Кольцо Коэна – Маколея
В математике кольцо Коэна-Маколея — это коммутативное кольцо с некоторыми алгебро-геометрическими свойствами гладкого многообразия , такими как локальная равномерность . При мягких предположениях локальное кольцо является Коэном–Маколеем в точности тогда, когда оно является конечно порожденным свободным модулем над регулярным локальным подкольцом. Кольца Коэна–Маколея играют центральную роль в коммутативной алгебре : они образуют очень широкий класс, и тем не менее во многих отношениях они хорошо изучены.
Они названы в честь Фрэнсиса Сауэрби Маколея ( 1916 ), который доказал теорему несмешанности для колец многочленов, и Ирвина Коэна ( 1946 ), который доказал теорему несмешанности для колец формальных степенных рядов . Все кольца Коэна–Маколея обладают свойством несмешанности.
Для нётеровых локальных колец существует следующая цепочка включений.
- Универсально цепные кольца ⊃ кольца Коэна–Маколея ⊃ кольца Горенштейна ⊃ кольца полных пересечений ⊃ регулярные локальные кольца
Определение
[ редактировать ]Для коммутативного нётерова локального кольца R конечный (т. е. конечно порожденный ) R -модуль является модулем Коэна-Маколея, если (в целом имеем: , см. формулу Ауслендера-Бухсбаума для связи глубины и яркости модулей определенного типа). С другой стороны, является модулем сам по себе, поэтому мы называем кольцо Коэна-Маколея, если оно является модулем Коэна-Маколея как -модуль. Максимальный M модуль Коэна-Маколея — это модуль Коэна-Маколея что такой, .
Приведенное выше определение относилось к нетеровым локальным кольцам. Но мы можем расширить определение более общего нётерова кольца: если — коммутативное нетерово кольцо, то R -модуль M называется модулем Коэна–Маколея, если является модулем Коэна-Маколея для всех максимальных идеалов . (Это своего рода циклическое определение , если только мы не определим нулевые модули как модули Коэна-Маколея. Поэтому в этом определении мы определяем нулевые модули как модули Коэна-Маколея.) Теперь, чтобы определить максимальные модули Коэна-Маколея для этих колец, мы требуем, чтобы быть таким -модуль для каждого максимального идеала Р. Как и в локальном случае, R является кольцом Коэна-Маколея, если оно является модулем Коэна-Маколея (как -модуль сам по себе). [1]
Примеры
[ редактировать ]Нётеровы кольца следующих типов являются Коэном–Маколеем.
- Любой обычный местный звонок . Это приводит к различным примерам колец Коэна – Маколея, таким как целые числа , или кольцо многочленов над полем K или кольцом степенных рядов . В геометрических терминах каждая регулярная схема , например гладкое многообразие над полем, является системой Коэна–Маколея.
- Любое 0-мерное кольцо (или, что то же самое, любое артиново кольцо ).
- Любое одномерное приведенное кольцо , например любая одномерная область .
- Любое двумерное нормальное кольцо .
- Любое кольцо Горенштейна . В частности, любое полное кольцо пересечений .
- Кольцо инвариантов когда R — алгебра Коэна–Маколея над полем характеристики нулевой , а G — конечная группа (или, в более общем смысле, линейная алгебраическая группа , единичный компонент которой редуктивен ). Это теорема Хохстера–Робертса .
- Любое детерминантное кольцо. То есть пусть R — фактор регулярного локального кольца S по идеалу I, порожденному r × r минорами размера некоторой p × q матрицы элементов из S . Если коразмерность (или высота ) I равна «ожидаемой» коразмерности ( p - r +1)( q - r +1), R называется детерминантным кольцом . В этом случае R — это Коэн-Маколей. [2] Аналогично, координатные кольца детерминантных многообразий являются кольцами Коэна-Маколея.
Еще несколько примеров:
- Кольцо K [ x ]/( x ²) имеет размерность 0 и, следовательно, является кольцом Коэна–Маколея, но оно не редуцировано и, следовательно, не регулярно.
- Подкольцо K [ t 2 , т 3 ] кольца полиномов K [ t ] или его локализация или пополнение в точке t = 0 представляет собой одномерную область, которая является Горенштейном и, следовательно, Коэном – Маколеем, но не является регулярной. Это кольцо можно также описать как координатное кольцо возвратной кубической кривой y 2 = х 3 над К.
- Подкольцо K [ t 3 , т 4 , т 5 ] кольца полиномов K [ t ] или его локализация или пополнение в точке t = 0 представляет собой одномерную область, которая является областью Коэна – Маколея, но не Горенштейна.
