Минимальная модельная программа

В алгебраической геометрии программа минимальной модели является частью бирациональной классификации алгебраических многообразий . бирациональную модель любого сложного проективного многообразия Его цель — построить как можно более простую . Этот предмет берет свое начало в классической бирациональной геометрии поверхностей, изучаемой итальянской школой , и в настоящее время является активной областью исследований в рамках алгебраической геометрии.

Контур

Основная идея теории состоит в том, чтобы упростить бирациональную классификацию многообразий путем нахождения в каждом классе бирациональной эквивалентности многообразия, которое «настолько просто, насколько это возможно». Точный смысл этой фразы менялся по мере развития предмета; изначально для поверхностей это означало поиск гладкого разнообразия $X$ для которого любой бирациональный морфизм $f\colon X\to X'$ с гладкой поверхностью $X'$ является изоморфизмом .

В современной формулировке цель теории состоит в следующем. Предположим, нам дано проективное многообразие $X$ , который для простоты предполагается неособым. Есть два случая, основанных на его измерении Кодайры : $\kappa (X)$ : ^{[ 1 ]}

$\kappa (X)=-\infty .$ Мы хотим найти разнообразие $X'$ бирационален для $X$ и морфизм $f\colon X'\to Y$ к проективному многообразию $Y$ такой, что $\dim Y<\dim X',$ с антиканоническим классом $-K_{F}$ из общего волокна $F$ быть обильным . Такой морфизм называется расслоением Фано .
$\kappa (X)\geqslant 0.$ Мы хотим найти $X'$ бирационален для $X$ , с каноническим классом $K_{X^{\prime }}$ неф . В этом случае, $X'$ это минимальная модель для $X$ .

Вопрос о том, существуют ли разновидности $X'$ и $X$ Появляющиеся выше, не являются особенными, это важно. Кажется естественным надеяться, что если мы начнем с гладкого $X$ , то мы всегда сможем найти минимальную модель или расслоение Фано внутри категории гладких многообразий. Однако это не так, и поэтому возникает необходимость рассмотреть и сингулярные многообразия. Возникающие особенности называются терминальными особенностями .

Минимальные модели поверхностей

Каждая неприводимая комплексная алгебраическая кривая бирациональна единственной гладкой проективной кривой, поэтому теория кривых тривиальна. Случай поверхностей был впервые исследован геометрами итальянской школы около 1900 года; Теорема сжатии о Гвидо Кастельнуово по существу описывает процесс построения минимальной модели любой поверхности. Теорема утверждает, что любой нетривиальный бирациональный морфизм $f\colon X\to Y$ должна стягивать -1-кривую до гладкой точки, и наоборот, любую такую кривую можно плавно стянуть. Здесь −1-кривая — это гладкая рациональная кривая C с самопересечением $C\cdot C=-1.$ Любая такая кривая должна иметь $K\cdot C=-1$ который показывает, что если канонический класс nef, то поверхность не имеет −1-кривых.

Теорема Кастельнуово подразумевает, что для построения минимальной модели гладкой поверхности мы просто сжимаем все −1-кривые на поверхности, и полученное многообразие Y является либо (уникальной) минимальной моделью с K nef, либо линейчатой поверхностью (которая аналогично двумерному расслоенному пространству Фано и является либо проективной плоскостью, либо линейчатой поверхностью над кривой). Во втором случае линейчатая поверхность, бирациональная X, не единственна, хотя существует единственная, изоморфная произведению проективной прямой и кривой. Несколько тонкий момент заключается в том, что даже если поверхность может иметь бесконечное количество -1-кривых, достаточно сжать конечное число из них, чтобы получить поверхность без -1-кривых.

Многомерные минимальные модели

В размерностях больше 2 теория становится гораздо более сложной. В частности, существуют гладкие многообразия $X$ которые не бирациональны ни одному гладкому многообразию $X'$ с каноническим классом nef . Главным концептуальным достижением 1970-х и начала 1980-х годов было то, что построение минимальных моделей все еще возможно, если внимательно относиться к типам возникающих сингулярностей. (Например, мы хотим решить, $K_{X'}$ это хорошо, поэтому номера пересечений $K_{X'}\cdot C$ должно быть определено. Следовательно, по крайней мере, наши сорта должны иметь $nK_{X'}$ быть делителем Картье для некоторого положительного целого числа $n$ .)

