Jump to content

Кольцо Коэна – Маколея

(Перенаправлено с кольца Коэна-Маколея )

В математике кольцо Коэна-Маколея — это коммутативное кольцо с некоторыми алгебро-геометрическими свойствами гладкого многообразия , такими как локальная равномерность . При мягких предположениях локальное кольцо является Коэном–Маколеем в точности тогда, когда оно является конечно порожденным свободным модулем над регулярным локальным подкольцом. Кольца Коэна–Маколея играют центральную роль в коммутативной алгебре : они образуют очень широкий класс, и тем не менее во многих отношениях они хорошо изучены.

Они названы в честь Фрэнсиса Сауэрби Маколея ( 1916 ), который доказал теорему несмешанности для колец многочленов, и Ирвина Коэна ( 1946 ), который доказал теорему несмешанности для колец формальных степенных рядов . Все кольца Коэна–Маколея обладают свойством несмешанности.

Для нётеровых локальных колец существует следующая цепочка включений.

Универсально цепные кольца кольца Коэна–Маколея кольца Горенштейна кольца полных пересечений регулярные локальные кольца

Определение

[ редактировать ]

Для коммутативного нётерова локального кольца R конечный (т. е. конечно порожденный ) R -модуль является модулем Коэна-Маколея, если (в целом имеем: , см. формулу Ауслендера-Бухсбаума для связи глубины и яркости модулей определенного типа). С другой стороны, является модулем сам по себе, поэтому мы называем кольцо Коэна-Маколея, если оно является модулем Коэна-Маколея как -модуль. Максимальный M модуль Коэна-Маколея — это модуль Коэна-Маколея что такой, .

Приведенное выше определение относилось к нетеровым локальным кольцам. Но мы можем расширить определение более общего нётерова кольца: если — коммутативное нетерово кольцо, то R -модуль M называется модулем Коэна–Маколея, если является модулем Коэна-Маколея для всех максимальных идеалов . (Это своего рода циклическое определение , если только мы не определим нулевые модули как модули Коэна-Маколея. Поэтому в этом определении мы определяем нулевые модули как модули Коэна-Маколея.) Теперь, чтобы определить максимальные модули Коэна-Маколея для этих колец, мы требуем, чтобы быть таким -модуль для каждого максимального идеала Р. ​Как и в локальном случае, R является кольцом Коэна-Маколея, если оно является модулем Коэна-Маколея (как -модуль сам по себе). [1]

Нётеровы кольца следующих типов являются Коэном–Маколеем.

Еще несколько примеров:

  1. Кольцо K [ x ]/( x ²) имеет размерность 0 и, следовательно, является кольцом Коэна–Маколея, но оно не редуцировано и, следовательно, не регулярно.
  2. Подкольцо K [ t 2 , т 3 ] кольца полиномов K [ t ] или его локализация или пополнение в точке t = 0 представляет собой одномерную область, которая является Горенштейном и, следовательно, Коэном – Маколеем, но не является регулярной. Это кольцо можно также описать как координатное кольцо возвратной кубической кривой y 2 = х 3 над К.
  3. Подкольцо K [ t 3 , т 4 , т 5 ] кольца полиномов K [ t ] или его локализация или пополнение в точке t = 0 представляет собой одномерную область, которая является областью Коэна – Маколея, но не Горенштейна.

Рациональные особенности над полем нулевой характеристики относятся к Коэну–Маколею. Торические многообразия над любым полем относятся к Коэну–Маколею. [3] В программе минимальной модели широко используются многообразия с особенностями klt (логарифмический терминал Каваматы); в нулевой характеристике это рациональные особенности и, следовательно, Коэна–Маколея, [4] Одним из успешных аналогов рациональных особенностей в положительной характеристике является понятие F-рациональных особенностей ; опять же, такие особенности относятся к Коэну–Маколею. [5]

Пусть X проективное многообразие размерности n ≥ 1 над полем и L обильное линейное расслоение на X . Тогда кольцо сечения L

является Коэном–Маколеем тогда и только тогда, когда когомологий группа H я ( Икс , Л дж ) равно нулю для всех 1 ≤ i n −1 и всех целых чисел j . [6] Отсюда, например, следует, что аффинный конус Spec R над абелевым многообразием X является конусом Коэна–Маколея, когда X имеет размерность 1, но не когда X имеет размерность не менее 2 (поскольку H 1 ( X , O ) не равно нулю). См. также Обобщенное кольцо Коэна – Маколея .

