Дивизор (алгебраическая геометрия)

В алгебраической геометрии дивизоры являются обобщением подмногообразий коразмерности -1 алгебраических многообразий . Обычно используются два разных обобщения: делители Картье и делители Вейля (названные честь Пьера Картье и Андре Вейля в Дэвидом Мамфордом ). Оба выведены из понятия делимости целых чисел и полей алгебраических чисел .

коразмерности 1 В глобальном масштабе каждое подмногообразие проективного пространства определяется исчезновением одного однородного многочлена ; Напротив, подмногообразие коразмерности r не обязательно может быть определено только с помощью r уравнений, если r больше 1. (То есть не каждое подмногообразие проективного пространства является полным пересечением .) Локально каждое подмногообразие коразмерности 1 гладкого многообразия может быть задано одним уравнением в окрестности каждой точки. Опять же, аналогичное утверждение неверно для подмногообразий более высокой коразмерности. В результате этого свойства большая часть алгебраической геометрии изучает произвольное многообразие путем анализа его подмногообразий коразмерности 1 и соответствующих линейных расслоений .

На сингулярных многообразиях это свойство также может нарушаться, поэтому необходимо различать подмногообразия коразмерности 1 и многообразия, которые локально определяются одним уравнением. Первые являются делителями Вейля, а вторые — делителями Картье.

Топологически дивизоры Вейля играют роль классов гомологии , а дивизоры Картье представляют когомологии классы . В гладком многообразии (или, в более общем плане, в регулярной схеме ) результат, аналогичный двойственности Пуанкаре, говорит, что дивизоры Вейля и Картье одинаковы.

Название «делитель» восходит к работам Дедекинда и Вебера , которые показали значимость областей Дедекинда для изучения алгебраических кривых . Группа дивизоров на кривой ( свободная абелева группа, порожденная всеми дивизорами) тесно связана с группой дробных идеалов дедекиндовой области.

Алгебраический цикл — это обобщение дивизора более высокой коразмерности; по определению дивизор Вейля — это цикл коразмерности 1.

Дивизоры на римановой поверхности

Риманова поверхность — это одномерное комплексное многообразие , поэтому его подмногообразия коразмерности 1 имеют размерность 0. Группа дивизоров на компактной римановой поверхности X это свободная абелева группа в точках X. —

Эквивалентно, дивизор на компактной римановой поверхности X представляет собой конечную линейную комбинацию точек X с целыми коэффициентами. Степень делителя X . равна сумме его коэффициентов

Для любой ненулевой мероморфной функции f на X можно определить порядок исчезновения f в точке p в X , ord _p ( f ). Это целое число, отрицательное, если f имеет полюс в точке p . Дивизор ненулевой мероморфной функции f на компактной римановой поверхности X определяется как

$(f):=\sum _{p\in X}\operatorname {ord} _{p}(f)p,$

что является конечной суммой. Делители вида ( f ) также называются главными делителями . Поскольку ( fg ) = ( f ) + ( g ), набор главных делителей является подгруппой группы дивизоров. Два делителя, отличающиеся главным делителем, называются линейно эквивалентными .

На компактной римановой поверхности степень главного дивизора равна нулю; т. е. число нулей мероморфной функции равно числу полюсов, подсчитанных с кратностью. В результате степень корректно определена на классах линейной эквивалентности дивизоров.

Учитывая дивизор D на компактной римановой поверхности X , важно изучить комплексное векторное пространство мероморфных функций на X с полюсами, не более чем заданными D , называемое H ⁰ ( X , O ( D )) или пространство секций линейного расслоения, связанного с D . Степень D многое говорит о размерности этого векторного пространства. Например, если D имеет отрицательную степень, то это векторное пространство равно нулю (поскольку у мероморфной функции не может быть больше нулей, чем полюсов). Если D имеет положительную степень, то размерность H ⁰ ( X , O ( mD )) растет линейно по m при достаточно большом m . Теорема Римана–Роха является более точным утверждением в этом направлении. С другой стороны, точный размер H ⁰ ( X , O ( D )) для дивизоров D низкой степени является тонким и не полностью определяется степенью D . В этих размерах отражены особенности компактной римановой поверхности.

