Рациональная поверхность

В алгебраической геометрии , разделе математики , рациональная поверхность — это поверхность, бирационально эквивалентная проективной плоскости , или, другими словами, рациональное многообразие размерности два. Рациональные поверхности - это самые простые из примерно 10 классов поверхностей в Энриквеса-Кодайры классификации сложных поверхностей .и были первыми поверхностями, которые были исследованы.

Структура

Любую неособую рациональную поверхность можно получить путем многократного раздутия минимальной рациональной поверхности . Минимальными рациональными поверхностями являются проективная плоскость и поверхности Хирцебруха Σ _r при r = 0 или r ≥ 2.

Инварианты: все плюриродные фундаментальная равны 0, а группа тривиальна.

Ходж Даймонд :

		1
	0		0
0		1+ н		0
	0		0
		1

где n равно 0 для проективной плоскости и 1 для поверхностей Хирцебруха. и больше 1 для других рациональных поверхностей.

Группа Пикара — это нечетная унимодулярная решетка I _{1, n} , за исключением поверхностей Хирцебруха 2 _{, m} когда это четная унимодулярная решетка II _1,1 .

Теорема Кастельнуово

Гвидо Кастельнуово доказал, что любая комплексная поверхность, у которой q и P ₂ (нерегулярность и второе плюригенус) равны нулю, является рациональной. Это используется в классификации Энрикеса-Кодайры для идентификации рациональных поверхностей. Зариски (1958) доказал, что теорема Кастельнуово справедлива и над полями положительной характеристики.

Теорема Кастельнуово также подразумевает, что любая унирациональная комплексная поверхность рациональна, потому что, если комплексная поверхность унирациональна, то ее нерегулярности и плюрироды ограничены иррегулярностями рациональной поверхности и, следовательно, все равны 0, поэтому поверхность рациональна. Большинство унирациональных комплексных многообразий размерности 3 и более нерациональны. В характеристике p > 0 Зарисский (1958) нашел примеры унирациональных поверхностей ( поверхностей Зарисского ), которые не являются рациональными.

Одно время было неясно, является ли комплексная поверхность такой, что q и P ₁ равны нулю рационально, но контрпример ( поверхность Энриквеса ) был найден Федериго Энрикесом .

Примеры рациональных поверхностей

Поверхности Бордиги : вложение проективной плоскости степени 6 в P ⁴ определяется квартиками через 10 точек общего положения.
Поверхности Шатле
Булыжные поверхности
Кубические поверхности. Неособые кубические поверхности изоморфны проективной плоскости, раздутой в 6 точках, и являются поверхностями Фано. Названные примеры включают кубику Ферма , кубическую поверхность Кэли и диагональную поверхность Клебша .
Поверхности дель Пеццо (поверхности Фано)
Поверхность Эннепера
Поверхности Хирцебруха Σ _n
П ¹× P ¹ Произведение двух проективных прямых представляет собой поверхность Хирцебруха Σ ₀ . Это единственная поверхность с двумя разными линиями.
Проективная плоскость
Поверхность Сегре. Пересечение двух квадрик, изоморфных проективной плоскости, раздутой в 5 точках.
Поверхность Штейнера Поверхность в P ⁴ с особенностями, бирациональными проективной плоскости.
Белые поверхности , обобщение поверхностей Бордиги.
Поверхность Веронезе. Вложение проективной плоскости в P ⁵.

См. также

Список алгебраических поверхностей

Ссылки

Барт, Вольф П.; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные комплексные поверхности , результаты математики и ее пограничные области. 3-я серия, том. 4, Шпрингер-Верлаг, Берлин, ISBN 978-3-540-00832-3 , МР 2030225
Бовилль, Арно (1996), Комплексные алгебраические поверхности , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 34 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-49510-3 , МР 1406314
Зариски, Оскар (1958), «О критерии рациональности Кастельнуово p _a = P ₂ = 0 алгебраической поверхности», Illinois Journal of Mathematics , 2 : 303–315, ISSN 0019-2082 , MR 0099990

Внешние ссылки

Le Superficie Algebriche : инструмент для визуального изучения географии (минимальных) комплексных алгебраических гладких поверхностей.