Разложение Хиронаки
В математике разложение Хиронаки — это представление алгебры над полем как конечно порожденный свободный модуль над полиномиальной подалгеброй или регулярным локальным кольцом . Такие разложения названы в честь Хейсуке Хиронаки , который использовал это в своей неопубликованной магистерской диссертации в Киотском университете ( Нагата 1962 , стр.217).
Критерий Хиронаки ( Нагата 1962 , теорема 25.16), иногда называемый чудо-плоскостью , утверждает, что локальное кольцо R , которое является конечно порожденным модулем над регулярным нётеровым локальным кольцом S, Коэном -Маколеем тогда и только тогда, когда оно является свободным модулем над S. является Аналогичный результат получен для колец, которые ранжируются по полю, а не локально.
Явное разложение инвариантной алгебры
[ редактировать ]Позволять — конечномерное векторное пространство над алгебраически замкнутым полем характеристики нулевой , , несущий представление группы и рассмотрим алгебру полиномов на , . Алгебра имеет оценку с , наследуемый инвариантной подалгеброй
- .
Знаменитый результат теории инвариантов, давший ответ на четырнадцатую проблему Гильберта , состоит в том, что если является линейно редуктивной группой и является рациональным представлением , затем является конечно-порожденным. Другой важный результат, полученный Нётер , состоит в том, что любая конечно порожденная градуированная алгебра с допускает (не обязательно единственную) однородную систему параметров (HSOP). HSOP (также называемый первичными инвариантами ) представляет собой набор однородных полиномов, , которые удовлетворяют двум свойствам:
- The алгебраически независимы.
- Нулевой набор , , совпадает с нулевым конусом (связью) .
Важно отметить, что это означает, что алгебра может быть выражена как конечно-порожденный модуль над подалгеброй, порожденной HSOP: . В частности, можно написать
- ,
где называются вторичными инвариантами .
Теперь, если является Коэном-Маколеем, что имеет место, если линейно редуктивен, то он является свободным (и, как уже говорилось, конечно-порожденным) модулем над любым HSOP. Таким образом, фактически имеем разложение Хиронаки
- .
В частности, каждый элемент в можно однозначно записать как 돰 , где , а произведение любых двух вторичных компонентов однозначно определяется выражением , где . Это определяет умножение в однозначно.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- Нагата, Масаеши (1962), Локальные кольца , Межнаучные трактаты по чистой и прикладной математике, том. 13, Нью-Йорк-Лондон: Interscience Publishers, подразделение John Wiley & Sons, ISBN. 0-88275-228-6 , МР 0155856
- Штурмфельс, Бернд ; Уайт, Нил (1991), «Вычисление комбинаторного разложения колец», Combinatorica , 11 (3): 275–293, doi : 10.1007/BF01205079 , MR 1122013