Одним из ключевых дивизоров на компактной римановой поверхности является канонический дивизор . Чтобы определить его, сначала определяют дивизор ненулевой мероморфной 1-формы, как указано выше. Поскольку пространство мероморфных 1-форм является одномерным векторным пространством над полем мероморфных функций, любые две ненулевые мероморфные 1-формы дают линейно эквивалентные дивизоры. этом классе линейной эквивалентности называется каноническим дивизором X Любой дивизор , KX _в . Род заключается в том, имеет ли канонический g из X можно прочитать по каноническому дивизору: а именно, K _X имеет степень 2 g - 2. Ключевая трихотомия среди компактных римановых поверхностей X дивизор отрицательную степень (поэтому X имеет род ноль), нулевую степень (род один) или положительную степень (род не менее 2). Например, это определяет, ли X имеет метрику Кэлера с положительной кривизной , нулевой кривизной или отрицательной кривизной. Канонический дивизор имеет отрицательную степень тогда и только тогда, когда X изоморфно сфере Римана CP. ¹ .

Потому что делители

Пусть X — целая локально нётерова схема . Простой дивизор или дивизор на X — это целочисленная замкнутая подсхема Z коразмерности неприводимый в X. 1 Дивизор Вейля на X — это формальная сумма по простым делителям Z числа X ,

$\sum _{Z}n_{Z}Z,$

где коллекция $\{Z:n_{Z}\neq 0\}$ локально конечен. Если X квазикомпактно, локальная конечность эквивалентна $\{Z:n_{Z}\neq 0\}$ будучи конечным. Группа всех дивизоров Вейля обозначается Div( X ) . Дивизор Вейля D эффективен , если все коэффициенты неотрицательны. Пишут D ≥ D′ , если разность D − D′ эффективна.

Например, дивизор на алгебраической кривой над полем представляет собой формальную сумму конечного числа замкнутых точек. Делитель в Spec Z представляет собой формальную сумму простых чисел с целыми коэффициентами и, следовательно, соответствует ненулевому дробному идеалу в Q . Аналогичная характеристика справедлива и для дивизоров на $\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K},$ где K — числовое поле.

Если Z ⊂ X — простой делитель, то локальное кольцо ${\mathcal {O}}_{X,Z}$ имеет размерность Крулля один. Если $f\in {\mathcal {O}}_{X,Z}$ не равно нулю, то порядок исчезновения f записываемый вдоль Z , ord _Z ( f ) , длине равен ${\mathcal {O}}_{X,Z}/(f).$ Эта длина конечна, и оно аддитивно по отношению к умножению, то есть ord _Z ( fg ) = ord _Z ( f ) + ord _Z ( g ) . Если k ( X ) — поле рациональных функций на X , то любой ненулевой f ∈ k ( X ) может быть записан как частное g / h , где g и h находятся в ${\mathcal {O}}_{X,Z},$ а порядок исчезновения f определяется как ord _Z ( g ) − ord _Z ( час ) . Согласно этому определению, порядок исчезновения — это функция ord _Z : k ( X ) ^× → З. ​Если X нормальное , то локальное кольцо ${\mathcal {O}}_{X,Z}$ — кольцо дискретного нормирования , а функция ord _Z — соответствующее нормирование. Для ненулевой рациональной функции f на X главный дивизор Вейля, связанный с f, определяется как дивизор Вейля

$\operatorname {div} f=\sum _{Z}\operatorname {ord} _{Z}(f)Z.$

Можно показать, что эта сумма локально конечна и, следовательно, действительно определяет дивизор Вейля. Главный дивизор Вейля, связанный с f, также обозначается ( f ) . Если f — регулярная функция, то ее главный делитель Вейля эффективен, но, вообще говоря, это неверно. Из аддитивности порядка исчезновения функции следует, что

$\operatorname {div} fg=\operatorname {div} f+\operatorname {div} g.$

Следовательно, div является гомоморфизмом и, в частности, его образ является подгруппой группы всех дивизоров Вейля.

Пусть X — нормальная целочисленная нётерова схема. Каждый дивизор Вейля D определяет когерентный пучок ${\mathcal {O}}_{X}(D)$ на Х. ​Конкретно его можно определить как подпучок пучка рациональных функций.

$\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X}(D))=\{f\in k(X):f=0{\text{ or }}\operatorname {div} (f)+D\geq 0{\text{ on }}U\}.$

То есть ненулевая рациональная функция f является сечением ${\mathcal {O}}_{X}(D)$ над U тогда и только тогда, когда для любого простого делителя Z, пересекающего U ,

$\operatorname {ord} _{Z}(f)\geq -n_{Z}$

где n _Z коэффициент при Z в D. — Если D является главным, то есть D является делителем рациональной функции g , то существует изоморфизм

${\begin{cases}{\mathcal {O}}(D)\to {\mathcal {O}}_{X}\\f\mapsto fg\end{cases}}$

с $\operatorname {div} (fg)$ является эффективным делителем и поэтому $fg$ является регулярным благодаря нормальности X . И наоборот, если ${\mathcal {O}}(D)$ изоморфен ${\mathcal {O}}_{X}$ как ${\mathcal {O}}_{X}$-модуль, то D главный. Отсюда следует, что D является локально главным тогда и только тогда, когда ${\mathcal {O}}(D)$ является обратимым; то есть линейный пучок.