Схемы Коэна – Маколея

[ редактировать ]

Мы говорим, что локально нётерова схема является Коэном–Маколеем, если в каждой точке местное кольцо Коэн-Маколей.

Кривые Коэна – Маколея

[ редактировать ]

Кривые Коэна – Маколея являются частным случаем схем Коэна – Маколея, но полезны для компактификации пространств модулей кривых. [7] где граница гладкого локуса представляет собой кривые Коэна–Маколея. Существует полезный критерий для принятия решения о том, являются ли кривые Коэна–Маколея. Схемы размеров являются Коэном–Маколеем тогда и только тогда, когда в них нет вложенных простых чисел. [8] Особенности, присутствующие в кривых Коэна – Маколея, можно полностью классифицировать, рассмотрев случай плоской кривой. [9]

Непримеры

[ редактировать ]

Используя этот критерий, можно получить простые примеры кривых, отличных от Коэна – Маколея, путем построения кривых со вложенными точками. Например, схема

имеет разложение на простые идеалы . Геометрически это -ось со встроенной точкой в ​​начале координат, которую можно рассматривать как жирную точку . Учитывая гладкую проективную плоскую кривую кривую с вложенной точкой можно построить тем же приемом: найти идеал точки в и умножить его на идеал из . Затем

представляет собой кривую с врезанной точкой в ​​точке .

Теория пересечений

[ редактировать ]

Схемы Коэна – Маколея имеют особое отношение к теории пересечений . А именно, пусть X — гладкое многообразие [10] и V , W замкнутые подсхемы чистой размерности. Пусть Z собственная компонента теоретико-схемного пересечения , то есть неприводимый компонент ожидаемой размерности. Если локальное A кольцо в общей точке есть Z точка Коэна-Маколея, тогда пересечения кратность V и W вдоль Z задается как длина A : [11]

.

В общем, эта кратность задается как длина, существенно характеризующая кольцо Коэна – Маколея; см . #Свойства . Критерий кратности один , напротив, грубо характеризует регулярное локальное кольцо как локальное кольцо кратности один.

В качестве простого примера, если мы возьмем пересечение параболы касательной к ней прямой, локальное кольцо в точке пересечения изоморфно

который является Коэном-Маколеем длины два, следовательно, кратность пересечения равна двум, как и ожидалось.

Чудо-плоскость или критерий Хиронаки

[ редактировать ]

Существует замечательная характеристика колец Коэна-Маколея, которую иногда называют чудо-плоскостью или критерием Хиронаки . Пусть R — локальное кольцо, конечно порожденное как модуль над некоторым регулярным локальным кольцом A, в R. содержащимся Такое подкольцо существует для любой локализации R в простом идеале над конечно порожденной алгебры полем по лемме о нормализации Нётер ; он также существует, когда R полон и содержит поле, или когда R является полной областью. [12] Тогда R является Коэном–Маколеем тогда и только тогда, когда он плоский как A -модуль; это также эквивалентно тому, что свободен как R A -модуль . [13]

Геометрическая переформулировка такова. Пусть X связная аффинная схема конечного типа над полем K (например, аффинное многообразие ). Пусть n размерность X. — Согласно нормализации Нётера существует конечный морфизм f из X в аффинное пространство A. н над К. ​Тогда X является коэном-маколеем тогда и только тогда, когда все слои f имеют одинаковую степень. [14] Поразительно, что это свойство не зависит от выбора f .

