Разложение Хиронаки

В математике разложение Хиронаки — это представление алгебры над полем как конечно порожденный свободный модуль над полиномиальной подалгеброй или регулярным локальным кольцом . Такие разложения названы в честь Хейсуке Хиронаки , который использовал это в своей неопубликованной магистерской диссертации в Киотском университете ( Нагата 1962 , стр.217).

Критерий Хиронаки ( Нагата 1962 , теорема 25.16), иногда называемый чудо-плоскостью , утверждает, что локальное кольцо R , которое является конечно порожденным модулем над регулярным нётеровым локальным кольцом S, Коэном -Маколеем тогда и только тогда, когда оно является свободным модулем над S. является Аналогичный результат получен для колец, которые ранжируются по полю, а не локально.

Явное разложение инвариантной алгебры

Позволять $V$ — конечномерное векторное пространство над алгебраически замкнутым полем характеристики нулевой , $K$ , несущий представление группы $G$ и рассмотрим алгебру полиномов на $V$ , $K[V]$ . Алгебра $K[V]$ имеет оценку с $(K[V])_{0}=K$ , наследуемый инвариантной подалгеброй

K[V]^{G}=\{f\in K[V]\mid g\circ f=f,\forall g\in G\}

.

Знаменитый результат теории инвариантов, давший ответ на четырнадцатую проблему Гильберта , состоит в том, что если $G$ является линейно редуктивной группой и $V$ является рациональным представлением $G$ , затем $K[V]$ является конечно-порожденным. Другой важный результат, полученный Нётер , состоит в том, что любая конечно порожденная градуированная алгебра $R$ с $R_{0}=K$ допускает (не обязательно единственную) однородную систему параметров (HSOP). HSOP (также называемый первичными инвариантами ) представляет собой набор однородных полиномов, $\{\theta _{i}\}$ , которые удовлетворяют двум свойствам:

The $\{\theta _{i}\}$ алгебраически независимы.
Нулевой набор $\{\theta _{i}\}$ , $\{v\in V|\theta _{i}=0\}$ , совпадает с нулевым конусом (связью) $R$ .

Важно отметить, что это означает, что алгебра может быть выражена как конечно-порожденный модуль над подалгеброй, порожденной HSOP: $K[\theta _{1},\dots ,\theta _{l}]$ . В частности, можно написать

K[V]^{G}=\sum _{k}\eta _{k}K[\theta _{1},\dots ,\theta _{l}]

,

где $\eta _{k}$ называются вторичными инвариантами .

Теперь, если $K[V]^{G}$ является Коэном-Маколеем, что имеет место, если $G$ линейно редуктивен, то он является свободным (и, как уже говорилось, конечно-порожденным) модулем над любым HSOP. Таким образом, фактически имеем разложение Хиронаки

K[V]^{G}=\bigoplus _{k}\eta _{k}K[\theta _{1},\dots ,\theta _{l}]

.

В частности, каждый элемент в $K[V]^{G}$ можно однозначно записать как 돰 $\sum \nolimits _{j}\eta _{j}f_{j}$ , где $f_{j}\in K[\theta _{1},\dots ,\theta _{l}]$ , а произведение любых двух вторичных компонентов однозначно определяется выражением $\eta _{k}\eta _{m}=\sum \nolimits _{j}\eta _{j}f_{km}^{j}$ , где $f_{km}^{j}\in K[\theta _{1},\dots ,\theta _{l}]$ . Это определяет умножение в $K[V]^{G}$ однозначно.

См. также

Ссылки

Нагата, Масаеши (1962), Локальные кольца , Межнаучные трактаты по чистой и прикладной математике, том. 13, Нью-Йорк-Лондон: Interscience Publishers, подразделение John Wiley & Sons, ISBN. 0-88275-228-6 , МР 0155856
Штурмфельс, Бернд ; Уайт, Нил (1991), «Вычисление комбинаторного разложения колец», Combinatorica , 11 (3): 275–293, doi : 10.1007/BF01205079 , MR 1122013