Если D — эффективный делитель, соответствующий подсхеме X (например, D может быть приведенным делителем или простым делителем), то идеальный пучок подсхемы D равен ${\mathcal {O}}(-D).$Это приводит к часто используемой короткой точной последовательности:

$0\to {\mathcal {O}}_{X}(-D)\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{D}\to 0.$

Пучковые когомологии этой последовательности показывают, что $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(-D))$ содержит информацию о том, являются ли регулярные функции на D ограничениями регулярных функций на X .

Также имеется включение шкивов

$0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(D).$

Это дает канонический элемент $\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(D)),$ а именно, образ глобального сечения 1. Это называется каноническим сечением и может обозначаться s _D . Если каноническое сечение представляет собой образ никуда не исчезающей рациональной функции, то ее образ в ${\mathcal {O}}(D)$ исчезает вдоль D, поскольку функции перехода исчезают вдоль D . Когда D является гладким дивизором Картье, можно идентифицировать коядро указанного выше включения; см. разделители #Cartier ниже.

Предположим, что X — нормальная целочисленная разделенная схема конечного типа над полем. Пусть D — делитель Вейля. Затем ${\mathcal {O}}(D)$ первого ранга является рефлексивным пучком , и поскольку ${\mathcal {O}}(D)$ определяется как подпучок ${\mathcal {M}}_{X},$ это дробный идеальный пучок (см. ниже). И наоборот, каждый рефлексивный пучок ранга один соответствует дивизору Вейля: пучок может быть ограничен регулярным локусом, где он становится свободным и, таким образом, соответствует дивизору Картье (опять же, см. ниже), и поскольку сингулярный локус имеет коразмерность не менее во-вторых, замыкание дивизора Картье является дивизором Вейля.

Группа классов делителей

Группа классов дивизоров Вейля Cl( X ) является фактором Div( X ) по подгруппе всех главных дивизоров Вейля. Два дивизора называются линейно эквивалентными, если их разность является главной, поэтому группа классов дивизоров представляет собой группу дивизоров по модулю линейной эквивалентности. Для многообразия X размерности n над полем группа классов дивизоров является группой Чоу ; а именно, Cl( X ) — это группа Чоу CH _{n −1} ( X ) ( n − 1)-мерных циклов.

Пусть Z замкнутое подмножество X. — Если Z неприводима коразмерности один, то Cl( X − Z ) изоморфна фактор-группе Cl( X ) по классу Z . Если Z имеет коразмерность не менее 2 в X , то ограничение Cl( X ) → Cl( X − Z ) является изоморфизмом. (Эти факты представляют собой частные случаи последовательности локализации групп Чжоу.)

В нормальной целочисленной нетеровой схеме X два дивизора Вейля D , E линейно эквивалентны тогда и только тогда, когда ${\mathcal {O}}(D)$ и ${\mathcal {O}}(E)$ изоморфны как ${\mathcal {O}}_{X}$-модули. Классы изоморфизма рефлексивных пучков на X образуют моноид с произведением, заданным как рефлексивная оболочка тензорного произведения. Затем $D\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(D)$ определяет изоморфизм моноида из группы классов дивизоров Вейля X в моноид классов изоморфизма рефлексивных пучков ранга один на X .

Примеры

• Пусть k — поле, и пусть n — целое положительное число. Поскольку кольцо полиномов k [ x ₁ , ..., x _n ] является уникальной областью факторизации, группа классов дивизоров аффинного пространства A ^н над k равна нулю. Поскольку проективное пространство P ^н над k минус гиперплоскость H изоморфна A ^н , то группа классов дивизоров P ^н порождается классом H . Отсюда несложно проверить, что Cl( P ^н фактически изоморфен целым числам Z , порожденным H. ) Конкретно это означает, что каждое подмногообразие коразмерности 1 P ^н определяется обращением в нуль одного однородного полинома.

• Пусть X — алгебраическая кривая над полем k . Каждая замкнутая точка p в X имеет форму Spec E для некоторого конечного поля расширения поля k , а p определяется E как степень E степень над k . Расширение этого за счет линейности дает понятие степени дивизора на X . Если X — проективная кривая над k , то дивизор ненулевой рациональной функции f на X имеет нулевую степень. В результате для проективной кривой X степень дает гомоморфизм deg: Cl( X ) → Z .

