K -группы поля

В математике, особенно в алгебраической K -теории , алгебраическую K -группу поля важно вычислить . Для конечного поля полный расчет дал Дэниел Квиллен .

Низкие степени

Отображение, переводящее конечномерное F -векторное пространство в его размерность, индуцирует изоморфизм

$K_{0}(F)\cong \mathbf {Z}$

для любого поля F . Следующий,

$K_{1}(F)=F^{\times },$

мультипликативная группа F ​ . Вторая K-группа поля описывается в терминах образующих и соотношений теоремой Мацумото .

Конечные поля

K-группы конечных полей — один из немногих случаев, когда K-теория известна полностью: для $n\geq 1$,

$K_{n}(\mathbb {F} _{q})=\pi _{n}(BGL(\mathbb {F} _{q})^{+})\simeq {\begin{cases}\mathbb {Z} /{(q^{i}-1)},&{\text{if }}n=2i-1\\0,&{\text{if }}n{\text{ is even}}\end{cases}}$

Для n =2 это видно из теоремы Мацумото, в более высоких степенях она была вычислена Квилленом совместно с его работой над гипотезой Адамса . Другое доказательство было дано Жардином (1993) .

Локальные и глобальные поля

Вайбель (2005) рассматривает вычисления K-теории глобальных полей (таких как числовые поля и функциональные поля ), а также локальных полей (таких как p-адические числа ).

Алгебраически замкнутые поля

Суслин (1983) показал, что кручение в K-теории нечувствительно к расширениям алгебраически замкнутых полей. Это утверждение известно как жесткость Суслина .

См. также

• группа классов делителей

Ссылки

• Жардин, Дж. Ф. (1993), «К-теория конечных полей, новый взгляд», K-Theory , 7 (6): 579–595, doi : 10.1007/BF00961219 , MR   1268594
• Суслин, Андрей (1983), «К -теории алгебраически замкнутых полей», Inventiones Mathematicae , 73 (2): 241–245, doi : 10.1007/BF01394024 , MR   0714090

• Вайбель, Чарльз (2005), «Алгебраическая K-теория колец целых чисел в локальных и глобальных полях», Фридлендер, Эрик М.; Грейсон, Дэниел Р. (ред.), Справочник по K-теории , Springer, стр. 139–190, doi : 10.1007/978-3-540-27855-9_5 , ISBN  978-3-540-27855-9

• Вейбель, Чарльз А. (2013), The K -book , Аспирантура по математике, том. 145, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, ISBN  978-0-8218-9132-2 , МР   3076731