Инъективная связка

В математике инъективные пучки абелевых групп используются для построения резольвент, необходимых для определения пучковых когомологий (и других производных функторов , таких как пучок Ext ).

Существует еще одна группа родственных понятий, применяемых к снопам : дряблые ( по-французски flasque ), тонкие , мягкие ( по-французски mou ), ациклические . В историю предмета они были введены до « статьи Тохоку » Александра Гротендика 1957 года , которая показала, что абелевой категории понятия инъективного объекта достаточно для основания теории. Другие классы пучков представляют собой исторически более старые понятия. Абстрактная структура определения когомологий и производных функторов в них не нуждается. Однако в большинстве конкретных ситуаций резольвенты с помощью ациклических пучков часто легче построить. Таким образом, ациклические пучки служат для вычислительных целей, например, для спектральной последовательности Лере .

Инъективные пучки

Инъективный пучок ${\mathcal {F}}$ – пучок, являющийся инъективным объектом категории абелевых пучков; другими словами, гомоморфизмы из ${\mathcal {A}}$ к ${\mathcal {F}}$ всегда можно расширить на любой пучок ${\mathcal {B}}$ содержащий ${\mathcal {A}}.$

В категории абелевых пучков достаточно инъективных объектов: это означает, что любой пучок является подпучком инъективного пучка. Этот результат Гротендика следует из существования генератора категории (он может быть записан явно и связан с классификатором подобъектов ). Этого достаточно, чтобы показать, что правые производные функторы любого левого точного функтора существуют и единственны с точностью до канонического изоморфизма.

В технических целях инъективные пучки обычно превосходят другие классы пучков, упомянутые выше: они могут делать почти все, что могут другие классы, а их теория проще и более общая. На самом деле инъективные связки бывают дряблыми ( вялыми ), мягкими и ацикличными. Однако существуют ситуации, когда другие классы пучков возникают естественным образом, и это особенно верно в конкретных вычислительных ситуациях.

Двойственное понятие, проективные пучки , используется мало, потому что в общей категории пучков их недостаточно: не всякий пучок является фактором проективного пучка, и в частности проективные разрешения не всегда существуют. Так обстоит дело, например, при рассмотрении категории пучков проективного пространства в топологии Зарисского. Это вызывает проблемы при попытке определить левые производные функторы правого точного функтора (например, Tor). Иногда это можно сделать специальными способами: например, левые производные функторы Tor могут быть определены с использованием плоского разрешения, а не проективного, но требуется некоторая работа, чтобы показать, что это не зависит от разрешения. Не все категории блоков сталкиваются с этой проблемой; например, категория пучков аффинной схемы содержит достаточно проективов.

Ациклические связки

Ациклический пучок ${\mathcal {F}}$ над X такой, что все группы когомологий высших пучков обращаются в нуль.

Группы когомологий любого пучка можно вычислить по любой его ациклической резольвенте (это называется теоремой Де Рама-Вейля ).

Тонкие шкивы

Тонкий пучок над X — это пучок с « разделениями единицы »; точнее, для любого открытого покрытия пространства X мы можем найти семейство гомоморфизмов пучка в себя с суммой 1 такое, что каждый гомоморфизм равен 0 вне некоторого элемента открытого покрытия.

используются только над паракомпактными хаусдорфовыми пространствами X. Тонкие пучки обычно Типичными примерами являются пучок ростков непрерывных вещественных функций над таким пространством, или гладкие функции над гладким (паракомпактным хаусдорфовым) многообразием, или модули над этими пучками колец. Кроме того, тонкие пучки над паракомпактными хаусдорфовыми пространствами являются мягкими и ациклическими.

Разрешение пучка на гладком многообразии можно найти по тонким пучкам, используя резолюцию Александера-Спанье. ^[1]

качестве приложения рассмотрим вещественное многообразие X. В Имеется следующее разрешение постоянного пучка $\mathbb {R}$ тонкими пучками (гладких) дифференциальных форм :

0\to \mathbb {R} \to C_{X}^{0}\to C_{X}^{1}\to \cdots \to C_{X}^{\dim X}\to 0.

Это разрешение, т. е. точный комплекс пучков по лемме Пуанкаре . Когомологии X со значениями в $\mathbb {R}$ таким образом, можно вычислить как когомологии комплекса глобально определенных дифференциальных форм:

H^{i}(X,\mathbb {R} )=H^{i}(C_{X}^{\bullet }(X)).

Мягкие связки

сноп Мягкий ${\mathcal {F}}$ над X такое, что любой раздел над любым замкнутым подмножеством X может быть расширен до глобального раздела.

Мягкие пучки ацикличны над паракомпактными хаусдорфовыми пространствами.

Вялые или дряблые связки

( Ляжный сноп его еще называют дряблым снопом ) — это сноп ${\mathcal {F}}$ со следующим свойством: если $X$ - базовое топологическое пространство , на котором определен пучок, и

U\subseteq V\subseteq X

являются открытыми подмножествами , то карта ограничений

r_{U\subseteq V}:\Gamma (V,{\mathcal {F}})\to \Gamma (U,{\mathcal {F}})

сюръективен и т. д. ) , как отображение групп ( колец , модулей .

Вязочные шкивы полезны, потому что (по определению) их секции расширяются. Это означает, что они являются одними из самых простых пучков, с которыми можно обращаться в терминах гомологической алгебры . Любой пучок имеет каноническое вложение в вялковый пучок всех возможно разрывных участков этального пространства , и, повторяя это, мы можем найти каноническое вялочное разрешение для любого пучка. Резолюции фласков , то есть резолюции с помощью пучков фляг, являются одним из подходов к определению когомологий пучков .

Ляжные связки мягкие и ацикличные.

Flasque — французское слово, которое иногда переводится на английский как «дряблый» .

Ссылки

^ Уорнер, Фрэнк В. (1983). Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли — Спрингер . Тексты для аспирантов по математике. Том. 94. С. 186, 181, 178, 170. doi : 10.1007/978-1-4757-1799-0 . ISBN 978-1-4419-2820-7 .

Годемент, Роджер (1998), Алгебраическая топология и теория пучков , Париж: Hermann, ISBN 978-2-7056-1252-8 , МР 0345092
Гротендик, Александр (1957), «Sur quelques point d'algèbre homologique», The Tohoku Mathematical Journal , Second Series, 9 (2): 119–221, doi : 10.2748/tmj/1178244839 , ISSN 0040-8735 , MR 0102537
«Когомологии пучков и инъективные разрешения» на MathOverflow

[1] Уорнер, Фрэнк В. (1983). Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли — Спрингер . Тексты для аспирантов по математике. Том. 94. С. 186, 181, 178, 170. doi : 10.1007/978-1-4757-1799-0 . ISBN 978-1-4419-2820-7 .

[1]