• Для проективной прямой P ¹ над полем k степень дает изоморфизм Cl( P ¹ ) ≅ Z . гладкой проективной кривой X с k - рациональной точкой гомоморфизм степени сюръективен, а ядро ​​изоморфно группе k -точек на якобиевом многообразии X Для любой , которое является абелевым многообразием размерности, равной роду Х. ​Отсюда следует, например, что группа классов дивизоров комплексной эллиптической кривой является несчетной абелевой группой.

• Обобщая предыдущий пример: для любого гладкого проективного многообразия X над полем k такого, что X имеет k -рациональную точку, группа классов дивизоров Cl( X ) является расширением конечно порожденной абелевой группы , группы Нерона – Севери , по формуле группа k -точек связной групповой схемы $\operatorname {Pic} _{X/k}^{0}.$ Для k нулевой характеристики $\operatorname {Pic} _{X/k}^{0}$ является абелевым многообразием, многообразием Пикара X .

• Для R, кольца целых чисел числового поля , группа классов дивизоров Cl( R ) := Cl(Spec ) также называется идеальной группой классов R. R Это конечная абелева группа. Понимание групп идеальных классов является центральной целью алгебраической теории чисел .

• 

  Аффинный квадратичный конус xy = z ² .

  Пусть X — квадрика размерности 2, определенная уравнением xy = z ² в аффинном трехмерном пространстве над полем. Тогда линия D в X, определяемая соотношением x = z = 0, не является главной на X вблизи начала координат. Обратите внимание, что D можно определить как множество одним уравнением на X , а именно x = 0; но функция x на X обращается в нуль до порядка 2 вдоль D , и поэтому мы обнаруживаем только, что 2 D является Картье (как определено ниже) X. на Фактически группа классов дивизоров Cl( X ) изоморфна циклической группе Z порожденной классом D. /2 ,

• Пусть X — квадрика размерности 3, определяемая уравнением xy = zw в аффинном 4-мерном пространстве над полем. Тогда плоскость D в X, определенная формулой x = z = 0, не может быть определена в X одним уравнением вблизи начала координат, даже как набор. Отсюда следует, что D не является Q-Картье на X ; то есть никакое положительное кратное D не является Картье. Фактически, группа классов дивизоров Cl( X ) изоморфна целым числам Z порожденным классом D. ,

Канонический делитель

Пусть X — нормальное многообразие над совершенным полем . Гладкий : локус U в X — это открытое подмножество, дополнение которого имеет коразмерность не менее 2. Пусть j : U → X — отображение включения, тогда гомоморфизм ограничения

$j^{*}:\operatorname {Cl} (X)\to \operatorname {Cl} (U)=\operatorname {Pic} (U)$

является изоморфизмом, поскольку X − U имеет коразмерность не менее 2 в X . Например, можно использовать этот изоморфизм для определения канонического дивизора K _X пространства X : это дивизор Вейля (с точностью до линейной эквивалентности), соответствующий линейному расслоению дифференциальных форм высшей степени на U . Аналогично, пучок ${\mathcal {O}}(K_{X})$ на X — пучок прямых изображений $j_{*}\Omega _{U}^{n},$ где n размерность X. —

Пример : Пусть X = P ^н — проективное n -пространство с однородными координатами x ₀ , ..., x _n . Пусть U { x0 ₌ ≠ 0}. Тогда U изоморфно аффинному n -пространству с координатами y _i = x _i / x ₀ . Позволять

$\omega ={dy_{1} \over y_{1}}\wedge \dots \wedge {dy_{n} \over y_{n}}.$

Тогда ω — рациональная дифференциальная форма на U ; таким образом, это рациональный раздел $\Omega _{\mathbf {P} ^{n}}^{n}$ который имеет простые полюса вдоль Z _i = { x _i = 0}, i = 1, ..., n . Переключение на другую аффинную карту меняет только знак ω, поэтому мы видим, что ω имеет простой полюс вдоль Z ₀ также . Таким образом, делитель ω равен

$\operatorname {div} (\omega )=-Z_{0}-\dots -Z_{n}$

и его класс делителя

$K_{\mathbf {P} ^{n}}=[\operatorname {div} (\omega )]=-(n+1)[H]$

где [ ЧАС ] знак равно [ Z _я ], я знак равно 0, ..., п . (См. также последовательность Эйлера .)

