Жесткость ( К -теория)

В математике жесткость K -теории включает в себя результаты, связывающие алгебраическую K -теорию различных колец.

жесткость по Суслину

Жесткость Суслина , названная в честь Андрея Суслина , относится к инвариантности современной алгебраической K - теории относительно замены базы между двумя алгебраически замкнутыми полями : Суслин (1983) показал, что для расширения

$E/F$

алгебраически замкнутых полей и алгебраического многообразия X / F существует изоморфизм

$K_{*}(X,\mathbf {Z} /n)\cong K_{*}(X\times _{F}E,\mathbf {Z} /n),\ i\geq 0$

между mod n K -теорией когерентных пучков на X соответственно меняется ее база на E. - Учебное описание этого факта в случае X = F , включая результирующие вычисления K -теории алгебраически замкнутых полей в характеристике p , содержится в Weibel (2013) .

Этот результат стимулировал ряд других работ. Например , Рёндигс и Оствар (2008) показывают, что функтор изменения базы для современной стабильной A ¹ -гомотопическая категория

$\mathrm {SH} (F,\mathbf {Z} /n)\to \mathrm {SH} (E,\mathbf {Z} /n)$

полностью верен. Аналогичное утверждение для некоммутативных мотивов было сделано Табуадой (2018) .

Габберовая жесткость

Другой тип жесткости связывает mod -n K-теорию гензелева кольца A с теорией его поля вычетов A / m . Этот результат о жесткости называется жесткостью Габбера в связи с работой Габбера (1992), который показал, что существует изоморфизм

$K_{*}(A,\mathbf {Z} /n)=K_{*}(A/m,\mathbf {Z} /n)$

что n ≥1 — целое число, обратимое в A. при условии ,

Если n не обратимо в A , результат, приведенный выше, остается верным при условии, что K-теория заменяется слоем отображения следов между K-теорией и топологическими циклическими гомологиями . Это было показано Клаузеном, Мэтью и Морроу (2021) .

Приложения

Жардин (1993) использовал результат Габбера и Суслина о жесткости, чтобы опровергнуть вычисление Квиллена К-теории конечных полей .

Ссылки

• Клаузен, Дастин; Мэтью, Ахил; Морроу, Мэтью (2021), «K-теория и топологические циклические гомологии гензелевых пар», J. Amer. Математика. Соц. , 34 : 411--473, arXiv : 1803.10897

• Габбер, Офер (1992), « K -теория гензелевых локальных колец и гензелевых пар», алгебраическая K -теория, коммутативная алгебра и алгебраическая геометрия (Санта-Маргерита-Лигуре, 1989) , Contemp. Матем., вып. 126, стр. 59–70, номер документа : 10.1090/conm/126/00509 , MR   1156502.
• Жардин, Дж. Ф. (1993), «К-теория конечных полей, новый взгляд», K-Theory , 7 (6): 579–595, doi : 10.1007/BF00961219 , MR   1268594
• Рёндигс, Оливер; Оствар, Пауль Арне (2008), «Жесткость в мотивной гомотопической теории», Mathematische Annalen , 341 (3): 651–675, doi : 10.1007/s00208-008-0208-5 , MR   2399164

• Суслин, Андрей (1983), «К -теории алгебраически замкнутых полей», Inventiones Mathematicae , 73 (2): 241–245, doi : 10.1007/BF01394024 , MR   0714090

• Табуада, Гонсало (2018), «Некоммутативная жесткость», Mathematical Journal , 289 (3–4): 1281–1298, arXiv : 1703.10599 , doi : 10.1007/s00209-017-1998-5 , MR   3830249

• Вайбель, Чарльз А. (2013), The K -book , Аспирантура по математике, том. 145, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, ISBN  978-0-8218-9132-2 , МР   3076731