Jump to content

Плоский морфизм

В математике , в частности в теории схем в алгебраической геометрии , плоский морфизм f схемы X в схему Y — это морфизм такой, что индуцированное отображение на каждом стебле является плоским отображением колец, т. е.

является плоским отображением для всех P в X . [1] Карта колец называется плоским, он является гомоморфизмом, делающим B плоским если A -модулем. Морфизм схем называется точно плоским, если он одновременно сюръективен и плоский. [2]

Два основных предположения относительно плоских морфизмов:

  • плоскостность — общее свойство ; и
  • нарушение плоскостности происходит на скачущем множестве морфизма.

Первый из них исходит из коммутативной алгебры : при соблюдении некоторых условий конечности на f можно показать, что существует непустая открытая подсхема. Y Y , такой, что f, ограниченный ′ , является плоским морфизмом ( плоскость общего положения ). Здесь «ограничение» интерпретируется посредством расслоенного произведения схем , примененного к f , и включения отображения в Ю.

Во-вторых, идея состоит в том, что морфизмы в алгебраической геометрии могут демонстрировать разрывы такого рода, которые обнаруживаются с помощью плоскостности. Например, операция сдувания в бирациональной геометрии алгебраической поверхности может дать единственный слой размерности 1, тогда как все остальные имеют размерность 0. Оказывается (ретроспективно), что плоскостность в морфизмах напрямую связана с контролем это своего рода полунепрерывность , или односторонние прыжки.

Плоские морфизмы используются для определения (более одной версии) плоского топоса и плоских когомологий пучков из него. Это глубоко укоренившаяся теория, и с ней нелегко справиться. Понятие этального морфизма (и, следовательно, этальных когомологий ) зависит от концепции плоского морфизма: этальный морфизм является плоским, конечного типа и неразветвленным .

Примеры/не примеры

[ редактировать ]

Рассмотрим аффинную схему

индуцированный из очевидного морфизма алгебр

Поскольку доказательство плоскости этого морфизма сводится к вычислению [3]

решаем комплексные числа

и тензор модулем, представляющим нашу схему, дающую последовательность -модули

Поскольку t не является делителем нуля, мы имеем тривиальное ядро, следовательно, группа гомологии обращается в нуль.

Чудо-плоскость

[ редактировать ]

Другие примеры плоских морфизмов можно найти с помощью «чудо-плосткости». [4] в котором говорится, что если у вас есть морфизм между схемой Коэна–Маколея и регулярной схемой с равномерными слоями, то она плоская. Простыми примерами этого являются эллиптические расслоения , гладкие морфизмы и морфизмы стратифицированных многообразий , которые удовлетворяют чудесной плоскостности на каждом из страт.

схемы Гильберта

[ редактировать ]

Универсальные примеры плоских морфизмов схем дают схемы Гильберта . Это связано с тем, что схемы Гильберта параметризуют универсальные классы плоских морфизмов, а каждый плоский морфизм является возвратом к некоторой схеме Гильберта. Т.е., если плоская, существует коммутативная диаграмма

для схемы Гильберта всех плоских морфизмов на . С плоский, волокна все имеют одинаковый полином Гильберта , следовательно, мы могли бы написать аналогичным образом для схемы Гильберта, приведенной выше.

Непримеры

[ редактировать ]

Увеличенное изображение

[ редактировать ]

Один класс непримеров представляют собой увеличенные карты.

Одним из простых примеров является разрушение точки в . Если мы возьмем начало координат, оно задается морфизмом

отправка

где волокно над точкой является копией , то есть,

что следует из

Но для , мы получаем изоморфизм

Причина, по которой это не является плоским, заключается в лемме Чуда о плоскостности, которую можно проверить локально.

Бесконечное разрешение

[ редактировать ]

Простой пример плоского морфизма: Это потому, что

представляет собой бесконечный комплекс, который мы можем найти, взяв плоское разрешение k ,

и тензоризируем разрешение с помощью k , мы находим, что

показывая, что морфизм не может быть плоским. Другим непримером плоского морфизма является раздутие , поскольку плоский морфизм обязательно имеет равномерные слои.