Делители Картье

Пусть X — целая нётерова схема. Тогда X имеет пучок рациональных функций ${\mathcal {M}}_{X}.$ Все регулярные функции являются рациональными функциями, что приводит к короткой точной последовательности

$0\to {\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {M}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to 0.$

Дивизор Картье на X — это глобальное сечение ${\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }.$ Эквивалентное описание состоит в том, что делитель Картье представляет собой набор $\{(U_{i},f_{i})\},$ где $\{U_{i}\}$ представляет собой открытую крышку $X,f_{i}$ это раздел ${\mathcal {M}}_{X}^{\times }$ на $U_{i},$ и $f_{i}=f_{j}$ на $U_{i}\cap U_{j}$ с точностью до умножения на часть ${\mathcal {O}}_{X}^{\times }.$

Дивизоры Картье также имеют теоретико-пучковое описание. Дробный идеальный пучок – это под- ${\mathcal {O}}_{X}$-модуль ${\mathcal {M}}_{X}.$ Дробный пучок идеалов J обратим , если для каждого x в X существует открытая окрестность U точки x , на которой ограничение J на ​​U равно ${\mathcal {O}}_{U}\cdot f,$ где $f\in {\mathcal {M}}_{X}^{\times }(U)$ и товар принимается ${\mathcal {M}}_{X}.$ Каждый делитель Картье определяет обратимый дробный идеальный пучок, используя описание делителя Картье как набора $\{(U_{i},f_{i})\},$ и наоборот, обратимые дробные идеальные пучки определяют делители Картье. Если дивизор Картье обозначается D , то соответствующий пучок дробных идеалов обозначается ${\mathcal {O}}(D)$ или Л ( Д ).

Согласно точной последовательности, указанной выше, существует точная последовательность групп пучков когомологий :

$H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\to H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\operatorname {Pic} (X).$

Дивизор Картье называется главным , если он принадлежит образу гомоморфизма $H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\to H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }),$ то есть, если это делитель рациональной функции на X . Два делителя Картье линейно эквивалентны , если их разность главная. Каждое линейное расслоение L на целочисленной нетеровой схеме X является классом некоторого дивизора Картье. В результате приведенная выше точная последовательность отождествляет группу Пикара линейных расслоений на целочисленной нетеровой схеме X с группой дивизоров Картье по модулю линейной эквивалентности. В более общем смысле это справедливо для приведенных нётеровых схем или для квазипроективных схем над нётеровым кольцом: но в целом оно может не сработать (даже для правильных схем над C ), что снижает интерес к дивизорам Картье в полной общности.

Предположим, что D — эффективный делитель Картье. Тогда существует короткая точная последовательность

$0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(D)\to {\mathcal {O}}_{D}(D)\to 0.$

Эта последовательность получена из короткой точной последовательности, связывающей структурные пучки X и D и идеальный пучок D . Поскольку D — делитель Картье, ${\mathcal {O}}(D)$ локально свободна и, следовательно, тензоризирует эту последовательность с помощью ${\mathcal {O}}(D)$ дает еще одну короткую точную последовательность, приведенную выше. Когда D является гладким, $O_{D}(D)$ является нормальным расслоением D в X .

Сравнение делителей Вейля и делителей Картье

Дивизор Вейля D называется картье тогда и только тогда, когда пучок ${\mathcal {O}}(D)$ является обратимым. Когда это произойдет, ${\mathcal {O}}(D)$ (с его вложением в M _X ) — это линейное расслоение, связанное с дивизором Картье. Точнее, если ${\mathcal {O}}(D)$ обратима, то существует открытое покрытие { U _i } такое, что ${\mathcal {O}}(D)$ ограничивается тривиальным расслоением на каждом открытом множестве. Для каждого U _i выберите изоморфизм ${\mathcal {O}}_{U_{i}}\to {\mathcal {O}}(D)|_{U_{i}}.$ Образ $1\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{U_{i}})=\Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})$ под этой картой находится раздел ${\mathcal {O}}(D)$ на У _я . Потому что ${\mathcal {O}}(D)$ определяется как подпучок пучка рациональных функций, образ 1 можно отождествить с некоторой рациональной функцией f _i . Коллекция $\{(U_{i},f_{i})\}$ тогда является делителем Картье. Это четко определено, поскольку единственным выбором было накрытие и изоморфизм, ни один из которых не меняет дивизор Картье. Этот делитель Картье можно использовать для создания пучка, который для различия мы обозначим L ( D ). Существует изоморфизм ${\mathcal {O}}(D)$ с L ( D ), определенным путем работы над открытым покрытием { U _i }. Ключевым фактом, который следует здесь проверить, является то, что функции перехода ${\mathcal {O}}(D)$ и L ( D ) совместимы, и это означает, что все эти функции имеют вид $f_{i}/f_{j}.$

В противоположном направлении делитель Картье $\{(U_{i},f_{i})\}$ на целочисленной нётеровой схеме X определяет дивизор Вейля на X , применяя естественным образом $\operatorname {div}$ функциям f _i на открытых множествах U _i .

