Обычный местный звонок

В коммутативной алгебре регулярное локальное кольцо — это нётерово локальное кольцо, обладающее тем свойством, что минимальное число образующих его максимального идеала равно его размерности Крулля . ^{[ 1 ]} В символах пусть A — любое нётерово локальное кольцо с единственным максимальным идеалом m и предположим, что a ₁ , ..., an _— минимальный набор образующих m. Тогда из теоремы Крулла о главном идеале следует, что n ≥ dim A и A является регулярным, если = dim A. n

Эта концепция мотивирована своим геометрическим смыслом. Точка x на алгебраическом многообразии X является неособой ( гладкой точкой ) тогда и только тогда, когда локальное кольцо ${\mathcal {O}}_{X,x}$ ростков является в точке x регулярным. (См. также: регулярная схема .) Регулярные локальные кольца не связаны с регулярными кольцами фон Неймана . ^{[ а ]}

Для нётеровых локальных колец существует следующая цепочка включений:

Универсально цепные кольца ⊃ кольца Коэна–Маколея ⊃ кольца Горенштейна ⊃ кольца полных пересечений ⊃ регулярные локальные кольца

Характеристики

Существует ряд полезных определений регулярного локального кольца, одно из которых упомянуто выше. В частности, если $A$ — нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом ${\mathfrak {m}}$ , то следующие определения являются эквивалентными:

Позволять ${\mathfrak {m}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ где $n$ выбирается как можно меньшим. Затем $A$ является регулярным, если

\dim A=n\,

,

где размерность представляет собой размерность Крулля. Минимальный набор генераторов

a_{1},\ldots ,a_{n}

называются тогда регулярной системой параметров .

Позволять $k=A/{\mathfrak {m}}$ быть полем вычетов $A$ . Затем $A$ является регулярным, если

\dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A\,

,

где второе измерение — это измерение Крулля .

Позволять ${\mbox{gl dim }}A:=\sup\{\operatorname {pd} M\mid M{\text{ is an }}A{\text{-module}}\}$ быть измерением глобальным $A$ (т.е. супремум проективных размерностей всех $A$ -модули.) Тогда $A$ является регулярным, если

{\mbox{gl dim }}A<\infty \,

,

в этом случае,

{\mbox{gl dim }}A=\dim A

.

Критерий кратности один гласит: ^{[ 2 ]} если пополнение нётерова локального кольца A что не существует вложенного простого делителя нулевого идеала и для каждого минимального простого числа p является несмешанным (в том смысле , $\dim {\widehat {A}}/p=\dim {\widehat {A}}$ ) и если кратность A равна единице , то A регулярен. (Обратное всегда верно: кратность регулярного локального кольца равна единице.) Этот критерий соответствует геометрической интуиции алгебраической геометрии о том, что локальное кольцо пересечения регулярно тогда и только тогда, когда это пересечение является трансверсальным пересечением .

В случае положительной характеристики имеется следующий важный результат Кунца: нётерово локальное кольцо. $R$ положительной характеристики p регулярен тогда и только тогда, когда морфизм Фробениуса $R\to R,r\mapsto r^{p}$ плоский и $R$ снижается . В нулевой характеристике аналогичный результат неизвестен (непонятно, чем следует заменить морфизм Фробениуса).

Примеры

Каждое поле представляет собой регулярное локальное кольцо. Они имеют (Крулля) размерность 0. Фактически поля представляют собой в точности регулярные локальные кольца размерности 0.
Любое кольцо дискретного нормирования является регулярным локальным кольцом размерности 1, а регулярные локальные кольца размерности 1 являются в точности кольцами дискретного нормирования. В частности, если k — поле, а X — неопределенное число, то кольцо формальных степенных рядов k [[ X ]] является регулярным локальным кольцом, имеющим (Крулл) размерность 1.
Если p — обычное простое число, то кольцо p-адических целых чисел является примером кольца дискретного нормирования и, следовательно, регулярного локального кольца, не содержащего поля.
В более общем смысле, если k — поле и X ₁ , X ₂ , ..., X _d неопределенны, то кольцо формальных степенных рядов k [[ X ₁ , X ₂ , ..., X _d ]] является регулярное локальное кольцо, имеющее (Крулля) размерность d .
Если A — регулярное локальное кольцо, то из этого следует, что формальных степенных рядов кольцо A [[ x ]] является регулярным локальным.
Если Z — кольцо целых чисел, а X — неопределенное число, то кольцо Z [ X ] _{(2, X )} (т.е. кольцо Z [ X ] локализованное в простом идеале (2, X )) является примером 2- размерное регулярное локальное кольцо, не содержащее поля.
По структурной теореме полное Ирвина Коэна регулярное локальное кольцо размерности Крулла d , содержащее поле k, является кольцом степенных рядов от d переменных над полем расширения поля k .

