Связка модулей

В математике пучок O -модулей или просто O -модуль над кольцевым пространством ( X , O ) — это F такой , что для любого открытого подмножества U в X ( F ( U ) является O пучок U )- модуль и карты ограничений F ( U ) → F ( V ) совместимы с картами ограничений O ( U ) → O ( V ): ограничение fs — это ограничение f , умноженное на ограничение s для любого f в O ( U ) и s в F ( U ).

Стандартный случай — когда X — схема , а O — пучок структур. Если O — постоянный пучок ${\underline {\mathbf {Z} }}$, то пучок O -модулей совпадает с пучком абелевых групп (т. е. абелевым пучком ).

Если X — простой спектр кольца R , то любой R определяет O _X -модуль (называемый ассоциированным пучком -модуль естественным образом ). Аналогично, если R — градуированное кольцо и X — Proj кольца R , то любой градуированный модуль определяет O _X естественным образом О -модуль. Возникающие таким образом -модули являются примерами квазикогерентных пучков , и фактически на аффинных или проективных схемах все квазикогерентные пучки получаются таким образом.

Пучки модулей над окольцованным пространством образуют абелеву категорию . Тем более, что в этой категории достаточно инъективных слов , и, следовательно, можно определить и определяет пучковые когомологии $\operatorname {H} ^{i}(X,-)$ как i - й правый производный функтор функтора глобального сечения $\Gamma (X,-)$.

Примеры

• Для кольцевого пространства ( X , O ), если F является O -подмодулем O , то он называется пучком идеалов или идеальным пучком , O поскольку для каждого открытого подмножества U в X . F ( U ) является идеалом кольца O ( U ).
• Пусть X — гладкое многообразие размерности n . Тогда касательный пучок X является двойственным кокасательному пучку $\Omega _{X}$ и канонический пучок $\omega _{X}$ — n -я внешняя степень ( определитель ) числа $\Omega _{X}$.
• Пучок алгебр — это пучок модулей, который также является пучком колец.

Операции

Пусть ( X , O ) — кольцевое пространство. Если F и G — O -модули, то их тензорное произведение, обозначаемое через

$F\otimes _{O}G$ или $F\otimes G$,

— это O -модуль, который является пучком, связанным с предпучком $U\mapsto F(U)\otimes _{O(U)}G(U).$ (Чтобы увидеть, что связки избежать нельзя, вычислите глобальные сечения $O(1)\otimes O(-1)=O$ где O (1) — скручивающий пучок Серра в проективном пространстве.)

Аналогично, если F и G — O -модули, то

${\mathcal {H}}om_{O}(F,G)$

обозначает O -модуль, являющийся пучком $U\mapsto \operatorname {Hom} _{O|_{U}}(F|_{U},G|_{U})$. В частности, O -модуль

${\mathcal {H}}om_{O}(F,O)$

называется двойственным модулем к F и обозначается ${\check {F}}$. Примечание: для любых O -модулей E , F существует канонический гомоморфизм

${\check {E}}\otimes F\to {\mathcal {H}}om_{O}(E,F)$,

который является изоморфизмом, если E — локально свободный пучок конечного ранга. В частности, если L локально свободен от ранга один (такой L называется обратимым пучком или линейным расслоением ), тогда это гласит:

${\check {L}}\otimes L\simeq O,$

подразумевая, что классы изоморфизма обратимых пучков образуют группу. Эта группа называется группой Пикара X . и канонически отождествляется с первой группой когомологий $\operatorname {H} ^{1}(X,{\mathcal {O}}^{*})$ (стандартным рассуждением с когомологиями Чеха ).

Если E — локально свободный пучок конечного ранга, то существует O -линейное отображение ${\check {E}}\otimes E\simeq \operatorname {End} _{O}(E)\to O$ данный парой; называется картой следов E это .

