Спектральная последовательность Гротендика

В математике , в области гомологической алгебры , спектральная последовательность Гротендика , введенная Александром Гротендиком в его в Тохоку статье , представляет собой спектральную последовательность , которая вычисляет производные функторы композиции двух функторов. $G\circ F$, исходя из знания производных функторов $F$ и $G$.Многие спектральные последовательности в алгебраической геометрии являются экземплярами спектральной последовательности Гротендика, например спектральная последовательность Лере .

Заявление

Если $F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ и $G\colon {\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}$ — это два аддитивных и точных слева функтора между абелевыми категориями, такие что оба ${\mathcal {A}}$ и ${\mathcal {B}}$ иметь достаточно инъективных и $F$ переводит инъективные объекты в $G$— ациклические объекты , то для каждого объекта $A$ из ${\mathcal {A}}$ существует спектральная последовательность:

$E_{2}^{pq}=({\rm {R}}^{p}G\circ {\rm {R}}^{q}F)(A)\Longrightarrow {\rm {R}}^{p+q}(G\circ F)(A),$

где ${\rm {R}}^{p}G$ обозначает p -й правый функтор функции $G$и т. д., и где стрелка ' $\Longrightarrow$' означает сходимость спектральных последовательностей .

Точная последовательность из пяти членов

Точная последовательность низких градусов читается

$0\to {\rm {R}}^{1}G(FA)\to {\rm {R}}^{1}(GF)(A)\to G({\rm {R}}^{1}F(A))\to {\rm {R}}^{2}G(FA)\to {\rm {R}}^{2}(GF)(A).$

Примеры

Спектральная последовательность Лере

Основная статья: Спектральная последовательность Лере

Если ${\textstyle X}$ и ${\textstyle Y}$ являются топологическими пространствами , пусть ${\textstyle {\mathcal {A}}=\mathbf {Ab} (X)}$ и ${\textstyle {\mathcal {B}}=\mathbf {Ab} (Y)}$ – категория пучков абелевых групп на ${\textstyle X}$ и ${\textstyle Y}$, соответственно.

Для непрерывной карты $f\colon X\to Y$ существует (точный слева) прямого изображения функтор $f_{*}\colon \mathbf {Ab} (X)\to \mathbf {Ab} (Y)$.У нас также есть глобального сечения. функторы

$\Gamma _{X}\colon \mathbf {Ab} (X)\to \mathbf {Ab}$ и $\Gamma _{Y}\colon \mathbf {Ab} (Y)\to \mathbf {Ab} .$

Тогда с тех пор $\Gamma _{Y}\circ f_{*}=\Gamma _{X}$ и функторы $f_{*}$ и $\Gamma _{Y}$ удовлетворяют гипотезам (поскольку функтор прямого образа имеет точное левое сопряженное $f^{-1}$, проталкивание инъективных инъектив инъективно и, в частности, ациклично для функтора глобального сечения), последовательность в этом случае принимает вид:

$H^{p}(Y,{\rm {R}}^{q}f_{*}{\mathcal {F}})\implies H^{p+q}(X,{\mathcal {F}})$

для снопа ${\mathcal {F}}$ абелевых групп на $X$.

Спектральная последовательность от локального к глобальному Ext

Существует спектральная последовательность, связывающая глобальный Ext и пучок Ext: пусть F , G — пучки модулей над кольцевым пространством. $(X,{\mathcal {O}})$; например, схема. Затем

$E_{2}^{p,q}=\operatorname {H} ^{p}(X;{\mathcal {E}}xt_{\mathcal {O}}^{q}(F,G))\Rightarrow \operatorname {Ext} _{\mathcal {O}}^{p+q}(F,G).$

Это пример спектральной последовательности Гротендика: действительно,

$R^{p}\Gamma (X,-)=\operatorname {H} ^{p}(X,-)$, $R^{q}{\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-)={\mathcal {E}}xt_{\mathcal {O}}^{q}(F,-)$ и $R^{n}\Gamma (X,{\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-))=\operatorname {Ext} _{\mathcal {O}}^{n}(F,-)$.

Более того, ${\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-)$ посылает инъекцию ${\mathcal {O}}$-модули к опоочным шкивам, которые $\Gamma (X,-)$-ациклический. Следовательно, гипотеза удовлетворена.