Наконец, существует версия Miracle Flatness для градуированных колец. Пусть R — конечно порожденная коммутативная градуированная алгебра над полем K ,

Всегда существует градуированное полиномиальное подкольцо A R (с образующими разных степеней) такое, что R конечно порождено как A -модуль. Тогда R является Коэном–Маколеем тогда и только тогда, когда R свободен как градуированный A -модуль. Опять же, отсюда следует, что эта свобода не зависит от выбора полиномиального подкольца A .

Характеристики

[ редактировать ]
  • Нётерово локальное кольцо является Коэном–Маколеем тогда и только тогда, когда его пополнение является Коэном–Маколеем. [15]
  • Если R — кольцо Коэна–Маколея, то кольцо многочленов R [ x ] и кольцо степенных рядов R [[ x ]] являются кольцами Коэна–Маколея. [16] [17]
  • Для неделителя нуля u в максимальном идеале нётерова локального кольца R является кольцо R кольцом Коэна–Маколея тогда и только тогда, когда R /( u ) является кольцом Коэна–Маколея. [18]
  • Фактор кольца Коэна – Маколея по любому идеалу является универсально цепным . [19]
  • Если R — фактор кольца Коэна–Маколея, то локус { p ∈ Spec R | R p — Коэн–Маколей } — открытое подмножество R. Spec [20]
  • Пусть ( R , m , k ) — нетерово локальное кольцо вложимой коразмерности c , что означает, что c = dim k ( m / m 2 ) - тусклый( р ). В геометрических терминах это справедливо для локального кольца подсхемы коразмерности c регулярной схемы. При c =1 кольцо R является кольцом Коэна–Маколея тогда и только тогда, когда оно является гиперповерхностным кольцом . Существует также структурная теорема для колец Коэна-Маколея коразмерности 2, теорема Гильберта-Берча : все они являются детерминантными кольцами, определяемыми минорами размера r × r матрицы ( r +1) × r для некоторого r .
  • Для нётерового локального кольца ( R , m ) следующие условия эквивалентны: [21]
    1. R — Коэн-Маколей.
    2. Для каждого параметрического идеала Q (идеала, порожденного системой параметров ),
      := кратность Гильберта– Самуэля Q .
    3. Для некоторого идеала параметра Q , .
(См. Обобщенное кольцо Коэна – Маколея, а также кольцо Буксбаума для колец, которые обобщают эту характеристику.)

Теорема о несмешанности

[ редактировать ]

Идеал I нётерова кольца A называется несмешанным по высоте, если высота I равна высоте каждого ассоциированного с ним простого числа P кольца A / I . (Это сильнее, чем утверждение, что ; см . ниже A/I равномерно .)

Говорят, что теорема о несмешанности справедлива кольца A , если каждый идеал I, порожденный числом элементов, равным его высоте, несмешан. Нётерово кольцо является Коэном–Маколеем тогда и только тогда, когда для него справедлива теорема о несмешанности. [22]

Теорема о несмешанном веществе применима, в частности, к нулевому идеалу (идеалу, порожденному нулевыми элементами), и, таким образом, она говорит, что кольцо Коэна – Маколея является равномерным кольцом ; на самом деле, в строгом смысле: нет встроенного компонента, и каждый компонент имеет одинаковую коразмерность.

См. также: квазинесмешанное кольцо (кольцо, в котором справедлива теорема о несмешанном целочисленном замыкании идеала ).

