Циклическая гомология

В некоммутативной геометрии и смежных разделах математики циклические гомологии и циклические когомологии представляют собой определенные теории (ко) гомологий для ассоциативных алгебр , которые обобщают (ко) гомологии де Рама многообразий. Эти понятия были независимо введены Борисом Цыганом (гомология). и Ален Конн (когомологии) в 1980-е годы. Эти инварианты имеют много интересных связей с несколькими старыми разделами математики, включая теорию де Рама, (ко)гомологии Хохшильда, групповые когомологии и K-теорию . В разработку теории внесли вклад Макс Каруби , Юрий Далецкий, Борис Фейгин , Жан-Люк Брылински , Мариуш Водзицкий , Жан-Луи Лодэ , Виктор Нистор, Дэниел Квиллен , Иоахим Кунц , Рышард Нест, Ральф Мейер и Михаэль Пушниг. .

Подсказки по определению

Первое определение циклических гомологий кольца А над полем нулевой характеристики , обозначаемое

HC _n ( A ) или H _n ^л ( А ),

действовал с помощью следующего явного цепного комплекса, с гомологическим комплексом Хохшильда A связанного , называемого комплексом Конна :

Для любого натурального числа n ≥ 0 определим оператор $t_{n}$ который порождает естественное циклическое действие $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ на n -м тензорном произведении A :

${\begin{aligned}t_{n}:A^{\otimes n}\to A^{\otimes n},\quad a_{1}\otimes \dots \otimes a_{n}\mapsto (-1)^{n-1}a_{n}\otimes a_{1}\otimes \dots \otimes a_{n-1}.\end{aligned}}$

Напомним, что комплексные группы Хохшильда группы A с коэффициентами из самого A задаются формулой $HC_{n}(A):=A^{\otimes n+1}$ для всех n ≥ 0 . Тогда компоненты комплекса Конна определяются как $C_{n}^{\lambda }(A):=HC_{n}(A)/\langle 1-t_{n+1}\rangle$, и дифференциал $d:C_{n}^{\lambda }(A)\to C_{n-1}^{\lambda }(A)$ есть ограничение дифференциала Хохшильда на этот фактор. Можно проверить, что дифференциал Хохшильда действительно учитывает это пространство коинвариантов.

Позже Конн нашел более категоричный подход к циклической гомологии, используя понятие циклического объекта в абелевой категории , которое аналогично понятию симплициального объекта . Таким образом, циклические гомологии (и когомологии) можно интерпретировать как производный функтор , который можно явно вычислить с помощью ( b , B )-бикомплекса. Если поле k содержит рациональные числа, определение в терминах комплекса Конна вычисляет те же гомологии.

Одной из поразительных особенностей циклической гомологии является существование длинной точной последовательности, соединяющейХохшильд и циклические гомологии. Эта длинная точная последовательность называется последовательностью периодичности.

Случай коммутативных колец

Циклические когомологии коммутативной алгебры A регулярных функций на аффинном алгебраическом многообразии над полем k нулевой характеристики можно вычислить в терминах Гротендика алгебраического комплекса де Рама . В частности, если многообразие V =Spec A гладкое, циклические когомологии выражаются через когомологии де Рама V A следующим образом:

$HC_{n}(A)\simeq \Omega ^{n}\!A/d\Omega ^{n-1}\!A\oplus \bigoplus _{i\geq 1}H_{\text{dR}}^{n-2i}(V).$

Эта формула предлагает способ определения когомологий де Рама для «некоммутативного спектра» некоммутативной алгебры A , который был широко развит Конном.

Варианты циклической гомологии

Одной из причин циклических гомологии была необходимость аппроксимации К-теории , которая определяется, в отличие от К-теории, как гомологии цепного комплекса . Циклические когомологии на самом деле наделены спариванием с K-теорией, и можно надеяться, что это спаривание будет невырожденным.

Был определен ряд вариантов, цель которых состоит в том, чтобы лучше соответствовать алгебрам с топологией, таким как алгебры Фреше , $C^{*}$-алгебры и т. д. Причина в том, что К-теория ведет себя гораздо лучше на топологических алгебрах, таких как банаховы алгебры или С*-алгебры, чем на алгебрах без дополнительной структуры. Поскольку, с другой стороны, циклические гомологии вырождаются на С*-алгебрах, возникла необходимость определения модифицированных теорий. Среди них полные циклические гомологии Алена Конна , аналитические циклические гомологии Ральфа Мейера. или асимптотическая и локальная циклическая гомология Майкла Пушнига. Последняя очень близка к К-теории , так как наделена бивариантным характером Черна из КК-теории .