Рациональные особенности над полем нулевой характеристики относятся к Коэну–Маколею. Торические многообразия над любым полем относятся к Коэну–Маколею. [3] В программе минимальной модели широко используются многообразия с особенностями klt (логарифмический терминал Каваматы); в нулевой характеристике это рациональные особенности и, следовательно, Коэна–Маколея, [4] Одним из успешных аналогов рациональных особенностей в положительной характеристике является понятие F-рациональных особенностей ; опять же, такие особенности относятся к Коэну–Маколею. [5]
Пусть X — проективное многообразие размерности n ≥ 1 над полем и L — обильное линейное расслоение на X . Тогда кольцо сечения L
является Коэном–Маколеем тогда и только тогда, когда когомологий группа H я ( Икс , Л дж ) равно нулю для всех 1 ≤ i ≤ n −1 и всех целых чисел j . [6] Отсюда, например, следует, что аффинный конус Spec R над абелевым многообразием X является конусом Коэна–Маколея, когда X имеет размерность 1, но не когда X имеет размерность не менее 2 (поскольку H 1 ( X , O ) не равно нулю). См. также Обобщенное кольцо Коэна – Маколея .
Схемы Коэна – Маколея
[ редактировать ]Мы говорим, что локально нётерова схема является Коэном–Маколеем, если в каждой точке местное кольцо Коэн-Маколей.
Кривые Коэна – Маколея
[ редактировать ]Кривые Коэна – Маколея являются частным случаем схем Коэна – Маколея, но полезны для компактификации пространств модулей кривых. [7] где граница гладкого локуса представляет собой кривые Коэна–Маколея. Существует полезный критерий для принятия решения о том, являются ли кривые Коэна–Маколея. Схемы размеров являются Коэном–Маколеем тогда и только тогда, когда в них нет вложенных простых чисел. [8] Особенности, присутствующие в кривых Коэна – Маколея, можно полностью классифицировать, рассмотрев случай плоской кривой. [9]
Непримеры
[ редактировать ]Используя этот критерий, можно получить простые примеры кривых, отличных от Коэна – Маколея, путем построения кривых со вложенными точками. Например, схема
имеет разложение на простые идеалы . Геометрически это -ось со встроенной точкой в начале координат, которую можно рассматривать как жирную точку . Учитывая гладкую проективную плоскую кривую кривую с вложенной точкой можно построить тем же приемом: найти идеал точки в и умножить его на идеал из . Затем
представляет собой кривую с врезанной точкой в точке .
Теория пересечений
[ редактировать ]Схемы Коэна – Маколея имеют особое отношение к теории пересечений . А именно, пусть X — гладкое многообразие [10] и V , W замкнутые подсхемы чистой размерности. Пусть Z — собственная компонента теоретико-схемного пересечения , то есть неприводимый компонент ожидаемой размерности. Если локальное A кольцо в общей точке есть Z точка Коэна-Маколея, тогда пересечения кратность V и W вдоль Z задается как длина A : [11]
- .
В общем, эта кратность задается как длина, существенно характеризующая кольцо Коэна – Маколея; см . #Свойства . Критерий кратности один , напротив, грубо характеризует регулярное локальное кольцо как локальное кольцо кратности один.
Пример
[ редактировать ]В качестве простого примера, если мы возьмем пересечение параболы касательной к ней прямой, локальное кольцо в точке пересечения изоморфно
который является Коэном-Маколеем длины два, следовательно, кратность пересечения равна двум, как и ожидалось.
Чудо-плоскость или критерий Хиронаки
[ редактировать ]Существует замечательная характеристика колец Коэна-Маколея, которую иногда называют чудо-плоскостью или критерием Хиронаки . Пусть R — локальное кольцо, конечно порожденное как модуль над некоторым регулярным локальным кольцом A, в R. содержащимся Такое подкольцо существует для любой локализации R в простом идеале над конечно порожденной алгебры полем по лемме о нормализации Нётер ; он также существует, когда R полон и содержит поле, или когда R является полной областью. [12] Тогда R является Коэном–Маколеем тогда и только тогда, когда он плоский как A -модуль; это также эквивалентно тому, что свободен как R A -модуль . [13]
Геометрическая переформулировка такова. Пусть X — связная аффинная схема конечного типа над полем K (например, аффинное многообразие ). Пусть n размерность X. — Согласно нормализации Нётера существует конечный морфизм f из X в аффинное пространство A. н над К. Тогда X является коэном-маколеем тогда и только тогда, когда все слои f имеют одинаковую степень. [14] Поразительно, что это свойство не зависит от выбора f .
Наконец, существует версия Miracle Flatness для градуированных колец. Пусть R — конечно порожденная коммутативная градуированная алгебра над полем K ,
Всегда существует градуированное полиномиальное подкольцо A ⊂ R (с образующими разных степеней) такое, что R конечно порождено как A -модуль. Тогда R является Коэном–Маколеем тогда и только тогда, когда R свободен как градуированный A -модуль. Опять же, отсюда следует, что эта свобода не зависит от выбора полиномиального подкольца A .