Для любого O -модуля F тензорная алгебра , внешняя алгебра симметрическая алгебра F и определяются одинаково. Например, k -я внешняя степень

$\bigwedge ^{k}F$

пучок связан с предпучком ${\textstyle U\mapsto \bigwedge _{O(U)}^{k}F(U)}$. Если F локально свободен от ранга n , то ${\textstyle \bigwedge ^{n}F}$ называется детерминантным линейным расслоением (хотя технически обратимым пучком ) F и обозначается det( F ). Существует естественное идеальное сочетание:

$\bigwedge ^{r}F\otimes \bigwedge ^{n-r}F\to \det(F).$

Пусть f : ( X , O ) →( X ' , O ' ) — морфизм окольцованных пространств. Если F — O -модуль, то пучок прямых образов $f_{*}F$ является O' - модулем через естественное отображение O ' → f _* O (такое естественное отображение является частью данных морфизма кольцевых пространств.)

Если G — O' - модуль , то прообраз модуля $f^{*}G$ группы G является O -модулем, заданным как тензорное произведение модулей:

$f^{-1}G\otimes _{f^{-1}O'}O$

где $f^{-1}G$ - прообразов G и пучок $f^{-1}O'\to O$ получается из $O'\to f_{*}O$ по приложению .

Существует сопряженное отношение между $f_{*}$ и $f^{*}$: для любых О -модуля и О' - модуля G F

$\operatorname {Hom} _{O}(f^{*}G,F)\simeq \operatorname {Hom} _{O'}(G,f_{*}F)$

как абелева группа. Существует также формула проектирования : для О -модуля F и локально свободного О' -модуля Е конечного ранга

$f_{*}(F\otimes f^{*}E)\simeq f_{*}F\otimes E.$

Характеристики

Пусть ( X , O ) — кольцевое пространство. -модуль O F порождён Говорят, что глобальными сечениями, если существует сюръекция O -модулей:

$\bigoplus _{i\in I}O\to F\to 0.$

В явном виде это означает, что существуют глобальные сечения s _i из F такие, что образы s _i в каждом стебле F _x порождают F _x как O _x -модуль.

Примером такого пучка является пучок, связанный в алгебраической геометрии с R -модулем M , где R — любое коммутативное кольцо , в спектре кольца Spec ( R ).Другой пример: согласно теореме Картана A , любой когерентный пучок на многообразии Штейна натянут на глобальные сечения. (см. теорему Серра А ниже.) В теории схем родственным понятием является обильное линейное расслоение . (Например, если L — обширное линейное расслоение, некоторая его мощность генерируется глобальными разделами.)

Инъективный O -модуль является вялым (т. е. все отображения ограничений F ( U ) → F ( V ) сюръективны.) Поскольку вялковый пучок ацикличен в категории абелевых пучков, это означает, что i -й правый производный функтор функтора глобального сечения $\Gamma (X,-)$ в категории O -модулей совпадает с обычными i -ми пучковыми когомологиями в категории абелевых пучков.

Пучок, связанный с модулем

Позволять $M$ быть модулем над кольцом $A$. Помещать $X=\operatorname {Spec} (A)$ и напиши $D(f)=\{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (A[f^{-1}])$. Для каждой пары $D(f)\subseteq D(g)$, по универсальному свойству локализации существует естественное отображение

$\rho _{g,f}:M[g^{-1}]\to M[f^{-1}]$

обладание имуществом, которое $\rho _{g,f}=\rho _{g,h}\circ \rho _{h,f}$. Затем

$D(f)\mapsto M[f^{-1}]$

— контравариантный функтор из категории, объектами которой являются множества D ( f ), и морфизмы — включения множеств в категорию абелевых групп . Можно показать на самом деле это B-пучок (т. е. он удовлетворяет аксиоме склейки) и, таким образом, определяет пучок ${\widetilde {M}}$ на X называется пучком, ассоциированным с M .

Самый простой пример — структурный пучок на X ; то есть, ${\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}$. Более того, ${\widetilde {M}}$ имеет структуру ${\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}$-модуля и, таким образом, получаем точный функтор $M\mapsto {\widetilde {M}}$ из Mod _A , категории модулей над A в категорию модулей над ${\mathcal {O}}_{X}$. Он определяет эквивалентность Mod _A категории квазикогерентных пучков на X с обратным $\Gamma (X,-)$, функтор глобального сечения . Когда X нётерово , функтор является эквивалентностью категории конечно порожденных A -модулей категории когерентных пучков X. на

Конструкция обладает следующими свойствами: для любых A -модулей M , N и любого морфизма $\varphi :M\to N$,