Если X является нормальным, дивизор Картье определяется соответствующим дивизором Вейля, а делитель Вейля является Картье тогда и только тогда, когда он является локально главным.

Нётерова схема X называется факториальной , если все локальные кольца X являются уникальными областями факторизации . (Некоторые авторы говорят «локально факториал».) В частности, каждая регулярная схема является факториалом. В факториальной схеме X каждый дивизор Вейля D является локально главным, и поэтому ${\mathcal {O}}(D)$ всегда является линейным расслоением. Однако в общем случае дивизор Вейля в нормальной схеме не обязательно должен быть локально главным; см. примеры четырехугольных конусов выше.

Эффективные делители Картье

Эффективные делители Картье — это те, которые соответствуют идеальным пучкам. Фактически, теорию эффективных дивизоров Картье можно развивать без какой-либо ссылки на пучки рациональных функций или дробные идеальные пучки.

Пусть X — схема. Эффективный дивизор Картье на X — это идеальный пучок I , который обратим и такой, что для каждой точки x в X стебель I _x является главным. Это эквивалентно требованию, чтобы вокруг каждого x существовало открытое аффинное подмножество U = Spec A такое, что U ∩ D = Spec A / ( f ) , где f — ненулевой делитель в A . Сумма двух эффективных делителей Картье соответствует произведению идеальных пучков.

Существует хорошая теория семейств эффективных дивизоров Картье. Пусть φ : X → S — морфизм. Относительный эффективный делитель Картье для X над S — это эффективный дивизор Картье D над X который плоский над S. , В силу предположения плоскостности для каждого $S'\to S,$ происходит откат D к $X\times _{S}S',$ и этот откат является эффективным делителем Картье. В частности, это справедливо для слоев φ.

Лемма Кодайры

В качестве основного результата (большого) делителя Картье существует результат, называемый леммой Кодаиры:

Пусть X — неприводимое проективное многообразие , D — большой дивизор Картье на X , а H — произвольный эффективный дивизор Картье X. на Затем

$H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD-H))\neq 0$.

для всех достаточно больших $m\in N(X,D)$.

Лемма Кодайры дает некоторые результаты относительно большого делителя.

Функциональность

Пусть φ : X → Y — морфизм целых локально нётеровых схем. Часто, но не всегда, можно использовать φ для перевода делителя D из одной схемы в другую. Возможно ли это, зависит от того, является ли дивизор дивизором Вейля или Картье, должен ли дивизор перемещаться из X в Y или наоборот, и какими дополнительными свойствами может обладать φ.

Если Z — простой делитель Вейля на X , то ${\overline {\varphi (Z)}}$ является замкнутой неприводимой подсхемой Y . В зависимости от φ он может быть или не быть простым делителем Вейля. Например, если φ — раздутие точки на плоскости, а Z — исключительный дивизор, то его образ не является дивизором Вейля. Следовательно, φ _* Z определяется как ${\overline {\varphi (Z)}}$ если эта подсхема является простым делителем и в противном случае определяется как делитель нуля. Расширение этого за счет линейности приведет, предполагая, что X квазикомпактно, определит гомоморфизм Div( X ) → Div( Y ), называемый pushforward . (Если X не квазикомпактно, то прямое продвижение может не быть локально конечной суммой.) Это частный случай прямого продвижения на группах Чжоу.

Если Z — дивизор Картье, то при мягких гипотезах относительно φ имеет место обратный ход $\varphi ^{*}Z$. Сноп - теоретически, когда есть карта отката $\varphi ^{-1}{\mathcal {M}}_{Y}\to {\mathcal {M}}_{X}$, то этот откат можно использовать для определения отката делителей Картье. Что касается локальных разделов, то откат $\{(U_{i},f_{i})\}$ определяется как $\{(\varphi ^{-1}(U_{i}),f_{i}\circ \varphi )\}$. Откат всегда определяется, если φ является доминирующим, но его нельзя определить в общем случае. Например, если X = Z и φ — включение Z в Y , то φ ^* Z не определен, поскольку соответствующие локальные разделы везде будут равны нулю. (Однако обратная связь соответствующего линейного расслоения определена.)

Если φ плоская, то определен обратный образ дивизоров Вейля. В этом случае обратный ход Z равен φ ^* Z = φ ⁻¹ ( З ) . Плоскостность φ гарантирует, что прообраз Z продолжает иметь коразмерность один. Это может оказаться неудачным для морфизмов, которые не являются плоскими, например, для небольшого сжатия .