Вывод

Мы будем использовать следующую лемму:

Лемма . Если K — инъективный комплекс в абелевой категории C такой, что ядра дифференциалов являются инъективными объектами, то для n каждого

$H^{n}(K^{\bullet })$

является инъективным объектом и для любого левого точного аддитивного функтора G на C ,

$H^{n}(G(K^{\bullet }))=G(H^{n}(K^{\bullet })).$

Доказательство: Пусть $Z^{n},B^{n+1}$ быть ядром и образом $d:K^{n}\to K^{n+1}$. У нас есть

$0\to Z^{n}\to K^{n}{\overset {d}{\to }}B^{n+1}\to 0,$

который распадается. Это подразумевает, что каждый $B^{n+1}$ является инъективным. Далее мы рассмотрим

$0\to B^{n}\to Z^{n}\to H^{n}(K^{\bullet })\to 0.$

Оно расщепляется, из чего следует первая часть леммы, а также точность

$0\to G(B^{n})\to G(Z^{n})\to G(H^{n}(K^{\bullet }))\to 0.$

Аналогично мы имеем (используя ранее проведенное разбиение):

$0\to G(Z^{n})\to G(K^{n}){\overset {G(d)}{\to }}G(B^{n+1})\to 0.$

Теперь следует вторая часть. $\square$

Теперь построим спектральную последовательность. Позволять $A^{0}\to A^{1}\to \cdots$ быть инъективной резольвентой A . Письмо $\phi ^{p}$ для $F(A^{p})\to F(A^{p+1})$, у нас есть:

$0\to \operatorname {ker} \phi ^{p}\to F(A^{p}){\overset {\phi ^{p}}{\to }}\operatorname {im} \phi ^{p}\to 0.$

Принимайте инъективные резолюции $J^{0}\to J^{1}\to \cdots$ и $K^{0}\to K^{1}\to \cdots$ первого и третьего ненулевых членов. По лемме о подкове их прямая сумма $I^{p,\bullet }=J\oplus K$ является инъективным разрешением $F(A^{p})$. Таким образом, мы нашли инъективное разрешение комплекса:

$0\to F(A^{\bullet })\to I^{\bullet ,0}\to I^{\bullet ,1}\to \cdots .$

так, что каждая строка $I^{0,q}\to I^{1,q}\to \cdots$ удовлетворяет условию леммы (ср. резолюцию Картана–Эйленберга ).

Теперь двойной комплекс $E_{0}^{p,q}=G(I^{p,q})$ порождает две спектральные последовательности, горизонтальную и вертикальную, которые мы сейчас и собираемся рассмотреть. С одной стороны, по определению,

${}^{\prime \prime }E_{1}^{p,q}=H^{q}(G(I^{p,\bullet }))=R^{q}G(F(A^{p}))$,

который всегда равен нулю, если только q = 0, поскольку $F(A^{p})$ является G -ациклическим по условию. Следовательно, ${}^{\prime \prime }E_{2}^{n}=R^{n}(G\circ F)(A)$ и ${}^{\prime \prime }E_{2}={}^{\prime \prime }E_{\infty }$. С другой стороны, по определению и лемме

${}^{\prime }E_{1}^{p,q}=H^{q}(G(I^{\bullet ,p}))=G(H^{q}(I^{\bullet ,p})).$

С $H^{q}(I^{\bullet ,0})\to H^{q}(I^{\bullet ,1})\to \cdots$ является инъективным разрешением $H^{q}(F(A^{\bullet }))=R^{q}F(A)$ (это резольвента, поскольку ее когомологии тривиальны),

${}^{\prime }E_{2}^{p,q}=R^{p}G(R^{q}F(A)).$

С ${}^{\prime }E_{r}$ и ${}^{\prime \prime }E_{r}$ имеют одинаковый предельный член, то доказательство завершено. $\square$

Ссылки

• Годемент, Роджер (1973), Алгебраическая топология и теория пучков , Париж: Hermann, MR   0345092
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55987-4 . МР   1269324 . OCLC   36131259 .

Вычислительные примеры

• Шарп, Эрик (2003). Лекции по D-бранам и пучкам (стр. 18–19) , arXiv : hep-th/0307245

Эта статья включает в себя материал из спектральной последовательности Гротендика на сайте PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .