Бирациональный инвариант
В алгебраической геометрии бирациональный инвариант — это свойство, сохраняющееся при бирациональной эквивалентности .
Формальное определение
[ редактировать ]Бирациональный инвариант — это величина или объект, который корректно определен в бирациональной эквивалентности классе алгебраических многообразий . Другими словами, это зависит только от функционального поля многообразия.
Примеры
[ редактировать ]Первый пример дан основополагающей работой самого Римана : в своей диссертации он показывает, что можно определить риманову поверхность для каждой алгебраической кривой ; каждая риманова поверхность происходит от алгебраической кривой, четко определенной с точностью до бирациональной эквивалентности, и две бирациональные эквивалентные кривые дают одну и ту же поверхность. Следовательно, риманова поверхность, или проще говоря, ее геометрический род, является бирациональным инвариантом.
Более сложный пример даёт теория Ходжа : в случае алгебраической поверхности Ходжа числа h 0,1 и ч 0,2 неособой проективной комплексной поверхности являются бирациональными инвариантами. Число Ходжа h 1,1 это не так, поскольку процесс превращения точки в кривую на поверхности может увеличить ее.
Ссылки
[ редактировать ]- Райхштейн, З.; Юссин, Б. (2002), «Бирациональный инвариант для действий алгебраической группы», Pacific Journal of Mathematics , 204 (1): 223–246, arXiv : math/0007181 , doi : 10.2140/pjm.2002.204.223 , MR 1905199 .