Свойства плоских морфизмов

[ редактировать ]

Позволять быть морфизмом схем. Для морфизма , позволять и Морфизм f плоский тогда и только тогда, когда для каждого g обратный образ является точным функтором из категории квазикогерентных -модули к категории квазикогерентных -модули. [5]

Предполагать и являются морфизмами схем и f плоская точка x в X . Тогда g плоская точка тогда и только тогда, когда gf плоская в точке x . [6] В частности, если f точно плоская, то g плоская или точно плоская тогда и только тогда, когда gf плоская или точно плоская соответственно. [7]

Основные свойства

[ редактировать ]
  • Композиция двух плоских морфизмов плоская. [8]
  • Слоевое произведение двух плоских или точно плоских морфизмов является соответственно плоским или строго плоским морфизмом. [9]
  • Плоскостность и правильная плоскостность сохраняются за счет замены основания: если f плоское или совершенно плоское и , то произведение волокна является плоским или совершенно плоским соответственно. [10]
  • Множество точек, в которых морфизм (локально конечного представления) является плоским, открыто. [11]
  • Если f строго плоская и имеет конечное представление, и если gf имеет конечный тип или конечное представление, то g имеет конечный тип или конечное представление соответственно. [12]

Предполагать является плоским морфизмом схем.

  • Если F — квазикогерентный пучок конечного представления на Y (в частности, если F когерентен), и если J — аннулятор F на Y , то , откат карты включения, является инъекцией, а образ в является разрушителем на Х. [13]
  • Если f точно плоская и G — квазикогерентная -модуль, затем карта откатов на глобальных секциях является инъективным. [14]

Предполагать плоский. Пусть X и Y S -схемы, и пусть и быть их базовым изменением на h .

  • Если является квазикомпактным и доминирующим, то его база изменится является квазикомпактным и доминирующим. [15]
  • Если h абсолютно плоский, то отображение обратного пути является инъективным. [16]
  • Предполагать является квазикомпактным и квазиразделенным. Пусть Z — замкнутый образ X и пусть быть канонической инъекцией. Тогда замкнутая подсхема, определяемая заменой базы это закрытое изображение . [17]

Топологические свойства

[ редактировать ]

Если плоский, то он обладает всеми следующими свойствами:

  • Для каждой точки x из X и каждого обобщения y ′ из y = f ( x ) существует такое обобщение x ′ из x , что y ′ = f ( x ′) . [18]
  • Для каждой точки x из X , . [19]
  • Для каждого неприводимого замкнутого подмножества Y ′ множества Y каждая неприводимая компонента f −1 ( Y ′) доминирует над Y ′. [20]
  • Если Z и Z ′ — два неприводимых замкнутых подмножества Y, причем Z содержится в Z ′, то для каждой неприводимой компоненты T множества f −1 ( Z ), существует неприводимая компонента T ′ функции f −1 ( Z ′ ), содержащий T . [21]
  • Для каждого неприводимого компонента T из X замыкание f ( T является неприводимым компонентом Y. ) [22]
  • Если Y неприводим с общей точкой y и если f −1 ( y ) неприводим, то X неприводим. [23]
  • Если f также замкнуто, образ каждой компоненты связности X является компонентой связности Y . [24]
  • Для каждого проконструируемого подмножества Z множества Y , . [25]

Если f плоская и локально конечного представления, то f универсально открыта. [26] Однако если f абсолютно плоская и квазикомпактная, то, вообще говоря, неверно, что f открыта, даже если X и Y нётеровы. [27] Более того, никакого обратного к этому утверждению не существует: если f — каноническое отображение приведенной схемы X red в X , то f — универсальный гомеоморфизм, но для X нередуцированного и нётерового f никогда не будет плоским. [28]

Если является абсолютно плоским, то:

  • Топология на Y — это фактортопология относительно f . [29]
  • Если f также квазикомпактно, и если Z является подмножеством Y , то Z является локально замкнутым проконструируемым подмножеством Y тогда и только тогда, когда f −1 ( Z ) — локально замкнутое проконструируемое подмножество X . [30]

Если f плоская и локально конечного представления, то для каждого из следующих свойств P множество точек, где f имеет P, открыто: [31]

  • Условие Серра S k (при любом фиксированном k ).
  • Геометрически правильный.
  • Геометрически нормально.

Если, кроме того, f является собственным, то то же самое верно для каждого из следующих свойств: [32]

  • Геометрически уменьшенный.
  • Геометрически приведенный и имеющий k компонент геометрической связности (при любом фиксированном k ).
  • Геометрически целочисленный.