Характеристики
[ редактировать ]- Нётерово локальное кольцо является Коэном–Маколеем тогда и только тогда, когда его пополнение является Коэном–Маколеем. [15]
- Если R — кольцо Коэна–Маколея, то кольцо многочленов R [ x ] и кольцо степенных рядов R [[ x ]] являются кольцами Коэна–Маколея. [16] [17]
- Для неделителя нуля u в максимальном идеале нётерова локального кольца R является кольцо R кольцом Коэна–Маколея тогда и только тогда, когда R /( u ) является кольцом Коэна–Маколея. [18]
- Фактор кольца Коэна – Маколея по любому идеалу является универсально цепным . [19]
- Если R — фактор кольца Коэна–Маколея, то локус { p ∈ Spec R | R p — Коэн–Маколей } — открытое подмножество R. Spec [20]
- Пусть ( R , m , k ) — нетерово локальное кольцо вложимой коразмерности c , что означает, что c = dim k ( m / m 2 ) - тусклый( р ). В геометрических терминах это справедливо для локального кольца подсхемы коразмерности c регулярной схемы. При c =1 кольцо R является кольцом Коэна–Маколея тогда и только тогда, когда оно является гиперповерхностным кольцом . Существует также структурная теорема для колец Коэна-Маколея коразмерности 2, теорема Гильберта-Берча : все они являются детерминантными кольцами, определяемыми минорами размера r × r матрицы ( r +1) × r для некоторого r .
- Для нётерового локального кольца ( R , m ) следующие условия эквивалентны: [21]
- R — Коэн-Маколей.
- Для каждого параметрического идеала Q (идеала, порожденного системой параметров ),
- := кратность Гильберта– Самуэля Q .
- Для некоторого идеала параметра Q , .
- (См. Обобщенное кольцо Коэна – Маколея, а также кольцо Буксбаума для колец, которые обобщают эту характеристику.)
Теорема о несмешанности
[ редактировать ]Идеал I нётерова кольца A называется несмешанным по высоте, если высота I равна высоте каждого ассоциированного с ним простого числа P кольца A / I . (Это сильнее, чем утверждение, что ; см . ниже A/I равномерно .)
Говорят, что теорема о несмешанности справедлива кольца A , если каждый идеал I, порожденный числом элементов, равным его высоте, несмешан. Нётерово кольцо является Коэном–Маколеем тогда и только тогда, когда для него справедлива теорема о несмешанности. [22]
Теорема о несмешанном веществе применима, в частности, к нулевому идеалу (идеалу, порожденному нулевыми элементами), и, таким образом, она говорит, что кольцо Коэна – Маколея является равномерным кольцом ; на самом деле, в строгом смысле: нет встроенного компонента, и каждый компонент имеет одинаковую коразмерность.
См. также: квазинесмешанное кольцо (кольцо, в котором справедлива теорема о несмешанном целочисленном замыкании идеала ).
Контрпримеры
[ редактировать ]- Если K — поле, то кольцо R = K [ x , y ]/( x 2 , xy ) (координатное кольцо прямой с вложенной точкой) не является кольцом Коэна–Маколея. Это следует, например, из чудесной плоскостности : R конечно над кольцом полиномов A = K [ y ] со степенью 1 над точками аффинной прямой Spec A с y ≠ 0, но со степенью 2 над точкой y = 0. (поскольку K -векторное пространство K [ x ]/( x 2 ) имеет размерность 2).
- Если K — поле, то кольцо K [ x , y , z ]/( xy , xz ) (координатное кольцо объединения прямой и плоскости) приведено, но не равномерно и, следовательно, не Коэна–Маколея. . Факторное по делителю нуля x - z дает предыдущий пример.
- Если K — поле, то кольцо R = K [ w , x , y , z ]/( wy , wz , xy , xz ) (координатное кольцо объединения двух плоскостей, встречающихся в точке) приведено и равномерно , но не Коэна-Маколея. Чтобы доказать это, можно использовать Хартхорна о теорему связности : если R — локальное кольцо Коэна–Маколея размерности не менее 2, то Spec R минус его замкнутая точка связна. [23]
Произведение Сегре двух колец Коэна-Маколея не обязательно должно быть Коэном-Маколеем. [24]
Двойственность Гротендика
[ редактировать ]Одно из значений условия Коэна – Маколея можно увидеть в теории когерентной двойственности . Многообразие или схема X называется Коэном-Маколеем, если «дуализирующий комплекс», который априори лежит в производной категории пучков на X , представлен одним пучком. Более сильное свойство горенштейна означает , что этот пучок является линейным расслоением . В частности, всякая регулярная схема является горенштейновой. Таким образом, формулировки теорем двойственности, таких как двойственность Серра или локальная двойственность Гротендика для схем Горенштейна или Коэна – Маколея, сохраняют некоторую простоту того, что происходит для регулярных схем или гладких многообразий.