• $M[f^{-1}]^{\sim }={\widetilde {M}}|_{D(f)}$.
• Для любого простого идеала p из A , ${\widetilde {M}}_{p}\simeq M_{p}$ если O _p = A _p -модуль.
• $(M\otimes _{A}N)^{\sim }\simeq {\widetilde {M}}\otimes _{\widetilde {A}}{\widetilde {N}}$.
• Если M представлено конечно , $\operatorname {Hom} _{A}(M,N)^{\sim }\simeq {\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}})$.
• $\operatorname {Hom} _{A}(M,N)\simeq \Gamma (X,{\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}}))$, поскольку эквивалентность Mod _A и категории квазикогерентных пучков на X .
• $(\varinjlim M_{i})^{\sim }\simeq \varinjlim {\widetilde {M_{i}}}$; в частности, взяв прямую сумму и ~ коммутируя.
• Последовательность A -модулей точна тогда и только тогда, когда последовательность, индуцированная $\sim$ это точно. В частности, $(\ker(\varphi ))^{\sim }=\ker({\widetilde {\varphi }}),(\operatorname {coker} (\varphi ))^{\sim }=\operatorname {coker} ({\widetilde {\varphi }}),(\operatorname {im} (\varphi ))^{\sim }=\operatorname {im} ({\widetilde {\varphi }})$.

Пучок, связанный с градуированным модулем

Существует градуированный аналог конструкции и эквивалентности из предыдущего раздела. Пусть R — градуированное кольцо, порожденное элементами первой степени как R ₀ -алгебра ( R ₀ означает кусок нулевой степени), а M — градуированный R -модуль. Пусть X — Proj схемы R (так что X — проективная схема , если R нетерова). Тогда существует O -модуль ${\widetilde {M}}$ такой, что для любого однородного элемента f положительной степени R существует естественный изоморфизм

${\widetilde {M}}|_{\{f\neq 0\}}\simeq (M[f^{-1}]_{0})^{\sim }$

как пучки модулей по аффинной схеме $\{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (R[f^{-1}]_{0})$; по сути, это определяет ${\widetilde {M}}$ путем приклеивания.

Пример : Пусть R (1) — градуированный R -модуль, заданный формулой R (1) _n = R _{n +1} . Затем $O(1)={\widetilde {R(1)}}$ называется скручивающим пучком Серра , который является двойственным тавтологическому линейному расслоению, если R конечно порождено в степени один.

Если F — O -модуль на X , то, записав $F(n)=F\otimes O(n)$, существует канонический гомоморфизм:

$\left(\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,F(n))\right)^{\sim }\to F,$

который является изоморфизмом тогда и только тогда, когда F квазикогерентно.

Вычисление пучковых когомологий

Основная статья: когомологии пучков

Когомологии пучков имеют репутацию трудных для вычисления. Поэтому следующий общий факт является фундаментальным для любых практических вычислений:

Теорема . Пусть X — топологическое пространство, F — абелев пучок на нем и ${\mathfrak {U}}$ открытое покрытие X такое, что $\operatorname {H} ^{i}(U_{i_{0}}\cap \cdots \cap U_{i_{p}},F)=0$ для любых i , p и $U_{i_{j}}$в ${\mathfrak {U}}$. Тогда для i любого

$\operatorname {H} ^{i}(X,F)=\operatorname {H} ^{i}(C^{\bullet }({\mathfrak {U}},F))$

где правая часть — i -я когомология Чеха .

Теорема об исчезновении Серра утверждает, что если X — проективное многообразие и F — когерентный пучок на нем, то при достаточно большом n F поворот Серра ( n ) порождается конечным числом глобальных сечений. Более того,

1. Для каждого i , H ^я ( X , F ) конечно порождено над R ₀ , и
2. Существует целое число n ₀ , зависящее от F , такое, что $$\operatorname {H} ^{i}(X,F(n))=0,\,i\geq 1,n\geq n_{0}.$$

Расширение связки

( X , O ) — кольцевое пространство и F , H — пучки O -модулей на X. Пусть Расширение — H последовательность с помощью F это короткая точная -модулей O .

$0\rightarrow F\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 0.$

Как и в случае с групповыми расширениями, если мы зафиксируем F и H , то все классы эквивалентности расширений H с помощью F образуют абелеву группу (ср. Сумма Бэра ), которая изоморфна группе Ext. $\operatorname {Ext} _{O}^{1}(H,F)$, где идентификационный элемент в $\operatorname {Ext} _{O}^{1}(H,F)$ соответствует тривиальному расширению.