Непримеры

Кольцо $A=k[x]/(x^{2})$ не является регулярным локальным кольцом, поскольку оно конечномерно, но не имеет конечной глобальной размерности. Например, существует бесконечное разрешение

\cdots {\xrightarrow {\cdot x}}{\frac {k[x]}{(x^{2})}}{\xrightarrow {\cdot x}}{\frac {k[x]}{(x^{2})}}\to k\to 0

Используя еще одну из характеристик, $A$ имеет ровно один простой идеал ${\mathfrak {m}}={\frac {(x)}{(x^{2})}}$ , поэтому кольцо имеет размерность Крулля $0$ , но ${\mathfrak {m}}^{2}$ является нулевым идеалом, поэтому ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ имеет $k$ размер хотя бы $1$ . (фактически оно равно $1$ с $x+{\mathfrak {m}}$ это основа.)

Основные свойства

Теорема Ауслендера -Бухсбаума утверждает, что каждое регулярное локальное кольцо является уникальной областью факторизации .

Всякая локализация , как и пополнение , регулярного локального кольца регулярна.

Если $(A,{\mathfrak {m}})$ — полное регулярное локальное кольцо, содержащее поле, то

A\cong k[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]

,

где $k=A/{\mathfrak {m}}$ – поле вычетов , а $d=\dim A$ , измерение Крулля.

См. также: Неравенство Серра по высоте и гипотезы Серра о множественности .

Происхождение основных понятий

Регулярные локальные кольца были первоначально определены Вольфгангом Круллем в 1937 году. ^{[ 3 ]} но впервые они стали заметными в творчестве Оскара Зарисского несколько лет спустя. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} который показал, что геометрически регулярное локальное кольцо соответствует гладкой точке алгебраического многообразия . Пусть Y — алгебраическое многообразие, содержащееся в аффинном n -пространстве над совершенным полем , и предположим, что Y — точка исчезновения многочленов f ₁ ,..., f _m . Y несингулярен в P, если Y удовлетворяет условию Якобиана : если M = (∂ f _i /∂ x _j ) — матрица частных производных определяющих уравнений многообразия, то ранг матрицы, найденный путем оценки M в P это п - тусклый Y . Зариский доказал, что Y неособо в P тогда и только тогда, когда локальное кольцо Y в P регулярно. (Зарисский заметил, что это может привести к сбою в несовершенных полях.) Это означает, что гладкость является внутренним свойством многообразия, другими словами, она не зависит от того, где и как многообразие вложено в аффинное пространство. Это также предполагает, что регулярные локальные кольца должны обладать хорошими свойствами, но до появления методов гомологической алгебры в этом направлении было известно очень мало. Когда в 1950-х годах были внедрены такие методы, Ауслендер и Бухсбаум доказали, что каждое регулярное локальное кольцо является уникальная область факторизации .

Другое свойство, подсказываемое геометрической интуицией, состоит в том, что локализация регулярного локального кольца снова должна быть регулярной. Опять же, эта проблема оставалась нерешенной до появления гомологических методов. нашел Жан-Пьер Серр гомологическую характеристику регулярных локальных колец: локальное кольцо A регулярно тогда и только тогда, когда A имеет конечную глобальную размерность , т. е. если каждый A -модуль имеет проективную резольвенту конечной длины. Легко показать, что свойство конечной глобальной размерности сохраняется при локализации и, следовательно, локализации регулярных локальных колец в простых идеалах снова регулярны.

Это оправдывает определение регулярности нелокальных коммутативных колец, данное в следующем разделе.

Обычное кольцо

В коммутативной алгебре регулярное кольцо — это коммутативное нётерово кольцо , такое, что локализация в каждом простом идеале является регулярным локальным кольцом: то есть каждая такая локализация обладает тем свойством, что минимальное число образующих его максимального идеала равно его Размерность Крулля .