Контрпримеры

[ редактировать ]
  1. Если K — поле, то кольцо R = K [ x , y ]/( x 2 , xy ) (координатное кольцо прямой с вложенной точкой) не является кольцом Коэна–Маколея. Это следует, например, из чудесной плоскостности : R конечно над кольцом полиномов A = K [ y ] со степенью 1 над точками аффинной прямой Spec A с y ≠ 0, но со степенью 2 над точкой y = 0. (поскольку K -векторное пространство K [ x ]/( x 2 ) имеет размерность 2).
  2. Если K — поле, то кольцо K [ x , y , z ]/( xy , xz ) (координатное кольцо объединения прямой и плоскости) приведено, но не равномерно и, следовательно, не Коэна–Маколея. . Факторное по делителю нуля x - z дает предыдущий пример.
  3. Если K — поле, то кольцо R = K [ w , x , y , z ]/( wy , wz , xy , xz ) (координатное кольцо объединения двух плоскостей, встречающихся в точке) приведено и равномерно , но не Коэна-Маколея. Чтобы доказать это, можно использовать Хартхорна о теорему связности : если R — локальное кольцо Коэна–Маколея размерности не менее 2, то Spec R минус его замкнутая точка связна. [23]

Произведение Сегре двух колец Коэна-Маколея не обязательно должно быть Коэном-Маколеем. [24]

Двойственность Гротендика

[ редактировать ]

Одно из значений условия Коэна – Маколея можно увидеть в теории когерентной двойственности . Многообразие или схема X называется Коэном-Маколеем, если «дуализирующий комплекс», который априори лежит в производной категории пучков на X , представлен одним пучком. Более сильное свойство горенштейна означает , что этот пучок является линейным расслоением . В частности, всякая регулярная схема является горенштейновой. Таким образом, формулировки теорем двойственности, таких как двойственность Серра или локальная двойственность Гротендика для схем Горенштейна или Коэна – Маколея, сохраняют некоторую простоту того, что происходит для регулярных схем или гладких многообразий.

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Брунс и Херцог, по определению. 2.1.1
  2. ^ Айзенбуд (1995), Теорема 18.18.
  3. ^ Фултон (1993), с. 89.
  4. ^ Коллар и Мори (1998), Теоремы 5.20 и 5.22.
  5. ^ Шведе и Такер (2012), Приложение C.1.
  6. ^ Коллар (2013), (3.4).
  7. ^ Хонсен, Мортен, «Локальное уплотнение проективных кривых Коэна – Маколея» (PDF) , заархивировано (PDF) из оригинала 5 марта 2020 г.
  8. ^ «Лемма 31.4.4 (0BXG) — проект Stacks» , stacks.math.columbia.edu , получено 5 марта 2020 г.
  9. ^ Виганд, Роджер (декабрь 1991 г.), «Особенности кривых конечного типа Коэна – Маколея» , Arkiv for Matematik , 29 (1–2): 339–357, Бибкод : 1991ArM....29..339W , doi : 10.1007/ БФ02384346 , ISSN   0004-2080
  10. ^ плавность здесь как-то посторонняя и частично используется для обозначения правильного компонента.
  11. ^ Фултон 1998 , Предложение 8.2. (б)
  12. ^ Брунс и Герцог, Теорема A.22.
  13. ^ Эйзенбуд (1995), Следствие 18.17.
  14. ^ Эйзенбуд (1995), Упражнение 18.17.
  15. ^ Мацумура (1989), Теорема 17.5.
  16. ^ Мацумура (1989), Теорема 17.7.
  17. ^ Мацумура (1989), Теорема 23.5.; Примечание: хотя в ссылке как-то неясно, предполагается ли там кольцо локальным или нет, доказательство там не требует, чтобы кольцо было локальным.
  18. ^ Мацумура (1989), Теорема 17.3.(ii).
  19. ^ Мацумура (1989), Теорема 17.9.
  20. ^ Мацумура (1989), Упражнение 24.2.
  21. ^ Мацумура (1989), Теорема 17.11.
  22. ^ Мацумура (1989), Теорема 17.6.
  23. ^ Айзенбуд (1995), Теорема 18.12.
  24. ^ Чоу, Вэй Лян (1964), «О теореме несмешанности», American Journal of Mathematics , 86 : 799–822, doi : 10.2307/2373158 , JSTOR   2373158 , MR   0171804
[ редактировать ]

См. также

[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: bbd55375b2394c12fbb652d1276cd243__1720236600
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/bb/43/bbd55375b2394c12fbb652d1276cd243.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Cohen–Macaulay ring - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)