Почти бесплатная алгебра

В абстрактной алгебре квазийская алгебра является ассоциативной алгеброй , которая удовлетворяет подъемному свойству, аналогичному формально гладкой алгебре в коммутативной алгебре . Это понятие было введено Cuntz и Quillen для применения к циклической гомологии . Алгебра без квазии обобщает бесплатную алгебру , а также координатное кольцо плавной аффинной сложной кривой . Из-за последнего обобщения можно рассматривать алгебру без квазий как обозначение гладкости в некоммутативном пространстве .

Определение

Пусть A будет ассоциативной алгеброй над сложными числами. Тогда A , как говорят, не содержат квази, если выполнены следующие эквивалентные условия:

• Учитывая растяжение квадратного нуля $R\to R/I$, каждый гомоморфизм $A\to R/I$ поднимается до $A\to R$.
• Когомологическое измерение A в отношении кохомологии Хохшильда не больше всего.

Позволять $(\Omega A,d)$ Обозначает конверт A ; дифференциальный т.е. универсальная дифференциальная алгебра генерируемая A. , Тогда A не имеет квази, если и только тогда, когда $\Omega ^{1}A$ Проективен ​ как бимодуль над . ​

Существует также характеристика с точки зрения связи. Учитывая A -Bimodule E , правое соединение на E представляет собой линейную карту

$\nabla _{r}:E\to E\otimes _{A}\Omega ^{1}A$

это удовлетворяет $\nabla _{r}(as)=a\nabla _{r}(s)$ и $\nabla _{r}(sa)=\nabla _{r}(s)a+s\otimes da$. Левое соединение определяется аналогичным образом. Тогда A не имеет квази, если и только тогда, когда $\Omega ^{1}A$ принимает правильное соединение.

Свойства и примеры

Одним из основных свойств алгебры без квазий является то, что алгебра левой и правой наследственной (то есть подмодуль проективного левого или правого модуля является проективным или эквивалентно левым или правым глобальным размером является не более одного). Это накладывает сильное ограничение для того, чтобы алгебры были без квази. Например, наследственный (коммутативный) интегральный домен является именно доменом Dedekind . В частности, полиномиальное кольцо над полем не содержат квази, если и только если количество переменных не больше.

Аналог теоремы по соседству с трубчатой , называемой формальной теоремой соседства , содержит для квази-без квази-алгебр.

Ссылки

Библиография

• Кунц, Йоахим (июнь 2013 г.). «Работа Квиллена над основами циклической кохомологии» . Журнал K-Theory . 11 (3): 559–574. Arxiv : 1202.5958 . doi : 10.1017/is012011006jkt201 . ISSN   1865-2433 .
• Кунц, Йоахим; Quillen, Daniel (1995). «Расширения алгебры и несвязанность» . Журнал Американского математического общества . 8 (2): 251–289. doi : 10.2307/2152819 . ISSN   0894-0347 .
• Концевич, Максим; Розенберг, Александр Л. (2000). «Некоммутативные гладкие пространства» . Математические семинары Гельфанда, 1996–1999 . Birkhäuser: 85–108. arxiv : математика/9812158 . doi : 10.1007/978-1-4612-1340-6_5 .
• Максим Контсевич, Александр Розенберг, Некоммутативные пространства , препринт MPI-2004-35
• Вейл Р. (2009). «Примечания о квази-алгебре» (PDF) .

Дальнейшее чтение

• https://ncatlab.org/nlab/show/quasi-free+algebra