Примечания
[ редактировать ]- ^ Брунс и Херцог, по определению. 2.1.1
- ^ Айзенбуд (1995), Теорема 18.18.
- ^ Фултон (1993), с. 89.
- ^ Коллар и Мори (1998), Теоремы 5.20 и 5.22.
- ^ Шведе и Такер (2012), Приложение C.1.
- ^ Коллар (2013), (3.4).
- ^ Хонсен, Мортен, «Локальное уплотнение проективных кривых Коэна – Маколея» (PDF) , заархивировано (PDF) из оригинала 5 марта 2020 г.
- ^ «Лемма 31.4.4 (0BXG) — проект Stacks» , stacks.math.columbia.edu , получено 5 марта 2020 г.
- ^ Виганд, Роджер (декабрь 1991 г.), «Особенности кривых конечного типа Коэна – Маколея» , Arkiv for Matematik , 29 (1–2): 339–357, Бибкод : 1991ArM....29..339W , doi : 10.1007/ БФ02384346 , ISSN 0004-2080
- ^ плавность здесь как-то посторонняя и частично используется для обозначения правильного компонента.
- ^ Фултон 1998 , Предложение 8.2. (б)
- ^ Брунс и Герцог, Теорема A.22.
- ^ Эйзенбуд (1995), Следствие 18.17.
- ^ Эйзенбуд (1995), Упражнение 18.17.
- ^ Мацумура (1989), Теорема 17.5.
- ^ Мацумура (1989), Теорема 17.7.
- ^ Мацумура (1989), Теорема 23.5.; Примечание: хотя в ссылке как-то неясно, предполагается ли там кольцо локальным или нет, доказательство там не требует, чтобы кольцо было локальным.
- ^ Мацумура (1989), Теорема 17.3.(ii).
- ^ Мацумура (1989), Теорема 17.9.
- ^ Мацумура (1989), Упражнение 24.2.
- ^ Мацумура (1989), Теорема 17.11.
- ^ Мацумура (1989), Теорема 17.6.
- ^ Айзенбуд (1995), Теорема 18.12.
- ^ Чоу, Вэй Лян (1964), «О теореме несмешанности», American Journal of Mathematics , 86 : 799–822, doi : 10.2307/2373158 , JSTOR 2373158 , MR 0171804
Ссылки
[ редактировать ]- Брунс, Винфрид; Херцог, Юрген (1993), Коэн-Маколей Кольца , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 39, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-41068-7 , МР 1251956
- Коэн, И.С. (1946), «О структуре и идеальной теории полных локальных колец», Труды Американского математического общества , 59 (1): 54–106, doi : 10.2307/1990313 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1990313 , MR 0016094 Статья Коэна была написана, когда под «локальным кольцом» подразумевалось то, что сейчас называется «нётеровским локальным кольцом».
- В.И. Данилов (2001) [1994], «Кольцо Коэна–Маколея» , Энциклопедия Математики , EMS Press
- Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра с взглядом на алгебраическую геометрию , Тексты для аспирантов по математике , том. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-5350-1 , ISBN. 978-0-387-94268-1 , МР 1322960
- Фултон, Уильям (1993), Введение в торические разновидности , Princeton University Press , doi : 10.1515/9781400882526 , ISBN 978-0-691-00049-7 , МР 1234037
- Фултон, Уильям (1998), Теория пересечений , результаты математики и ее пограничные области . 3-я серия, том. 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4 , МР 1644323
- Коллар, Янош ; Мори, Сигэфуми (1998), Бирациональная геометрия алгебраических многообразий , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511662560 , ISBN 0-521-63277-3 , МР 1658959
- Коллар, Янош (2013), Особенности программы минимальной модели , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9781139547895 , ISBN 978-1-107-03534-8 , МР 3057950
- Маколей, Ф.С. (1916), Алгебраическая теория модульных систем , Cambridge University Press , doi : 10.3792/chmm/1263317740 , ISBN 1-4297-0441-1 , МР 1281612
- Мацумура, Хидеюки (1989), Коммутативная теория колец , Кембриджские исследования по высшей математике (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6 , МР 0879273
- Шведе, Карл; Такер, Кевин (2012), «Обзор тестовых идеалов», Progress in Commutative Algebra 2 , Berlin: Walter de Gruyter, стр. 39–99, arXiv : 1104.2000 , Bibcode : 2011arXiv1104.2000S , MR 2932591