*}:=\Phi ^{-1}(w),\ \ w\in W^{*}

имеют размерность Кодайры 0.

Вышеупомянутая расслоенная структура называется расслоенным пространством Иитака. В случае поверхности S ( n = 2 = dim(S)), W ^* — алгебраическая кривая, структура слоев имеет размерность 1, а затем общие слои имеют размерность Кодаиры 0, т.е. эллиптическую кривую. Следовательно, S — эллиптическая поверхность. Эти факты можно обобщить на общий n . Поэтому изучение многомерной бирациональной геометрии разлагается на часть κ=-∞,0,n и расслоенное пространство, слои которого имеют κ=0.

Следующая дополнительная формула Иитаки, называемая гипотезой Иитаки , важна для классификации алгебраических многообразий или компактных комплексных многообразий.

Гипотеза Иитаки — Пусть $f:V\rightarrow W$ быть расслоенным пространством из m-мерного многообразия $V$ к n-мерному многообразию $W$ и каждое волокно $V_{w}=f^{-1}(w)$ подключен. Затем

\kappa (V)\geq \kappa (V_{w})+\kappa (W).

Эта гипотеза была решена лишь частично, например, в случае Многообразия Мойшезона . Теорию классификации можно назвать попыткой решить гипотезу Иитаки и вывести другие теоремы о том, что трехмерное многообразие V является абелевым тогда и только тогда, когда κ(V)=0 и q(V)=3, и его обобщение и т. д. . Программа минимальной модели могла бы основываться на этой гипотезе.

Ссылки

Иитака, Сигэру (1970), «О D-размерностях алгебраических многообразий», Proc. Япония Акад. , 46 : 487–489, doi : 10.3792/pja/1195520260 , MR 0285532
Иитака, Сигэру (1971), «О D-размерностях алгебраических многообразий», J. Math. Соц. Япония. , 23 : 356–373, doi : 10.2969/jmsj/02320356 , MR 0285531
Уэно, Кенджи (1975), Теория классификации алгебраических многообразий и компактных комплексных пространств , Конспект лекций по математике, том. 439, Шпрингер-Верлаг , MR 0506253