Бирациональная геометрия

Окружность прямой эквивалентна . бирационально Одна бирациональная карта между ними — стереографическая проекция , изображенная здесь.

В математике алгебраических бирациональная геометрия — это область алгебраической геометрии , цель которой — определить, являются ли два изоморфными многообразия вне подмножеств меньшей размерности. Это сводится к изучению отображений , которые задаются рациональными функциями, а не полиномами ; карта может не быть определена там, где рациональные функции имеют полюсы.

Бирациональные карты

Рациональные карты

Рациональное отображение одного многообразия (подразумеваемое как неприводимое ) $X$ в другой сорт $Y$, записанный в виде пунктирной стрелки X ⇢ Y , определяется как морфизм из непустого открытого подмножества $U\subset X$ к $Y$. По определению топологии Зариского , используемой в алгебраической геометрии, непустое открытое подмножество $U$ всегда плотен в $X$, фактически является дополнением подмножества меньшей размерности. Конкретно, рациональную карту можно записать в координатах с использованием рациональных функций.

Бирациональные карты

Бирациональное отображение из X в Y — это рациональное отображение f : X ⇢ Y такое, что существует рациональное отображение Y ⇢ X, обратное к f . Бирациональное отображение индуцирует изоморфизм непустого открытого подмножества X в непустое открытое подмножество Y и наоборот: изоморфизм между непустыми открытыми подмножествами X , Y по определению дает бирациональное отображение f : X ⇢ Y . В этом случае X и Y называются бирациональными или бирационально эквивалентными . В алгебраических терминах два многообразия над полем k бирациональны тогда и только тогда, когда их функциональные поля изоморфны как поля расширения поля k .

Особым случаем является бирациональный морфизм f : X → Y , что означает бирациональный морфизм. То есть f определена везде, но ее инверсия может и не быть. Обычно это происходит потому, что бирациональный морфизм сжимает некоторые подмногообразия X до точек в Y .

Бирациональная эквивалентность и рациональность

Многообразие X называется рациональным , если оно бирационально аффинному пространству (или, что то же самое, проективному пространству ) некоторой размерности. Рациональность — очень естественное свойство: оно означает, что X минус некоторое подмножество меньшей размерности может быть отождествлено с аффинным пространством минус некоторое подмножество меньшей размерности.

Бирациональная эквивалентность плоской коники

Например, круг $X$ с уравнением $x^{2}+y^{2}-1=0$ в аффинной плоскости является рациональной кривой, поскольку существует рациональное отображение f : $\mathbb {A} ^{1}$ ⇢ X , заданный формулой

$f(t)=\left({\frac {2t}{1+t^{2}}},{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right),$

который имеет рациональный обратный g : X ⇢ $\mathbb {A} ^{1}$ данный

$g(x,y)={\frac {1-y}{x}}.$

Применение отображения f с t - рациональным числом дает систематическую конструкцию пифагоровых троек .

Рациональная карта $f$ не определяется в локусе, где $1+t^{2}=0$. Итак, на комплексной аффинной прямой $\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}$, $f$ является морфизмом на открытом подмножестве $U=\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}-\{i,-i\}$, $f:U\to X$. Аналогично, рациональное отображение g : X ⇢ $\mathbb {A} ^{1}$ не определен в точке (0,−1) в $X$.

Бирациональная эквивалентность гладких квадрик и P ^н

В более общем смысле, гладкая квадрика (степени 2) гиперповерхность X любой размерности n является рациональной с точки зрения стереографической проекции . (Для X, квадрики над полем k , X необходимо предположить, что имеет k -рациональную точку это происходит автоматически, если k алгебраически замкнуто.) Чтобы определить стереографическую проекцию, пусть p будет точкой в ​​X. ; Тогда бирациональное отображение X в проективное пространство $\mathbb {P} ^{n}$ количества линий, проходящих через p, задается путем отправки точки q в X на линию, проходящую через p и q . Это бирациональная эквивалентность, но не изоморфизм многообразий, поскольку ее невозможно определить там, где q = p (и обратное отображение невозможно определить на тех прямых, проходящих через p , которые содержатся в X ).

Бирациональная эквивалентность квадричной поверхности

дает Вложение Сегре вложение $\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{3}$ данный

$([x,y],[z,w])\mapsto [xz,xw,yz,yw].$

Изображение представляет собой квадратичную поверхность $x_{0}x_{3}=x_{1}x_{2}$ в $\mathbb {P} ^{3}$. Это дает еще одно доказательство того, что эта квадратичная поверхность рациональна, поскольку $\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}$ очевидно, рационально и имеет открытое подмножество, изоморфное $\mathbb {A} ^{2}$.

Минимальные модели и разрешение особенностей

Каждое алгебраическое многообразие бирационально проективному многообразию ( лемма Чоу ). Итак, для целей бирациональной классификации достаточно работать только с проективными многообразиями, и это обычно наиболее удобная постановка.

Гораздо глубже является теорема Хиронаки 1964 года о разрешении особенностей : в поле характеристики 0 (например, комплексных числах) каждое многообразие бирационально гладкому проективному многообразию. Учитывая это, достаточно классифицировать гладкие проективные многообразия с точностью до бирациональной эквивалентности.

Если в размерности 1 две гладкие проективные кривые бирациональны, то они изоморфны. Но это не удается в размерности по крайней мере 2 из-за взрывающейся конструкции. При раздутии каждое гладкое проективное многообразие размерности не менее 2 бирационально бесконечно многим «большим» многообразиям, например, с большими числами Бетти .

Это приводит к идее минимальных моделей : существует ли уникальное простейшее многообразие в каждой бирациональной эквивалентности?сорт? Современное определение состоит в том, что проективное многообразие X является минимальным , если каноническое линейное расслоение K _X имеет неотрицательную степень на каждой кривой из X ; другими словами K _X эффективен . , Легко проверить, что раздутые многообразия никогда не бывают минимальными.

Это понятие прекрасно работает для алгебраических поверхностей (многообразий размерности 2). Говоря современным языком, одним из центральных результатов итальянской школы алгебраической геометрии 1890–1910 годов, входящего в классификацию поверхностей , является то, что каждая поверхность X бирациональна либо произведению $\mathbb {P} ^{1}\times C$ для некоторой кривой C или минимальной поверхности Y . Эти два случая являются взаимоисключающими, и Y уникален, если он существует. Когда Y называют минимальной моделью X. его существует ,

Бирациональные инварианты

Основная статья: Бирациональный инвариант

Во-первых, неясно, как показать, что существуют алгебраические многообразия, которые не являются рациональными. Для доказательства этого необходимы некоторые бирациональные инварианты алгебраических многообразий. Бирациональный инвариант — это любой вид числа, кольца и т. д., который одинаков или изоморфен для всех многообразий, бирационально эквивалентных.

Мультигенерация

Одним из полезных наборов бирациональных инвариантов являются плюриродные . Каноническим расслоением гладкого многообразия X размерности n называется линейное расслоение -форм n X K ₌ Ω ^н , что является n- внешней степенью кокасательного расслоения X й . Для целого числа d -я d тензорная степень K _X снова является линейным расслоением. При d ≥ 0 векторное пространство глобальных сечений H ⁰ ( Х , К _Х ^д ) обладает замечательным свойством: бирациональное отображение f : X ⇢ Y между гладкими проективными многообразиями индуцирует изоморфизм H ⁰ ( Х , К _Х ^д ) ≅ Ч ⁰ ( Ю , _{Кентукки} ^д ) .

Для d ≥ 0 определите d -й плюрирод P _d как размерность векторного пространства H ⁰ ( Х , К _Х ^д ) ; тогда плюрироды являются бирациональными инвариантами гладких проективных многообразий. В частности, если любой плюрирод P _d с d > 0 не равен нулю, то X нерационально.

Кодайра измерение

Основная статья: Измерение Кодайры

Фундаментальным бирациональным инвариантом является размерность Кодайры , которая измеряет рост плюриродного P _d при стремлении d к бесконечности. Размерность Кодайры делит все разновидности размерности n на n + 2 типа с размерностью Кодаиры −∞, 0, 1, ... или n . Это мера сложности многообразия, проективное пространство которого имеет размерность Кодаиры −∞. Наиболее сложные многообразия — многообразия, у которых размерность Кодаиры равна их размерности n , — многообразия общего типа .

Слагаемые ⊗ ^к Ой ¹ и некоторые числа Ходжа

В более общем смысле для любого натурального слагаемого

$E(\Omega ^{1})=\bigotimes ^{k}\Omega ^{1}$

- й r тензорной степени кокасательного расслоения Ω ¹ при r ≥ 0 векторное пространство глобальных сечений H ⁰ ( Икс , Е (Ом ¹ )) — бирациональный инвариант гладких проективных многообразий. В частности, числа Ходжа

$h^{p,0}=H^{0}(X,\Omega ^{p})$

являются бирациональными инвариантами X . (Большинство других чисел Ходжа h ^{п , д} не являются бирациональными инвариантами, как показывает раздутие.)

Фундаментальная группа гладких проективных многообразий

Фундаментальная группа π ₁ ( X ) является бирациональным инвариантом гладких комплексных проективных многообразий.

«Теорема о слабой факторизации», доказанная Абрамовичем, Кару, Мацуки и Влодарчиком (2002) , говорит, что любое бирациональное отображение между двумя гладкими комплексными проективными многообразиями можно разложить на конечное число раздутий или раздутий гладких подмногообразий. Это важно знать, но по-прежнему может быть очень сложно определить, являются ли два гладких проективных многообразия бирациональными.

Минимальные модели в более высоких измерениях

Основная статья: Программа минимальной модели

Проективное многообразие X называется минимальным , если каноническое расслоение K _X является nef . Для X размерности 2 в этом определении достаточно рассмотреть гладкие многообразия. В размерностях не менее 3 минимальные многообразия должны иметь определенные мягкие особенности, для которых K _X все еще хорошо себя ведет; они называются терминальными особенностями .

При этом гипотеза минимальной модели будет означать, что каждое многообразие X либо покрыто рациональными кривыми , либо бирационально минимальному многообразию Y . существует, его называют минимальной моделью X. Если Y

Минимальные модели не уникальны в размерностях не менее 3, но любые два бирациональных минимальных многообразия очень близки. Например, они изоморфны внешним подмножествам коразмерности не менее 2, а точнее, они связаны последовательностью флопов . Таким образом, гипотеза о минимальной модели могла бы дать убедительную информацию о бирациональной классификации алгебраических многообразий.

Гипотезу в размерности 3 доказал Мори. В более высоких измерениях достигнут значительный прогресс, хотя общая проблема остается открытой. В частности, Биркар, Кашини, Хакон и МакКернан (2010). доказал, что всякое многообразие общего типа над полем нулевой характеристики имеет минимальную модель.

Нелинейные сорта

Основная статья: Правильный сорт

Многообразие называется нелинейчатым, если оно покрыто рациональными кривыми. У нерегулируемого многообразия нет минимальной модели, но есть хорошая замена: Биркар, Кашини, Хакон и МакКернан показали, что каждое нерегулируемое многообразие над полем нулевой характеристики бирационально расслоенному пространству Фано . Это приводит к проблеме бирациональной классификации расслоений Фано и (как наиболее интересный частный случай) многообразий Фано . По определению проективное многообразие X является Фано , если антиканоническое расслоение $K_{X}^{*}$ достаточно ​ . Многообразия Фано можно считать алгебраическими многообразиями, наиболее близкими к проективному пространству.

В размерности 2 каждое многообразие Фано (известное как поверхность Дель Пеццо ) над алгебраически замкнутым полем рационально. Важным открытием 1970-х годов стало то, что, начиная с измерения 3, существует множество нерациональных многообразий Фано . В частности, гладкие кубические трехмерные многообразия не являются рациональными по Клеменсу-Гриффитсу (1972) , а гладкие квартические трехмерные многообразия не являются рациональными по Исковских-Манину (1971) . Тем не менее, проблема определения того, какие именно многообразия Фано являются рациональными, далека от решения. Например, неизвестно, существует ли гладкая кубическая гиперповерхность в $\mathbb {P} ^{n+1}$ с n ≥ 4, что нерационально.

Группы бирациональных автоморфизмов

Алгебраические многообразия сильно различаются по количеству бирациональных автоморфизмов. Всякое многообразие общего типа чрезвычайно жестко в том смысле, что его группа бирациональных автоморфизмов конечна. С другой стороны, бирациональная группа автоморфизмов проективного пространства $\mathbb {P} ^{n}$ над полем k , известная как группа Кремоны Cr _n ( k ), является большой (в некотором смысле бесконечномерной) при n ≥ 2 . Для n = 2 комплексная группа Кремоны $Cr_{2}(\mathbb {C} )$ генерируется «квадратичным преобразованием»

[ Икс , у , z ] ↦ [1/ Икс , 1/ y , 1/ z ]

вместе с группой $PGL(3,\mathbb {C} )$ автоморфизмов $\mathbb {P} ^{2},$ Макс Нётер и Кастельнуово . Напротив, группа Кремоны в размерностях n ≥ 3 остается загадкой: явный набор образующих неизвестен.

