Поверхность Зариского

О пространствах нормирования см. Поверхность Зариского – Римана .

В алгебраической геометрии , разделе математики , поверхность Зарисского — это поверхность над полем характеристики > 0 , p такая, что существует доминирующее неотделимое отображение степени p от проективной плоскости на поверхность. В частности, все поверхности Зарисского унирациональны . Они были названы Петром Блассом в 1977 году в честь Оскара Зарисского , который использовал их в 1958 году, чтобы привести примеры нерациональных унирациональных поверхностей в характеристике p > 0. (В характеристике 0, напротив, теорема Кастельнуово подразумевает, что все унирациональные поверхности рациональны.)

Поверхности Зарисского бирациональны поверхностям в аффинном трехмерном пространстве A. ³ определяется неприводимыми полиномами вида

$z^{p}=f(x,y).\$

Следующая проблема была поставлена ​​Оскаром Зариским в 1971 году: Пусть S — поверхность Зариского с исчезающим геометрическим родом . Обязательно ли S является рациональной поверхностью? Для p = 2 и для p = 3 ответ на поставленную выше проблему отрицательный, как показал в 1977 году Петр Бласс в своей в Мичиганском университете. докторской диссертации диссертация Уильяма Э. Ланга в его Гарвардской докторской диссертации. диссертацию в 1978 году. Кентаро Мицуи ( 2014 ) объявил о дальнейших примерах, дающих отрицательный ответ на вопрос Зариски по каждой характеристике p>0.Однако его метод на данный момент неконструктивен, и у нас нет явных уравнений для p>3.

См. также

• Список алгебраических поверхностей

Ссылки

• Бласс, Петр; Ланг, Джеффри (1987), Поверхности Зарисского и дифференциальные уравнения в характеристике p > 0 , Монографии и учебники по чистой и прикладной математике, том. 106, Нью-Йорк: Marcel Dekker Inc., ISBN  978-0-8247-7637-4 , МР   0879599
• Мицуи, Кентаро (2014), «К вопросу о Зарисском на поверхностях Зариского», Math. З. , 276 (1–2): 237–242, doi : 10.1007/s00209-013-1195-0 , МР   3150201
• Зариски, Оскар (1958), «О критерии рациональности Кастельнуово p _a = P ₂ =0 алгебраической поверхности» , Illinois Journal of Mathematics , 2 : 303–315, ISSN   0019-2082 , MR   0099990