Вырождение (алгебраическая геометрия)

В алгебраической геометрии вырождение (или специализация ) — это достижение предела семейства многообразий. Именно, учитывая морфизм

\pi :{\mathcal {X}}\to C,

многообразия (или схемы) кривой C с началом 0 (например, аффинной или проективной прямой), слои

\pi ^{-1}(t)

образуют семейство многообразий над C . Тогда волокно $\pi ^{-1}(0)$ можно рассматривать как предел $\pi ^{-1}(t)$ как $t\to 0$ . Затем один говорит, что семья $\pi ^{-1}(t),t\neq 0$ перерождается в особое волокно $\pi ^{-1}(0)$ . Предельный процесс хорошо себя ведет, когда $\pi$ — плоский морфизм , и в этом случае вырождение называется плоским вырождением . Многие авторы полагают, что вырождения плоские.

Когда семья $\pi ^{-1}(t)$ тривиально вне специального волокна; то есть, $\pi ^{-1}(t)$ не зависит от $t\neq 0$ с точностью до (когерентных) изоморфизмов, $\pi ^{-1}(t),t\neq 0$ называется общим волокном.

Вырождения кривых

При изучении модулей кривых важным моментом является понимание границ модулей, что равнозначно пониманию вырождений кривых.

Стабильность инвариантов

Управляемость специализируется. Именно, теорема Мацусаки гласит:

Пусть X — нормальная неприводимая проективная схема над кольцом дискретного нормирования. Если общий слой линейен, то линейчата и каждая неприводимая компонента специального слоя.

Бесконечно малые деформации

Пусть D = k [ ε ] — кольцо двойственных чисел над полем k , а Y — схема конечного типа над k . замкнутой подсхемы X схемы Y по определению первого порядка схемы вложенная бесконечно малая деформация X представляет собой замкнутую подсхему X ' Y Для заданной × _{Spec( k )} Spec( D ) такую, что проекция X ' → Spec D плоская и имеет X в качестве специального волокна.

Если Y = Spec A и X = Spec( A / I ) аффинны, то вложенная бесконечно малая деформация представляет собой идеал ' A I [ ε ] такой, что A [ ε ]/ I ' плоский над D и образ Я ' в А знак равно А [ ε ]/ ε есть я .

Вообще говоря, для заданной точечной схемы ( S , 0) и схемы X морфизм схем $π$ : X ' → S называется деформацией схемы X, если она плоская и ее слой над выделенной точкой 0 S это X. — Таким образом, приведенное выше понятие является частным случаем, когда S = Spec D и существует некоторый выбор вложения.

См. также

Ссылки

М. Артин, Лекции по деформациям особенностей - Институт фундаментальных исследований Тата, 1976 г.
Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9 , МР 0463157
Э. Сернеси: Деформации алгебраических схем
М. Гросс, М. Зиберт, Приглашение к торическим вырождениям
М. Концевич, Ю. Сойбельман: Аффинные структуры и неархимедовы аналитические пространства, в: Единство математики (П. Этингоф, В. Ретах, И. М. Зингер, ред.), 321–385, Прогр. Математика. 244, Биркхаузер 2006.
Карен Э. Смит, Исчезновение, особенности и эффективные границы с помощью локальной алгебры простых характеристик.
Алексеев В., гл. Биркенхейк и К. Хулек, Дегенерации разновидностей Прима, Дж. Рейн Ангью. Математика. 553 (2002), 73–116.

Внешние ссылки

http://mathoverflow.net/questions/88552/when-do-infinitesimal-deformations-lift-to-global-deformations