Плоскостность и размер

[ редактировать ]

Предполагать и локально нетеровы, и пусть .

  • Пусть x будет точкой X и y = f ( x ) . Если f плоская, то dim x X = dim y Y + dim x f −1 ( и ) . [33] И наоборот, если это равенство выполняется для всех x , X является Коэном-Маколеем , а Y является регулярным , и, кроме того, f отображает закрытые точки в закрытые точки, то f является плоским. [34]
  • Если f точно плоское, то для каждого замкнутого подмножества в Y codim Z Y ( Z ) = codim X ( f −1 ( С )) . [35]
  • Предположим, что f плоский и F — квазикогерентный модуль над Y . Если F имеет проективную размерность не более n , то имеет проективную размерность не более n . [36]

Свойства спуска

[ редактировать ]
  • Предположим, является плоским в точке x в X. f Если X уменьшен или нормален в точке x , то Y уменьшен или нормален соответственно в точке f ( x ). [37] Обратно, если f также имеет конечное представление и f −1 ( y ) уменьшена или нормальна соответственно в точке x , тогда X уменьшена или нормальна соответственно в точке x . [38]
  • В частности, если f строго плоская, то уменьшенное или нормальное значение X означает, что Y уменьшено или нормально соответственно. Если f точно плоская и имеет конечное представление, то из всех слоев f, приведенных или нормальных, следует, что X приведено или нормально соответственно.
  • Если f является плоским в точке x в X , и если X является целым или целозамкнутым в точке x , то Y является целым или целозамкнутым соответственно в точке f ( x ). [39]
  • Если f точно плоский, X локально целочисленный и топологическое пространство Y локально нётерово, то Y локально целочисленный. [40]
  • Если f точно плоский и квазикомпактный и если X локально нётерово, то Y также локально нётерово. [41]
  • Предположим, что f плоская, а X и Y локально нётеровы. Если X регулярен в точке x , то Y регулярен в точке f ( x ). И наоборот, если Y регулярен в точке f ( x ) и f −1 ( f ( x )) регулярно в точке x , то X регулярно в точке x . [42]
  • Предположим, что f плоская, а X и Y локально нётеровы. Если X является нормальным в точке x , то Y является нормальным в точке f ( x ). И наоборот, если Y нормален в точке f ( x ) и f −1 ( f ( x )) нормально в точке x , то X нормально в точке x . [43]

Пусть g : Y ′ → Y строго плоский. Пусть F — квазикогерентный пучок на Y и пусть F ′ — обратный образ F к Y ′. Тогда F плоская над Y тогда и только тогда, когда F плоская над Y . [44]

Предположим, что f строго плоская и квазикомпактная. Пусть G квазикогерентный пучок на Y , и пусть F обозначает его обратный образ к X. — Тогда F имеет конечный тип, конечное представление или локально свободна от ранга n тогда и только тогда, когда G обладает соответствующим свойством. [45]

Предположим, f : X Y S -морфизм S -схем. Пусть g : S ′ → S точно плоский и квазикомпактный, и пусть X ′, Y ′ и f ′ обозначают замены базы на g . Тогда для каждого из следующих свойств P , если f ' имеет , то f имеет P. P [46]

  • Открыть.
  • Закрыто.
  • Квазикомпакт и гомеоморфизм на его образ.
  • Гомеоморфизм.

Кроме того, для каждого из следующих свойств f P имеет P тогда и только тогда, когда f ′ имеет P . [47]

  • Универсально открытый.
  • Универсально закрыто.
  • Универсальный гомеоморфизм.
  • Квазикомпактный.
  • Квазикомпактный и доминантный.
  • Квазикомпактный и универсально бинепрерывный.
  • Отдельно.
  • Квази-разделенный.
  • Локально конечного типа.
  • Локально конечного представления.
  • Конечный тип.
  • Конечная презентация.
  • Правильный.
  • Изоморфизм.
  • Мономорфизм.
  • Открытое погружение.
  • Квазикомпактное погружение.
  • Закрытое погружение.
  • Аффинный.
  • Почти-похожи.
  • Конечный.
  • Квазиконечный.
  • Интеграл.