Первый класс Черна

Для целочисленной нетеровой схемы X естественный гомоморфизм группы дивизоров Картье в группу дивизоров Вейля дает гомоморфизм

$c_{1}:\operatorname {Pic} (X)\to \operatorname {Cl} (X),$

известный как первый класс Черна . Первый класс Чженя инъективен, если X нормален, и является изоморфизмом, если X факториален (как определено выше). В частности, дивизоры Картье можно отождествить с дивизорами Вейля в любой регулярной схеме, и поэтому первый класс Чженя является изоморфизмом для X. регулярного

Явно первый класс Чженя можно определить следующим образом. Для линейного расслоения L на целочисленной нётеровой схеме X пусть s — ненулевое рациональное сечение L (т. е. сечение некоторого непустого открытого подмножества L ), которое существует в силу локальной тривиальности L . Определим дивизор ( s ) Вейля на X по аналогии с дивизором рациональной функции. Тогда первый класс Чженя L можно определить как дивизор ( s ). Изменение рационального сечения s меняет этот делитель посредством линейной эквивалентности, поскольку ( fs ) = ( f ) + ( s ) для ненулевой рациональной функции f и ненулевого рационального сечения s языка L . Таким образом, элемент c ₁ ( L ) в Cl( X ) корректно определен.

Для комплексного многообразия X размерности n , не обязательно гладкого или собственного над C , существует естественный гомоморфизм, отображение цикла , из группы классов дивизоров в гомологии Бореля–Мура :

$\operatorname {Cl} (X)\to H_{2n-2}^{\operatorname {BM} }(X,\mathbf {Z} ).$

Последняя группа определяется с использованием пространства X ( C ) комплексных точек X с его классической (евклидовой) топологией. Аналогично, группа Пикара отображается в целые когомологии с помощью первого класса Черна в топологическом смысле:

$\operatorname {Pic} (X)\to H^{2}(X,\mathbf {Z} ).$

Два гомоморфизма связаны коммутативной диаграммой , где правое вертикальное отображение представляет собой кепочное произведение с фундаментальным классом X в гомологиях Бореля – Мура:

${\begin{array}{ccc}\operatorname {Pic} (X)&\longrightarrow &H^{2}(X,\mathbf {Z} )\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Cl} (X)&\longrightarrow &H_{2n-2}^{\operatorname {BM} }(X,\mathbf {Z} )\end{array}}$

Для X, гладкого над C , оба вертикальных отображения являются изоморфизмами.

Глобальные разделы линейных пучков и линейных систем

Дивизор Картье эффективен , если его локальные определяющие функции f _i регулярны (а не только рациональные функции). В этом случае дивизор Картье можно отождествить с замкнутой подсхемой коразмерности 1 в X , подсхемой, определенной локально через fi _{= 0.} Дивизор Картье D линейно эквивалентен эффективному дивизору тогда и только тогда, когда связанное с ним линейное расслоение ${\mathcal {O}}(D)$ имеет ненулевой глобальный раздел s ; тогда D линейно эквивалентен нулевому локусу s .

Пусть X — проективное многообразие над полем k . Затем умножив глобальную часть ${\mathcal {O}}(D)$ ненулевым скаляром по k не меняет своего нулевого локуса. В результате проективное пространство прямых в k -векторном пространстве глобальных сечений H ⁰ ( X , O ( D )) можно отождествить с набором эффективных дивизоров, линейно эквивалентных называемых полной линейной системой D. , D Проективное линейное подпространство этого проективного пространства называется линейной системой дивизоров .

Одной из причин изучения пространства глобальных сечений линейного расслоения является понимание возможных отображений данного многообразия в проективное пространство. Это существенно для классификации алгебраических многообразий. Явно, морфизм многообразия X в проективное пространство P ^н над полем k определяет линейное расслоение L на X , обратный образ стандартного линейного расслоения ${\mathcal {O}}(1)$ на П ^н . Более того, в L имеется n +1 секций, базовое множество которых (пересечение их нулевых множеств) пусто. И наоборот, любое линейное расслоение L с n +1 глобальными сечениями, общее базовое множество которых пусто, определяет морфизм X → P. ^н . Эти наблюдения приводят к нескольким понятиям положительности дивизоров Картье (или линейных расслоений), таких как обильные делители и делители nef .

Для дивизора D на проективном многообразии X над полем k -векторное k пространство H ⁰ ( X , O ( D )) имеет конечную размерность. Теорема Римана-Роха является фундаментальным инструментом для вычисления размерности этого векторного пространства, когда X является проективной кривой. Последовательные обобщения, теорема Хирцебруха-Римана-Роха и теорема Гротендика-Римана-Роха , дают некоторую информацию о размерности H. ⁰ ( X , O ( D )) для проективного многообразия X любой размерности над полем.

