Jump to content

Связка модулей

В математике пучок O -модулей или просто O -модуль над кольцевым пространством ( X , O ) — это F такой , что для любого открытого подмножества U в X ( F ( U ) является O пучок U )- модуль и карты ограничений F ( U ) → F ( V ) совместимы с картами ограничений O ( U ) → O ( V ): ограничение fs — это ограничение f , умноженное на ограничение s для любого f в O ( U ) и s в F ( U ).

Стандартный случай — когда X схема , а O — пучок структур. Если O постоянный пучок , то пучок O -модулей совпадает с пучком абелевых групп (т. е. абелевым пучком ).

Если X простой спектр кольца R , то любой R определяет O X -модуль (называемый ассоциированным пучком -модуль естественным образом ). Аналогично, если R градуированное кольцо и X Proj кольца R , то любой градуированный модуль определяет O X естественным образом О -модуль. Возникающие таким образом -модули являются примерами квазикогерентных пучков , и фактически на аффинных или проективных схемах все квазикогерентные пучки получаются таким образом.

Пучки модулей над окольцованным пространством образуют абелеву категорию . [1] Тем более, что в этой категории достаточно инъективных слов , [2] и, следовательно, можно определить и определяет пучковые когомологии как i - й правый производный функтор функтора глобального сечения . [3]

Операции

[ редактировать ]

Пусть ( X , O ) — кольцевое пространство. Если F и G O -модули, то их тензорное произведение, обозначаемое через

или ,

— это O -модуль, который является пучком, связанным с предпучком (Чтобы увидеть, что связки избежать нельзя, вычислите глобальные сечения где O (1) — скручивающий пучок Серра в проективном пространстве.)

Аналогично, если F и G O -модули, то

обозначает O -модуль, являющийся пучком . [4] В частности, O -модуль

называется двойственным модулем к F и обозначается . Примечание: для любых O -модулей E , F существует канонический гомоморфизм

,

который является изоморфизмом, если E локально свободный пучок конечного ранга. В частности, если L локально свободен от ранга один (такой L называется обратимым пучком или линейным расслоением ), [5] тогда это гласит:

подразумевая, что классы изоморфизма обратимых пучков образуют группу. Эта группа называется группой Пикара X . и канонически отождествляется с первой группой когомологий (стандартным рассуждением с когомологиями Чеха ).

Если E — локально свободный пучок конечного ранга, то существует O -линейное отображение данный парой; называется картой следов E это .

Для любого O -модуля F тензорная алгебра , внешняя алгебра симметрическая алгебра F и определяются одинаково. Например, k -я внешняя степень

пучок связан с предпучком . Если F локально свободен от ранга n , то называется детерминантным линейным расслоением (хотя технически обратимым пучком ) F и обозначается det( F ). Существует естественное идеальное сочетание:

Пусть f : ( X , O ) →( X ' , O ' ) — морфизм окольцованных пространств. Если F O -модуль, то пучок прямых образов является O' - модулем через естественное отображение O ' f * O (такое естественное отображение является частью данных морфизма кольцевых пространств.)

Если G O' - модуль , то прообраз модуля группы G является O -модулем, заданным как тензорное произведение модулей:

где - прообразов G и пучок получается из по приложению .

Существует сопряженное отношение между и : для любых О -модуля и О' - модуля G F

как абелева группа. Существует также формула проектирования : для О -модуля F и локально свободного О' -модуля Е конечного ранга

Характеристики

[ редактировать ]

Пусть ( X , O ) — кольцевое пространство. -модуль O F порождён Говорят, что глобальными сечениями, если существует сюръекция O -модулей:

В явном виде это означает, что существуют глобальные сечения s i из F такие, что образы s i в каждом стебле F x порождают F x как O x -модуль.

Примером такого пучка является пучок, связанный в алгебраической геометрии с R -модулем M , где R — любое коммутативное кольцо , в спектре кольца Spec ( R ).Другой пример: согласно теореме Картана A , любой когерентный пучок на многообразии Штейна натянут на глобальные сечения. (см. теорему Серра А ниже.) В теории схем родственным понятием является обильное линейное расслоение . (Например, если L — обширное линейное расслоение, некоторая его мощность генерируется глобальными разделами.)

Инъективный O -модуль является вялым (т. е. все отображения ограничений F ( U ) → F ( V ) сюръективны.) [6] Поскольку вялковый пучок ацикличен в категории абелевых пучков, это означает, что i -й правый производный функтор функтора глобального сечения в категории O -модулей совпадает с обычными i -ми пучковыми когомологиями в категории абелевых пучков. [7]

Пучок, связанный с модулем

[ редактировать ]

Позволять быть модулем над кольцом . Помещать и напиши . Для каждой пары , по универсальному свойству локализации существует естественное отображение

обладание имуществом, которое . Затем

— контравариантный функтор из категории, объектами которой являются множества D ( f ), и морфизмы — включения множеств в категорию абелевых групп . Можно показать [8] на самом деле это B-пучок (т. е. он удовлетворяет аксиоме склейки) и, таким образом, определяет пучок на X называется пучком, ассоциированным с M .

Самый простой пример — структурный пучок на X ; то есть, . Более того, имеет структуру -модуля и, таким образом, получаем точный функтор из Mod A , категории модулей над A в категорию модулей над . Он определяет эквивалентность Mod A категории квазикогерентных пучков на X с обратным , функтор глобального сечения . Когда X нётерово , функтор является эквивалентностью категории конечно порожденных A -модулей категории когерентных пучков X. на

Конструкция обладает следующими свойствами: для любых A -модулей M , N и любого морфизма ,

  • . [9]
  • Для любого простого идеала p из A , если O p = A p -модуль.
  • . [10]
  • Если M представлено конечно , . [10]
  • , поскольку эквивалентность Mod A и категории квазикогерентных пучков на X .
  • ; [11] в частности, взяв прямую сумму и ~ коммутируя.
  • Последовательность A -модулей точна тогда и только тогда, когда последовательность, индуцированная это точно. В частности, .