Происхождение термина «регулярное кольцо» заключается в том, что аффинное многообразие неособо регулярна (т. е. каждая точка ) тогда и только тогда, когда его кольцо регулярных функций регулярно.

Для регулярных колец размерность Крулля совпадает с глобальной гомологической размерностью .

Жан-Пьер Серр определил регулярное кольцо как коммутативное нётерово кольцо конечной глобальной гомологической размерности. Его определение сильнее, чем определение выше, которое допускает регулярные кольца бесконечной размерности Крулла.

Примеры регулярных колец включают поля (нулевой размерности) и дедекиндовы области . Если A является регулярным, то регулярным является и [ X ] , размерность которого на единицу больше, чем у A. A

В частности, если $k$ — поле, кольцо целых чисел или область главных идеалов , то кольцо многочленов $k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ является регулярным. В случае поля это теорема сизигий Гильберта .

Любая локализация регулярного кольца также является регулярной.

Обычное кольцо уменьшено ^{[ б ]} но не обязательно должен быть целостным доменом. Например, произведение двух регулярных областей целостности является регулярным, но не является областью целостности. ^{[ 6 ]}

См. также

Примечания

^ Локальное регулярное кольцо фон Неймана является телом, поэтому эти два условия не очень совместимы.
^ поскольку кольцо приведено тогда и только тогда, когда редуцированы его локализации в простых идеалах.

Цитаты

^ Атья и Макдональд 1969 , стр. 123, теорема 11.22.
^ Херрманн, М., С. Икеда и У. Орбанц: Равномножественность и разрушение. Алгебраическое исследование с приложением Б. Мунена. Springer Verlag, Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк, 1988. Теорема 6.8.
^ Крулль, Вольфганг (1937), «Вклад в арифметику коммутативных областей целостности III», Math. , 42 : 745–766, doi : 10.1007/BF01160110.
^ Зариский, Оскар (1940), «Алгебраические многообразия над наземными полями характеристики 0», амер. Дж. Математика. , 62 : 187–221, номер документа : 10.2307/2371447 , JSTOR 2371447.
^ Зариский, Оскар (1947), «Понятие простой точки абстрактного алгебраического многообразия», Пер. амер. Математика. Соц. , 62 : 1–52, doi : 10.1090/s0002-9947-1947-0021694-1
^ Является ли обычное кольцо доменом

Ссылки

Атья, Майкл Ф .; Макдональд, Ян Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Аддисон-Уэсли , MR 0242802
Кунц, Характеризации регулярных локальных колец характеристики p. амер. Дж. Математика. 91 (1969), 772–784.
Цит-Юэнь Лам , Лекции о модулях и кольцах , Springer-Verlag , 1999, ISBN 978-1-4612-0525-8 . Глава 5.Г.
Жан-Пьер Серр , Локальная алгебра , Springer-Verlag , 2000, ISBN 3-540-66641-9 . Глава.IV.D.
Регулярные кольца в The Stacks Project

[2] Локальное регулярное кольцо фон Неймана является телом, поэтому эти два условия не очень совместимы.

[7] поскольку кольцо приведено тогда и только тогда, когда редуцированы его локализации в простых идеалах.

[FOOTNOTEAtiyahMacdonald1969123Theorem_11.22-1] Атья и Макдональд 1969 , стр. 123, теорема 11.22.

[3] Херрманн, М., С. Икеда и У. Орбанц: Равномножественность и разрушение. Алгебраическое исследование с приложением Б. Мунена. Springer Verlag, Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк, 1988. Теорема 6.8.

[4] Крулль, Вольфганг (1937), «Вклад в арифметику коммутативных областей целостности III», Math. , 42 : 745–766, doi : 10.1007/BF01160110.

[5] Зариский, Оскар (1940), «Алгебраические многообразия над наземными полями характеристики 0», амер. Дж. Математика. , 62 : 187–221, номер документа : 10.2307/2371447 , JSTOR 2371447.

[6] Зариский, Оскар (1947), «Понятие простой точки абстрактного алгебраического многообразия», Пер. амер. Математика. Соц. , 62 : 1–52, doi : 10.1090/s0002-9947-1947-0021694-1

[8] Является ли обычное кольцо доменом

[ 1 ]

[ а ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ б ]

[ 6 ]