Приложения

Одним из применений циклических гомологии является поиск новых доказательств и обобщений теоремы Атьи-Зингера об индексе . Среди этих обобщений - теоремы об индексе, основанные на спектральных тройках. и деформационное квантование пуассоновских структур .

Эллиптический оператор D на компактном гладком многообразии определяет класс в K-гомологиях. Одним из инвариантов этого класса является аналитический индекс оператора. Это рассматривается как спаривание класса [D] с элементом 1 из HC(C(M)). Циклические когомологии можно рассматривать как способ получить высшие инварианты эллиптических дифференциальных операторов не только для гладких многообразий, но также для слоений, орбифолдов и сингулярных пространств, которые появляются в некоммутативной геометрии.

Вычисления алгебраической K-теории

Отображение кругового следа — это отображение алгебраической K-теории (скажем, кольца A ) в циклические гомологии:

$tr:K_{n}(A)\to HC_{n-1}(A).$

В некоторых ситуациях эту карту можно использовать для расчета К-теории с помощью этой карты. Новаторским результатом в этом направлении является теорема Гудвилли (1986) : она утверждает, что отображение

$K_{n}(A,I)\otimes \mathbf {Q} \to HC_{n-1}(A,I)\otimes \mathbf {Q}$

между относительной K-теорией A относительно нильпотентного двустороннего идеала I и относительными циклическими гомологиями (измеряющими разницу между K-теорией или циклическими гомологиями A и A / I ) является изоморфизмом при n ≥1.

Хотя результат Гудвилли справедлив для произвольных колец, быстрое сокращение показывает, что, по сути, это всего лишь утверждение о $A\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q}$. Для колец, не содержащих Q , циклические гомологии должны быть заменены топологическими циклическими гомологиями, чтобы сохранить тесную связь с K-теорией. (Если Q содержится в A , то циклические гомологии и топологические циклические гомологии A согласуются.) Это согласуется с тем фактом, что (классические) гомологии Хохшильда ведут себя менее хорошо, чем топологические гомологии Хохшильда для колец, не содержащих Q . Клаузен, Мэтью и Морроу (2018) доказали далеко идущее обобщение результата Гудвилли, заявив, что для коммутативного кольца A , для которого справедлива лемма Гензеля относительно идеала I , относительная K-теория изоморфна относительным топологическим циклическим гомологиям. (без тензоризации обоих с помощью Q ). Их результат также включает в себя теорему Габбера (1992) , утверждающую, что в этой ситуации относительный спектр K-теории по модулю целого числа n , обратимый в A , обращается в нуль. Жардин (1993) использовал результат Габбера и жесткость Суслина, чтобы опровергнуть вычисление Квиллена К-теории конечных полей .

См. также

• Некоммутативная геометрия

Ссылки

• Жардин, Дж. Ф. (1993), «К-теория конечных полей, новый взгляд», K-Theory , 7 (6): 579–595, doi : 10.1007/BF00961219 , MR   1268594
• Лоде, Жан-Луи (1998), Циклическая гомология , Основы математических наук, том. 301, Спрингер, ISBN  978-3-540-63074-6
• Габбер, Офер (1992), « K -теория гензелевых локальных колец и гензелевых пар», алгебраическая K -теория, коммутативная алгебра и алгебраическая геометрия (Санта-Маргерита-Лигуре, 1989) , Contemp. Матем., вып. 126, АМН, стр. 59–70.
• Клаузен, Дастин; Мэтью, Ахил; Морроу, Мэтью (2018), «K-теория и топологические циклические гомологии гензелевых пар», arXiv : 1803.10897 [ math.KT ]
• Гудвилли, Томас Г. (1986), «Относительная алгебраическая K -теория и циклические гомологии», Annals of Mathematics , Second Series, 124 (2): 347–402, doi : 10.2307/1971283 , JSTOR   1971283 , MR   0855300
• Розенберг, Джонатан (1994), Алгебраическая K-теория и ее приложения , Тексты для аспирантов по математике , том. 147, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN.  978-0-387-94248-3 , МР   1282290 , Збл   0801.19001 . Ошибки

Внешние ссылки

• «Циклические когомологии» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Личное замечание о Хохшильде и циклических гомологиях.