Рациональная сингулярность

В математике , особенно в области алгебраической геометрии , существует схема $X$ имеет рациональные особенности , если оно нормально , конечного типа над полем нулевой характеристики и существует собственное бирациональное отображение

f\colon Y\rightarrow X

из штатной схемы $Y$ так что высшие прямые образы $f_{*}$ применяется к ${\mathcal {O}}_{Y}$ тривиальны. То есть,

R^{i}f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}=0

для

i>0

.

Если существует одна такая резолюция, то отсюда следует, что все резолюции обладают этим свойством, поскольку любые две резолюции особенностей могут доминировать третьей.

Для поверхностей рациональные особенности были определены ( Artin 1966 ).

Составы

Альтернативно можно сказать, что $X$ имеет рациональные особенности тогда и только тогда, когда естественное отображение в производной категории

{\mathcal {O}}_{X}\rightarrow Rf_{*}{\mathcal {O}}_{Y}

является квазиизоморфизмом . Обратите внимание, что сюда входит утверждение, что ${\mathcal {O}}_{X}\simeq f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}$ и, следовательно, предположение, что $X$ это нормально.

Существуют родственные понятия в положительной и характеристике смешанной

псевдорациональный

и

F-рациональный

Рациональными сингулярностями являются, в частности, Коэн-Маколей , нормальные и Дюбуа . Они не обязательно должны быть Горенштейнами или даже Q-Горенштейнами .

Особенности лог-терминала рациональны. ^[1]

Примеры

Примером рациональной особенности является особая точка квадрики конуса.

x^{2}+y^{2}+z^{2}=0.\,

искусство ^[2] показал, что рациональные двойные точки алгебраических поверхностей суть особенности Дюваля .

См. также

Эллиптическая особенность

Ссылки

^ ( Коллар и Мори 1998 , Теорема 5.22.)
^ ( Артин 1966 )

Артин, Майкл (1966), «Об изолированных рациональных особенностях поверхностей», American Journal of Mathematics , 88 (1), The Johns Hopkins University Press: 129–136, doi : 10.2307/2373050 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373050 , МР 0199191
Коллар, Янош; Мори, Сигефуми (1998), Бирациональная геометрия алгебраических многообразий , Кембриджские трактаты по математике, том. 134, Издательство Кембриджского университета , номер домена : 10.1017/CBO9780511662560 , ISBN. 978-0-521-63277-5 , МР 1658959
Липман, Джозеф (1969), «Рациональные особенности с применением к алгебраическим поверхностям и уникальной факторизации» , Publications Mathématiques de l'IHÉS (36): 195–279, ISSN 1618-1913 , MR 0276239

[1] ( Коллар и Мори 1998 , Теорема 5.22.)

[2] ( Артин 1966 )

[1]

[2]