Расширение алгебры

В абстрактной алгебре является расширение алгебры теоретико-кольцевым эквивалентом расширения группы .

А именно, кольцевое расширение кольца R это I абелевой группой — пара ( E , $\phi$ ), состоящее из кольца E и кольцевого гомоморфизма $\phi$ которая укладывается в короткую точную последовательность абелевых групп:

0\to I\to E{\overset {\phi }{{}\to {}}}R\to 0.

^{[ 1 ]}

делает I изоморфным двустороннему E. Это идеалу

Для коммутативного кольца А или А -расширение расширение А - алгебры определяется таким же образом путем замены «кольца» на « алгебру над А » и «абелевых групп» на « А - модули ».

Расширение называется тривиальным или расщепляемым, если $\phi$ расколы; то есть, $\phi$ допускает сечение , являющееся кольцевым гомоморфизмом ^{[ 2 ]} (см. § Пример: тривиальное расширение ).

Морфизм A между расширениями R с помощью I , скажем, над , гомоморфизмом алгебры E → E ' , который индуцирует тождества на I и R. является По лемме о пяти такой морфизм обязательно является изоморфизмом , и поэтому два расширения эквивалентны, если между ними существует морфизм.

Тривиальный пример расширения

Пусть R — коммутативное кольцо и M — -модуль R . Пусть E = R ⊕ M — прямая сумма абелевых групп. Определим умножение на E на

(a,x)\cdot (b,y)=(ab,ay+bx).

Обратите внимание, что отождествление ( a , x ) с a + εx , где ε равно нулю, и расширение ( a + εx )( b + εy ) дает приведенную выше формулу; в частности, мы видим, что E — кольцо. Иногда ее называют алгеброй двойственных чисел . Альтернативно, E можно определить как $\operatorname {Sym} (M)/\bigoplus _{n\geq 2}\operatorname {Sym} ^{n}(M)$ где $\operatorname {Sym} (M)$ является алгеброй M . симметрической ^{[ 3 ]} Тогда мы имеем короткую точную последовательность

0\to M\to E{\overset {p}{{}\to {}}}R\to 0

где p — проекция. Следовательно, E является расширением R с помощью M . Это тривиально, поскольку $r\mapsto (r,0)$ является сечением (обратите внимание, что это сечение является кольцевым гомоморфизмом, поскольку $(1,0)$ есть мультипликативное тождество E ). Обратно, каждое тривиальное расширение E поля R с помощью I изоморфно $R\oplus I$ если $I^{2}=0$ . Действительно, выявление $R$ как подкольцо E с использованием сечения, мы имеем $(E,\phi )\simeq (R\oplus I,p)$ с помощью $e\mapsto (\phi (e),e-\phi (e))$ . ^{[ 1 ]}

Интересной особенностью этой конструкции является то, что модуль M становится идеалом некоторого нового кольца. В своей книге «Локальные кольца » Нагата называет этот процесс принципом идеализации . ^{[ 4 ]}

Расширение квадратного нуля

Особенно в теории деформации принято рассматривать расширение R кольца (коммутативного или нет) с помощью идеала, квадрат которого равен нулю. Такое расширение называется расширением квадратного нуля , квадратным расширением или просто расширением. с квадратным нулем Для идеала I , поскольку I содержится в левом и правом аннигиляторах самого себя, I является $R/I$ -бимодуль.

В более общем смысле расширение нильпотентным идеалом называется нильпотентным расширением . Например, частное $R\to R_{\mathrm {red} }$ нётерово коммутативного кольца нильрадикалом является нильпотентным расширением.

В общем,

0\to I^{n}/I^{n-1}\to R/I^{n-1}\to R/I^{n}\to 0

является расширением с квадратным нулем. Таким образом, нильпотентное расширение распадается на последовательные расширения с квадратными нулями. По этой причине обычно достаточно изучить расширения с квадратными нулями, чтобы понять нильпотентные расширения.

См. также

Формально гладкая карта
— Основная теорема Веддерберна утверждение о расширении радикалом Джекобсона.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Сернеси 2007 , 1.1.1.
^ Типичные ссылки требуют, чтобы разделы были гомоморфизмами, без уточнения, сохраняется ли 1. Но поскольку нам нужно иметь возможность идентифицировать R как подкольцо E (см. тривиальный пример расширения), кажется, что 1 необходимо сохранить.
^ Андерсон, Д.Д.; Уиндерс, М. (март 2009 г.). «Идеализация модуля» . Журнал коммутативной алгебры . 1 (1): 3–56. дои : 10.1216/JCA-2009-1-1-3 . ISSN 1939-2346 . S2CID 120720674 .
^ Нагата, Масаеши (1962), Локальные кольца , Межнаучные трактаты по чистой и прикладной математике, том. 13, Нью-Йорк-Лондон: Interscience Publishers, подразделение John Wiley & Sons, ISBN. 0-88275-228-6 , МР 0155856

Сернеси, Эдоардо (20 апреля 2007 г.). Деформации алгебраических схем . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-30615-3 .

Дальнейшее чтение

[Sernesi-1] Jump up to: ^а ^б Сернеси 2007 , 1.1.1.

[2] Типичные ссылки требуют, чтобы разделы были гомоморфизмами, без уточнения, сохраняется ли 1. Но поскольку нам нужно иметь возможность идентифицировать R как подкольцо E (см. тривиальный пример расширения), кажется, что 1 необходимо сохранить.

[3] Андерсон, Д.Д.; Уиндерс, М. (март 2009 г.). «Идеализация модуля» . Журнал коммутативной алгебры . 1 (1): 3–56. дои : 10.1216/JCA-2009-1-1-3 . ISSN 1939-2346 . S2CID 120720674 .

[4] Нагата, Масаеши (1962), Локальные кольца , Межнаучные трактаты по чистой и прикладной математике, том. 13, Нью-Йорк-Лондон: Interscience Publishers, подразделение John Wiley & Sons, ISBN. 0-88275-228-6 , МР 0155856

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]