Возможно, что f ′ является локальным изоморфизмом, но при этом f даже не является локальным погружением. [48]

Если f квазикомпактно и L обратимый пучок на X , то L является f -обильным или f -очень обильным тогда и только тогда, когда его образ L ' является f' -обильным или f' -очень обильным соответственно. [49] Однако неверно, что f проективен тогда и только тогда, когда f ′ проективен. Неверно даже, что если f собственный и f ′ проективен, то f квазипроективен, поскольку ′ возможно существование f ′-обильного пучка на X , который не спускается до X . [50]

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ ИЛИ IV 2 , 2.1.1.
  2. ^ ИЛИ 0 I , 6.7.8.
  3. ^ Сернеси, Э. (2010). Деформации алгебраических схем . Спрингер . стр. 269–279 .
  4. ^ «Плоские морфизмы и плоскостность» .
  5. ^ EGA IV 2 , Предложение 2.1.3.
  6. ^ EGA IV 2 , Следствие 2.2.11(iv).
  7. ^ EGA IV 2 , Следствие 2.2.13(iii).
  8. ^ EGA IV 2 , Следствие 2.1.6.
  9. ^ EGA IV 2 , следствие 2.1.7, и EGA IV 2 , следствие 2.2.13(ii).
  10. ^ EGA IV 2 , предложение 2.1.4, и EGA IV 2 , следствие 2.2.13(i).
  11. ^ EGA IV 3 , Теорема 11.3.1.
  12. ^ EGA IV 3 , Предложение 11.3.16.
  13. ^ EGA IV 2 , Предложение 2.1.11.
  14. ^ EGA IV 2 , Следствие 2.2.8.
  15. ^ EGA IV 2 , Предложение 2.3.7 (i).
  16. ^ EGA IV 2 , Следствие 2.2.16.
  17. ^ EGA IV 2 , Предложение 2.3.2.
  18. ^ EGA IV 2 , Предложение 2.3.4 (i).
  19. ^ EGA IV 2 , Предложение 2.3.4(ii).
  20. ^ EGA IV 2 , Предложение 2.3.4(iii).
  21. ^ EGA IV 2 , следствие 2.3.5(i).
  22. ^ EGA IV 2 , Следствие 2.3.5(ii).
  23. ^ EGA IV 2 , Следствие 2.3.5(iii).
  24. ^ EGA IV 2 , Предложение 2.3.6(ii).
  25. ^ EGA IV 2 , Теорема 2.3.10.
  26. ^ EGA IV 2 , Теорема 2.4.6.
  27. ^ EGA IV 2 , Примечания 2.4.8 (i).
  28. ^ EGA IV 2 , Примечания 2.4.8(ii).
  29. ^ EGA IV 2 , Следствие 2.3.12.
  30. ^ EGA IV 2 , Следствие 2.3.14.
  31. ^ EGA IV 3 , Теорема 12.1.6.
  32. ^ EGA IV 3 , Теорема 12.2.4.
  33. ^ EGA IV 2 , Следствие 6.1.2.
  34. ^ EGA IV 2 , Предложение 6.1.5. предположение о регулярности Y. Обратите внимание, что здесь важно Расширение дает контрпример с X регулярным, Y нормальным, f конечным сюръективным, но не плоским.
  35. ^ EGA IV 2 , Следствие 6.1.4.
  36. ^ EGA IV 2 , Следствие 6.2.2.
  37. ^ EGA IV 2 , Предложение 2.1.13.
  38. ^ EGA IV 3 , Предложение 11.3.13.
  39. ^ EGA IV 2 , Предложение 2.1.13.
  40. ^ EGA IV 2 , Предложение 2.1.14.
  41. ^ EGA IV 2 , Предложение 2.2.14.
  42. ^ EGA IV 2 , Следствие 6.5.2.
  43. ^ EGA IV 2 , Следствие 6.5.4.
  44. ^ EGA IV 2 , Предложение 2.5.1.
  45. ^ EGA IV 2 , Предложение 2.5.2.
  46. ^ EGA IV 2 , Предложение 2.6.2.
  47. ^ EGA IV 2 , Следствие 2.6.4 и Предложение 2.7.1.
  48. ^ EGA IV 2 , Примечания 2.7.3(iii).
  49. ^ EGA IV 2 , Следствие 2.7.2.
  50. ^ EGA IV 2 , Примечания 2.7.3(ii).
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: eff36537947ce9443aa11b4ca9c9bc37__1677875520
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/ef/37/eff36537947ce9443aa11b4ca9c9bc37.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Flat morphism - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)