Квазисвободная алгебра

В абстрактной алгебре квазисвободная алгебра — это ассоциативная алгебра , которая удовлетворяет свойству подъема, аналогичному свойству формально гладкой алгебры в коммутативной алгебре . Это понятие было введено Кунцем и Квилленом для приложений к циклическим гомологиям . Квазисвободная алгебра обобщает свободную алгебру , а также координатное кольцо гладкой аффинной комплексной кривой . Благодаря последнему обобщению квазисвободную алгебру можно рассматривать как означающую гладкость в некоммутативном пространстве .

Определение

Пусть A — ассоциативная алгебра комплексных чисел. Тогда A называется квазисвободным, если выполняются следующие эквивалентные условия:

• Учитывая расширение с квадратным нулем $R\to R/I$, каждый гомоморфизм $A\to R/I$ поднимает на $A\to R$.
• Когомологическая размерность A относительно когомологий Хохшильда не более чем одна.

Позволять $(\Omega A,d)$ обозначает огибающую A ; дифференциальную т. е. универсальная дифференциально-градуированная алгебра, порожденная A . Тогда A квазисвободен тогда и только тогда, когда $\Omega ^{1}A$ проективен ​ как бимодуль над A .

Также существует характеристика с точки зрения связи. Для A -бимодуля E на правая связность E является линейным отображением.

$\nabla _{r}:E\to E\otimes _{A}\Omega ^{1}A$

это удовлетворяет $\nabla _{r}(as)=a\nabla _{r}(s)$ и $\nabla _{r}(sa)=\nabla _{r}(s)a+s\otimes da$. Аналогично определяется левое соединение. Тогда A квазисвободен тогда и только тогда, когда $\Omega ^{1}A$ допускает правильную связь.

Свойства и примеры

Одним из основных свойств квазисвободной алгебры является то, что алгебра наследственна слева и справа (т. е. подмодуль проективного левого или правого модуля проективен или, что то же самое, левая или правая глобальная размерность не превышает одной). Это накладывает сильное ограничение на квазисвободность алгебр. Например, наследственная (коммутативная) область целостности — это в точности область Дедекинда . В частности, кольцо многочленов над полем квазисвободно тогда и только тогда, когда число переменных не превышает одной.

Аналог теоремы о трубчатой ​​окрестности , называемый формальной теоремой о трубчатой ​​окрестности , верен для квазисвободных алгебр.

Ссылки

Библиография

• Кунц, Иоахим (июнь 2013 г.). «Работа Квиллена по основам циклических когомологий» . Журнал K-теории . 11 (3): 559–574. arXiv : 1202.5958 . дои : 10.1017/is012011006jkt201 . ISSN   1865-2433 .
• Кунц, Иоахим; Куиллен, Дэниел (1995). «Расширения алгебры и несингулярность» . Журнал Американского математического общества . 8 (2): 251–289. дои : 10.2307/2152819 . ISSN   0894-0347 .
• Концевич, Максим; Розенберг, Александр Л. (2000). «Некоммутативные гладкие пространства» . Гельфандовские математические семинары, 1996–1999 гг . Биркхойзер: 85–108. arXiv : математика/9812158 . дои : 10.1007/978-1-4612-1340-6_5 .
• Максим Концевич, Александр Розенберг, Некоммутативные пространства , препринт MPI-2004-35
• Вейл, Р. (2009). «Заметки о квазисвободных алгебрах» (PDF) .

Дальнейшее чтение

• https://ncatlab.org/nlab/show/quasi-free+algebra