Гротендика Тохоку Статья
Статья О некоторых пунктах гомологической алгебры » Александра Гротендика « [ 1 ] теперь часто называемый Тохоку документом , [ 2 ] была опубликована в 1957 году в « Математическом журнале Тохоку» . Это произвело революцию в предмете гомологической алгебры , чисто алгебраического аспекта алгебраической топологии . [ 3 ] Это устранило необходимость различать случаи модулей над кольцом и пучков абелевых групп над топологическим пространством . [ 4 ]
Фон
[ редактировать ]Материал в статье датируется годом обучения Гротендика в Канзасском университете в 1955–1956 годах. Исследования там позволили ему поставить гомологическую алгебру на аксиоматическую основу, введя понятие абелевой категории . [ 5 ] [ 6 ]
Учебник по гомологической алгебре «Картан-Эйленберг» в честь авторов Анри Картана и Сэмюэля Эйленберга появился в 1956 году. Работа Гротендика была во многом независимой от него. Его концепция абелевых категорий была, по крайней мере частично, предвосхищена другими. [ 7 ] Дэвид Бухсбаум в своей докторской диссертации, написанной под руководством Эйленберга, ввел понятие « точной категории », близкое к понятию абелевой категории ( требуется только прямые суммы для идентичности ); и сформулировал идею « достаточного количества инъективных слов ». [ 8 ] В статье Тохоку содержится аргумент в пользу доказательства того, что категория Гротендика (особый тип абелевой категории, название появилось позже) имеет достаточно инъективных значений; автор указал, что доказательство стандартного типа. [ 9 ] Показав таким образом, что категории пучков абелевых групп допускают инъективные резольвенты , Гротендик вышел за рамки теории, доступной Картану-Эйленбергу, и доказал существование теории когомологий в общности. [ 10 ]
Более поздние события
[ редактировать ]После теоремы Габриэля-Попеску 1964 года стало известно, что каждая категория Гротендика является фактор-категорией категории модуля . [ 11 ]
В статье Тохоку связанная также была представлена спектральная последовательность Гротендика, с композицией производных функторов . [ 12 ] В ходе дальнейшего пересмотра основ гомологической алгебры Гротендик ввел и разработал вместе с Жаном-Луи Вердье концепцию производной категории . [ 13 ] Первоначальная мотивация, как объявил Гротендик на Международном конгрессе математиков 1958 года , состояла в том, чтобы сформулировать результаты по когерентной двойственности , которая теперь известна под названием «двойственность Гротендика». [ 14 ]
Примечания
[ редактировать ]- ^ Гротендик, А. (1957), «О некоторых моментах гомологической алгебры», Tôhoku Mathematical Journal , (2), 9 (2): 119–221, doi : 10.2748/tmj/1178244839 , MR 0102537 . Английский перевод .
- ^ Шлагер, Нил; Лауэр, Джош (2000), Наука и ее времена: 1950-настоящее время. Том 7 книги «Наука и ее времена: понимание социального значения научных открытий» , Gale Group, стр. 251, ISBN 9780787639396 .
- ^ Суён Чанг (2011). Академическая генеалогия математиков . Всемирная научная. п. 115. ИСБН 978-981-4282-29-1 .
- ^ Жан-Поль Пьер (1 января 2000 г.). Развитие математики 1950-2000 гг . Springer Science & Business Media. п. 715. ИСБН 978-3-7643-6280-5 .
- ^ Пьер Картье; Люк Иллюзи; Николас М. Кац; Жерар Ломон; Юрий Иванович Манин (22 декабря 2006 г.). The Grothendieck Festschrift, Volume I: Сборник статей, написанных в честь 60-летия со дня рождения Александра Гротендика . Springer Science & Business Media. п. VII. ISBN 978-0-8176-4566-3 .
- ^ Петр Прагач (6 апреля 2005 г.). Темы когомологических исследований алгебраических многообразий: конспект лекций Импанги . Springer Science & Business Media. п. xiv–xv. ISBN 978-3-7643-7214-9 .
- ^ «Тохоку в nLab» . Проверено 2 декабря 2014 г.
- ^ И. М. Джеймс (24 августа 1999 г.). История топологии . Эльзевир. п. 815. ИСБН 978-0-08-053407-7 .
- ^ Амнон Ниман (январь 2001 г.). Триангулированные категории . Издательство Принстонского университета. п. 19. ISBN 0-691-08686-9 .
- ^ Джандоменико Сика (1 января 2006 г.). Что такое теория категорий? . Полиметрия стр. 10-1 236–7. ISBN 978-88-7699-031-1 .
- ^ «Категория Гротендика — Математическая энциклопедия» . Проверено 2 декабря 2014 г.
- ^ Чарльз А. Вейбель (27 октября 1995 г.). Введение в гомологическую алгебру . Издательство Кембриджского университета. п. 150. ИСБН 978-0-521-55987-4 .
- ^ Рави Вакил (2005). Лекции Snowbird по алгебраической геометрии: материалы совместной летней исследовательской конференции AMS-IMS-SIAM по алгебраической геометрии: презентации молодых исследователей, 4–8 июля 2004 г. Американское математическое соц. стр. 44–5. ISBN 978-0-8218-5720-5 .
- ^ Амнон Нееман, «Производные категории и двойственность Гротендика» , стр. 7