Пучок, связанный с градуированным модулем

[ редактировать ]

Существует градуированный аналог конструкции и эквивалентности из предыдущего раздела. Пусть R — градуированное кольцо, порожденное элементами первой степени как R 0 -алгебра ( R 0 означает кусок нулевой степени), а M — градуированный R -модуль. Пусть X Proj схемы R (так что X проективная схема , если R нетерова). Тогда существует O -модуль такой, что для любого однородного элемента f положительной степени R существует естественный изоморфизм

как пучки модулей по аффинной схеме ; [12] по сути, это определяет путем приклеивания.

Пример : Пусть R (1) — градуированный R -модуль, заданный формулой R (1) n = R n +1 . Затем называется скручивающим пучком Серра , который является двойственным тавтологическому линейному расслоению, если R конечно порождено в степени один.

Если F O -модуль на X , то, записав , существует канонический гомоморфизм:

который является изоморфизмом тогда и только тогда, когда F квазикогерентно.

Вычисление пучковых когомологий

[ редактировать ]

Когомологии пучков имеют репутацию трудных для вычисления. Поэтому следующий общий факт является фундаментальным для любых практических вычислений:

Теорема . Пусть X — топологическое пространство, F — абелев пучок на нем и открытое покрытие X такое, что для любых i , p и в . Тогда для i любого

где правая часть — i когомология Чеха .

Теорема об исчезновении Серра [13] утверждает, что если X — проективное многообразие и F — когерентный пучок на нем, то при достаточно большом n F поворот Серра ( n ) порождается конечным числом глобальных сечений. Более того,

  1. Для каждого i , H я ( X , F ) конечно порождено над R 0 , и
  2. Существует целое число n 0 , зависящее от F , такое, что

[14] [15] [16]

Расширение связки

[ редактировать ]

( X , O ) — кольцевое пространство и F , H — пучки O -модулей на X. Пусть Расширение H последовательность с помощью F это короткая точная -модулей O .

Как и в случае с групповыми расширениями, если мы зафиксируем F и H , то все классы эквивалентности расширений H с помощью F образуют абелеву группу (ср. Сумма Бэра ), которая изоморфна группе Ext. , где идентификационный элемент в соответствует тривиальному расширению.

В случае, когда H равно O , мы имеем: для любого i ≥ 0,

поскольку обе части являются правыми производными функторами одного и того же функтора

Примечание авторы, особенно Хартшорн, опускают индекс O. . Некоторые

Предположим, что X — проективная схема над нётеровым кольцом. Пусть F , G — когерентные пучки на X , а i — целое число. Тогда существует n 0 такое, что

. [17]

Локально свободные разрешения

[ редактировать ]

легко вычислить для любого когерентного пучка используя локально свободное разрешение: [18] учитывая комплекс

затем

следовательно

Гиперповерхность

[ редактировать ]

Рассмотрим гладкую гиперповерхность степени . Затем мы можем вычислить разрешение

и найди это

Объединение гладких полных пересечений

[ редактировать ]

Рассмотрим схему

где представляет собой гладкое полное пересечение и , . У нас есть комплекс

разрешение который мы можем использовать для вычисления .

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Вакиль, Математика 216: Основы алгебраической геометрии , 2.5.
  2. ^ Хартсхорн , Ч. III, предложение 2.2.
  3. ^ Этот функтор когомологий совпадает с правым производным функтором функтора глобального сечения в категории абелевых пучков; ср. Хартшорн , Ч. III, предложение 2.6.
  4. ^ Существует канонический гомоморфизм:
    который является изоморфизмом, если F имеет конечное представление (EGA, гл. 0, 5.2.6.)
  5. ^ Для когерентных пучков иметь обратный тензор - это то же самое, что быть локально свободным от первого ранга; на самом деле имеется следующий факт: если и если F когерентно, то F , G локально свободны от ранга один. (см. EGA, гл. 0, 5.4.3.)
  6. ^ Хартсхорн , Глава III, Лемма 2.4.
  7. ^ см. также: https://math.stackexchange.com/q/447234
  8. ^ Хартсхорн , Ч. II, предложение 5.1.
  9. ^ ЭГА I , Гл. I, предложение 1.3.6.
  10. ^ Перейти обратно: а б ЭГА I , гл. I, следствие 1.3.12.
  11. ^ ЭГА I , Гл. I, следствие 1.3.9.
  12. ^ Хартсхорн , Ч. II, предложение 5.11.
  13. ^ «Раздел 30.2 (01X8): Чехские когомологии квазикогерентных пучков — проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 7 декабря 2023 г.
  14. ^ Коста, Миро-Роч и Понс-Ллопис, 2021 , Теорема 1.3.1
  15. ^ «Связи с пучковыми когомологиями». Локальные когомологии . 2012. стр. 438–479. дои : 10.1017/CBO9781139044059.023 . ISBN  9780521513630 .
  16. ^ Серр 1955 , §.66 Когерентные алгебраические пучки на проективных многообразиях.
  17. ^ Хартсхорн , Ч. III, предложение 6.9.
  18. ^ Хартшорн, Робин. Алгебраическая геометрия . стр. 233–235.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: a32f91067b8b756661078e6cdd3eba5a__1711820700
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/a3/5a/a32f91067b8b756661078e6cdd3eba5a.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Sheaf of modules - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)