В случае, когда H равно O , мы имеем: для любого i ≥ 0,

$\operatorname {H} ^{i}(X,F)=\operatorname {Ext} _{O}^{i}(O,F),$

поскольку обе части являются правыми производными функторами одного и того же функтора $\Gamma (X,-)=\operatorname {Hom} _{O}(O,-).$

Примечание авторы, особенно Хартшорн, опускают индекс O. . Некоторые

Предположим, что X — проективная схема над нётеровым кольцом. Пусть F , G — когерентные пучки на X , а i — целое число. Тогда существует n ₀ такое, что

$\operatorname {Ext} _{O}^{i}(F,G(n))=\Gamma (X,{\mathcal {E}}xt_{O}^{i}(F,G(n))),\,n\geq n_{0}$.

См. также: спектральная последовательность Ext от локального к глобальному.

Локально свободные разрешения

${\mathcal {Ext}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})$ легко вычислить для любого когерентного пучка ${\mathcal {F}}$ используя локально свободное разрешение: учитывая комплекс

$\cdots \to {\mathcal {L}}_{2}\to {\mathcal {L}}_{1}\to {\mathcal {L}}_{0}\to {\mathcal {F}}\to 0$

затем

${\mathcal {RHom}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})={\mathcal {Hom}}({\mathcal {L}}_{\bullet },{\mathcal {G}})$

следовательно

${\mathcal {Ext}}^{k}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})=h^{k}({\mathcal {Hom}}({\mathcal {L}}_{\bullet },{\mathcal {G}}))$

Примеры

Гиперповерхность

Рассмотрим гладкую гиперповерхность $X$ степени $d$. Затем мы можем вычислить разрешение

${\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}}$

и найди это

${\mathcal {Ext}}^{i}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})=h^{i}({\mathcal {Hom}}({\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}},{\mathcal {F}}))$

Объединение гладких полных пересечений

Рассмотрим схему

$X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f)(g_{1},g_{2},g_{3})}}\right)\subseteq \mathbb {P} ^{n}$

где $(f,g_{1},g_{2},g_{3})$ представляет собой гладкое полное пересечение и $\deg(f)=d$, $\deg(g_{i})=e_{i}$. У нас есть комплекс

${\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{2}-e_{3}){\xrightarrow {\begin{bmatrix}g_{3}\\-g_{2}\\-g_{1}\end{bmatrix}}}{\begin{matrix}{\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{2})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{3})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{2}-e_{3})\end{matrix}}{\xrightarrow {\begin{bmatrix}g_{2}&g_{3}&0\\-g_{1}&0&-g_{3}\\0&-g_{1}&g_{2}\end{bmatrix}}}{\begin{matrix}{\mathcal {O}}(-d-e_{1})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{2})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{3})\end{matrix}}{\xrightarrow {\begin{bmatrix}fg_{1}&fg_{2}&fg_{3}\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}$

разрешение ${\mathcal {O}}_{X},$ который мы можем использовать для вычисления ${\mathcal {Ext}}^{i}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})$.

См. также

• D-модуль (вместо O можно рассматривать D — пучок дифференциальных операторов.)
• дробный идеал
• голоморфное векторное расслоение
• родовая свобода

Ссылки

• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык диаграмм» . Публикации IHÉS по математике . 4 . дои : 10.1007/bf02684778 . МР   0217083 .
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-90244-9 , МР   0463157
• Коста, Лаура; Миро-Роч, Роза Мария; Понс-Льопис, Джоан (2021). Ульрих Связки . дои : 10.1515/9783110647686 . ISBN  9783110647686 .
• «Связи с пучковыми когомологиями». Локальные когомологии . 2012. стр. 438–479. дои : 10.1017/CBO9781139044059.023 . ISBN  9780521513630 .
• Серр, Жан-Пьер (1955), «Когерентные алгебраические пучки (§.66 Когерентные алгебраические пучки на проективных многообразиях.)» (PDF) , Annals of Mathematics , 61 (2): 197–278, doi : 10.2307/1969915 , JSTOR   1969915 , МР   0068874