Исковских-Манин (1971) показал, что бирациональная группа автоморфизмов гладкого квартического трехмерного многообразия равна его группе автоморфизмов, которая конечна. В этом смысле квартические трехмерные многообразия далеки от рациональных, поскольку группа бирациональных автоморфизмов рационального многообразия огромна. Это явление «бирациональной жесткости» с тех пор было обнаружено во многих других расслоенных пространствах Фано.

Приложения

Бирациональная геометрия нашла применение в других областях геометрии, но особенно в традиционных задачах алгебраической геометрии.

Известно, что программа минимальной модели использовалась для построения пространств модулей многообразий общего типа Яношем Колларом и Николасом Шеперд-Бэрроном , теперь известными как пространства модулей KSB.

Бирациональная геометрия недавно нашла важные применения в изучении K-стабильности многообразий Фано посредством общих результатов существования метрик Кэлера–Эйнштейна , в разработке явных инвариантов многообразий Фано для проверки K-стабильности путем вычислений на бирациональных моделях, а также в построение пространств модулей многообразий Фано. Важные результаты бирациональной геометрии, такие как доказательство Биркара ограниченности многообразий Фано, были использованы для доказательства результатов существования пространств модулей.

См. также

• Гипотеза об изобилии

Ссылки

• Абрамович, Дэн; Кару, Калле; Мацуки, Кендзи; Влодарчик, Ярослав (2002), «Торификация и факторизация бирациональных карт», Журнал Американского математического общества , 15 (3): 531–572, arXiv : math/9904135 , doi : 10.1090/S0894-0347-02-00396- X , MR   1896232 , S2CID   18211120
• Биркар, Коше ; Кашини, Паоло; Хакон, Кристофер Д .; МакКернан, Джеймс (2010), «Существование минимальных моделей для разновидностей логарифмического общего типа», Журнал Американского математического общества , 23 (2): 405–468, arXiv : math.AG/0610203 , Bibcode : 2010JAMS... 23..405B , doi : 10.1090/S0894-0347-09-00649-3 , MR   2601039 , S2CID   3342362
• Клеменс, К. Герберт ; Гриффитс, Филлип А. (1972), «Промежуточный якобиан тройного кубического многообразия», Annals of Mathematics , Second Series, 95 (2): 281–356, CiteSeerX   10.1.1.401.4550 , doi : 10.2307/1970801 , ISSN   0003 -486X , JSTOR   1970801 , MR   0302652
• Дебарр, Оливье (2001). Многомерная алгебраическая геометрия . Спрингер-Верлаг . ISBN  978-0-387-95227-7 . МР   1841091 .
• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1978). Основы алгебраической геометрии . Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-32792-9 . МР   0507725 .
• Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Спрингер-Верлаг. ISBN  978-0-387-90244-9 . МР   0463157 .
• Коллар, Янош (2013). «Модули разновидностей общего типа». Справочник модулей . Том 2. стр. 131–157. arXiv : 1008.0621 . ISBN  9781571462589 . Збл   1322.14006 .
• Исковских В.А.; Манин, Ю. И. (1971), «Трехмерные квартики и контрпримеры к задаче Люрота», Математический сборник , Новая серия, 86 (1): 140–166, Бибкод : 1971SbMat..15..141I , doi : 10.1070/SM1971v015n01ABEH001536 , МР   0291172
• Коллар, Янош ; Мори, Сигэфуми (1998), Бирациональная геометрия алгебраических многообразий , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511662560 , ISBN  978-0-521-63277-5 , МР   1658959
• Мори, Шигефуми (1988), «Теорема о флипе и существование минимальных моделей для трехмерных многообразий», Журнал Американского математического общества , 1 (1): 117–253, doi : 10.2307/1990969 , ISSN   0894-0347 , JSTOR   1990969 , МР   0924704
• Сюй, Чэньян (2021 г.). «K-стабильность многообразий Фано: алгебро-геометрический подход» . EMS-обзоры по математическим наукам . 8 : 265–354. arXiv : 2011.10477 . дои : 10.4171/EMSS/51 . S2CID   204829174 .