Поскольку канонический дивизор неразрывно связан с многообразием, ключевую роль в классификации многообразий играют отображения в проективное пространство, заданные K _X и его положительными кратными. Размерность Кодаиры X инвариантом, измеряющим является ключевым бирациональным рост векторных пространств H. ⁰ ( X , mK _X ) (что означает H ⁰ ( X , O ( mK _X ))) при m увеличении . Размерность Кодайры делит все n -мерные многообразия на n +2 класса, которые (очень грубо) идут от положительной кривизны к отрицательной кривизне.

Q-делители

Пусть X — нормальное многообразие. -дивизор (Вейля) Q коразмерности 1 — это конечная формальная линейная комбинация неприводимых подмногообразий X с рациональными коэффициентами. ( R -делитель определяется аналогично.) Q -делитель эффективен , если коэффициенты неотрицательны. Q числа -делитель D является Q-делителем Картье , если mD является делителем Картье для некоторого положительного целого m . Если X гладкое, то каждый Q -делитель является Q -Картье.

Если

$D=\sum _{j}a_{j}Z_{j}$

является Q -делителем, то его округление вниз будет делителем

$\lfloor D\rfloor =\sum \lfloor a_{j}\rfloor Z_{j},$

где $\lfloor a\rfloor$ — наибольшее целое число, меньшее или равное a . Сноп ${\mathcal {O}}(D)$ тогда определяется как ${\mathcal {O}}(\lfloor D\rfloor ).$

Теорема Гротендика–Лефшеца о гиперплоскости.

Из теоремы Лефшеца о гиперплоскости следует, что для гладкого комплексного проективного многообразия X размерности не менее 4 и гладкого обильного дивизора Y в X ограничение Pic( X ) → Pic( Y ) является изоморфизмом. Например, если Y — гладкое полное многообразие пересечений размерности не менее 3 в комплексном проективном пространстве, то группа Пикара Y изоморфна Z , порожденная ограничением линейного расслоения O (1) на проективное пространство.

Гротендик обобщил теорему Лефшеца в нескольких направлениях, используя произвольные базовые поля, сингулярные многообразия и результаты о локальных кольцах, а не о проективных многообразиях. В частности, если R — локальное кольцо полного пересечения , факториальное в коразмерности не более 3 (например, если нерегулярное множество кольца R имеет коразмерность не менее 4), то R — уникальная область факторизации (и, следовательно, каждая область факторизации Вейля делитель на Spec( R ) — Картье). Ограничение размера здесь является оптимальным, как показано на примере трехмерного квадратичного конуса выше.

Ссылки

• Дьедонне, Жан (1985), История алгебраической геометрии , Серия математики Уодсворта, перевод Джудит Д. Салли , Белмонт, Калифорния: Международная группа Уодсворта, ISBN  0-534-03723-2 , МР   0780183
• Эйзенбуд, Дэвид; Харрис, Джо (2016), 3264 и все это: второй курс алгебраической геометрии , CUP, ISBN  978-1107602724
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1967). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Часть четвертая» . Публикации IHÉS по математике . 32 :5–361. дои : 10.1007/bf02732123 . МР   0238860 .
• Гротендик, Александр ; Рейно, Мишель (2005) [1968], Ласло, Ив (ред.), Локальные когомологии когерентных пучков и локальные и глобальные теоремы Лефшеца (SGA 2) , Documents Mathématiques, vol. 4, Париж: Société Mathématique de France , arXiv : math/0511279 , Bibcode : 2005math.....11279G , ISBN  978-2-85629-169-6 , МР   2171939
• Раздел II.6 Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике, том. 52, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4757-3849-0 , ISBN.  0-387-90244-9 , МР   0463157
• Клейман, Стивен (2005), «Схема Пикара», Фундаментальная алгебраическая геометрия , Матем. Обзоры Моногр., вып. 123, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 235–321, arXiv : math/0504020 , Bibcode : 2005math......4020K , MR   2223410
• Коллар, Янош (2013), Особенности программы минимальной модели , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9781139547895 , ISBN  978-1-107-03534-8 , МР   3057950
• Лазарсфельд, Роберт (2004), Позитивность в алгебраической геометрии , том. 1, Берлин: Springer-Verlag, номер документа : 10.1007/978-3-642-18808-4 , ISBN.  3-540-22533-1 , МР   2095471

Внешние ссылки

• Авторы проекта Stacks, The Stacks Project