Первым ключевым результатом является конусах о теорема Сигэфуми Мори , описывающая структуру конуса кривых $X$ . Кратко говоря, теорема показывает, что начиная с $X$ , можно индуктивно построить последовательность многообразий $X_{i}$ , каждый из которых «ближе» предыдущего к наличию $K_{X_{i}}$ неф. Однако процесс может столкнуться с трудностями: в какой-то момент сорт $X_{i}$ может стать «слишком единичным». Предполагаемым решением этой проблемы является переворот , своего рода операция хирургии коразмерности 2 на $X_{i}$ . Неясно, существуют ли требуемые флипы и что они всегда завершаются (т. е. достигается минимальная модель $X'$ за конечное число шагов). Мори (1988) показал, что флипы существуют в трехмерном случае.

Существование более общих лог-флипов было установлено Вячеславом Шокуровым в измерениях три и четыре. Впоследствии это было обобщено на более высокие измерения Кошером Биркаром , Паоло Касчини, Кристофером Хаконом и Джеймсом МакКернаном, опираясь на более ранние работы Шокурова, Хакона и МакКернана. Они также доказали несколько других проблем, включая конечное порождение лог-канонических колец и существование минимальных моделей для многообразий лог-общего типа.

Проблема прекращения переворотов логов в высших измерениях остается предметом активных исследований.

См. также

Ссылки

^ Обратите внимание, что размерность Кодайры n -мерного многообразия либо $-\infty$ или целое число в диапазоне от 0 до n .

Биркар, Коше ; Кашини, Паоло; Хакон, Кристофер ; МакКернан, Джеймс (2010), «Существование минимальных моделей для разновидностей логарифмического общего типа», Журнал Американского математического общества , 23 (2): 405–468, arXiv : math/0610203 , Bibcode : 2010JAMS...23. .405B , дои : 10.1090/С0894-0347-09-00649-3 , МР 2601039
Клеменс, Герберт ; Коллар, Янош ; Мори, Сигефуми (1988), «Многомерная комплексная геометрия», Asterisque (166): 144 стр. (1989), ISSN 0303-1179 , МР 1004926.
Фуджино, Осаму (2009), «Новые разработки в теории минимальных моделей», Сугаку , 61 (2), Математическое общество Японии: 162–186, ISSN 0039-470X , MR 2560253
Коллар, Янош (1987), «Структура алгебраических тройных многообразий: введение в программу Мори» , Бюллетень Американского математического общества , New Series, 17 (2): 211–273, doi : 10.1090/S0273-0979-1987- 15548-0 , ISSN 0002-9904 , МР 0903730
Коллар, Янош (1989), «Минимальные модели алгебраических тройных многообразий: программа Мори» , Asterisque (177): 303–326, ISSN 0303-1179 , MR 1040578
Коллар, Янош (1996), Рациональные кривые на алгебраических многообразиях , результаты математики и ее пограничные области. 3-й эпизод. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных обзоров по математике. 32, Берлин: Springer-Verlag, номер номера : 10.1007/978-3-662-03276-3 , ISBN. 978-3-642-08219-1 , МР 1440180
Коллар, Янош ; Мори, Сигэфуми (1998), Бирациональная геометрия алгебраических многообразий , Кембриджские трактаты по математике, том. 134, Издательство Кембриджского университета , doi : 10.1017/CBO9780511662560 , ISBN 978-0-521-63277-5 , МР 1658959
Мацуки, Кенджи (2002), Введение в программу Мори , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Publishing , doi : 10.1007/978-1-4757-5602-9 , ISBN 978-0-387-98465-0 , МР 1875410
Мори, Шигефуми (1988), «Теорема о флипе и существование минимальных моделей для трехмерных многообразий», Журнал Американского математического общества , 1 (1), Американское математическое общество: 117–253, doi : 10.2307/1990969 , ISSN 0894 -0347 , JSTOR 1990969 , MR 0924704
Кавамата, Юджиро (2001) [1994], «Теория Мори экстремальных лучей» , Энциклопедия математики , EMS Press

[1] Обратите внимание, что размерность Кодайры n -мерного многообразия либо $-\infty$ или целое число в диапазоне от 0 до n .

[ 1 ]