Локальный критерий плоскостности

В алгебре локальный критерий плоскости дает условия, которые можно проверить, чтобы показать плоскость модуля .

Заявление

Для коммутативного кольца A , идеала I и A -модуля M предположим, что либо

• A — нётерово кольцо , а M идеально отделено для I : для каждого идеала ${\mathfrak {a}}$, $\bigcap _{n\geq 1}I^{n}({\mathfrak {a}}\otimes M)=0$ (например, это тот случай, когда A — нетерово локальное кольцо , I — его максимальный идеал и M конечно порождено),

или

• Я ​ нильпотент .

Тогда следующие условия эквивалентны:

1. М — плоский модуль .
2. $M/I$ плоский $A/I$ и $\operatorname {Tor} _{1}^{A}(A/I,M)=0$.
3. Для каждого $n\geq 0$, $M_{n}=M/I^{n+1}M$ плоский $A_{n}=A/I^{n+1}$.
4. В обозначениях 3., $M_{0}$ является $A_{0}$-плоский и естественный $\operatorname {gr} _{I}A$-модуль сюръекции

   $\operatorname {gr} _{I}A\otimes _{A_{0}}M_{0}\to \operatorname {gr} _{I}M$

   является изоморфизмом; то есть каждый $I^{n}/I^{n+1}\otimes _{A_{0}}M_{0}\to I^{n}M/I^{n+1}M$ является изоморфизмом.

Предположение о том, что « A — нётерово кольцо», используется для применения леммы Артина – Риса и может быть ослаблено; видеть

Доказательство

Следуя SGA 1, Exposé IV, мы сначала доказываем несколько лемм, которые интересны сами по себе. ( см. также в блоге Доказательство особого случая Ахила Мэтью.)

1. Лемма Учитывая гомоморфизм колец $A\to B$ и $A$-модуль $M$, следующие эквивалентны.

1. Для каждого $B$-модуль $X$, $\operatorname {Tor} _{1}^{A}(X,M)=0.$
2. $M\otimes _{A}B$ является $B$-плоский и $\operatorname {Tor} _{1}^{A}(B,M)=0.$

Более того, если $B=A/I$, два приведенных выше эквивалента эквивалентны

3. $\operatorname {Tor} _{1}^{A}(X,M)=0$ для каждого $A$-модуль $X$ убит какой-то силой $I$.

Доказательство : Эквивалентность первых двух можно увидеть, изучая спектральную последовательность Tor . Вот прямое доказательство: если 1. верно и $N\hookrightarrow N'$ представляет собой инъекцию $B$-модулей с коядром C , то как A -модулей

$\operatorname {Tor} _{1}^{A}(C,M)=0\to N\otimes _{A}M\to N'\otimes _{A}M$.

С $N\otimes _{A}M\simeq N\otimes _{B}(B\otimes _{A}N)$ и то же самое для $N'$, это доказывает 2. Обратно, учитывая $0\to R\to F\to X\to 0$ где F является B -свободным, мы получаем:

$\operatorname {Tor} _{1}^{A}(F,M)=0\to \operatorname {Tor} _{1}^{A}(X,M)\to R\otimes _{A}M\to F\otimes _{A}M$.

Здесь последняя карта инъективна по причине плоскостности, и это дает нам 1. Чтобы увидеть часть «Более того», если 1. действительно, то $\operatorname {Tor} _{1}^{A}(I^{n}X/I^{n+1}X,M)=0$ и так

$\operatorname {Tor} _{1}^{A}(I^{n+1}X,M)\to \operatorname {Tor} _{1}^{A}(I^{n}X,M)\to 0.$

По нисходящей индукции отсюда следует 3. Обратное утверждение тривиально. $\square$

Лемма 2 — Пусть $A$ быть кольцом и $M$ модуль над ним. Если $\operatorname {Tor} _{1}^{A}(A/I^{n},M)=0$ для каждого $n>0$, то естественная сюръекция, сохраняющая сортность

$\operatorname {gr} _{I}(A)\otimes _{A_{0}}M_{0}\to \operatorname {gr} _{I}M$

является изоморфизмом. Более того, когда я нильпотент,

$M$ является плоским тогда и только тогда, когда $M_{0}$ плоский $A_{0}$ и $\operatorname {gr} _{I}A\otimes _{A_{0}}M_{0}\to \operatorname {gr} _{I}M$ является изоморфизмом.

Доказательство . Из предположения следует, что $I^{n}\otimes M=I^{n}M$ и поэтому, поскольку тензорное произведение коммутирует с расширением базы,

$\operatorname {gr} _{I}(A)\otimes _{A_{0}}M_{0}=\oplus _{0}^{\infty }(I^{n})_{0}\otimes _{A_{0}}M_{0}=\oplus _{0}^{\infty }(I^{n}\otimes _{A}M)_{0}=\oplus _{0}^{\infty }(I^{n}M)_{0}=\operatorname {gr} _{I}M$.

Для второй части пусть $\alpha _{i}$ обозначим точную последовательность $0\to \operatorname {Tor} _{1}^{A}(A/I^{i},M)\to I^{i}\otimes M\to I^{i}M\to 0$ и $\gamma _{i}:0\to 0\to I^{i}/I^{i+1}\otimes M{\overset {\simeq }{\to }}I^{i}M/I^{i+1}M\to 0$. Рассмотрим точную последовательность комплексов:

$\alpha _{i+1}\to \alpha _{i}\to \gamma _{i}.$

Затем $\operatorname {Tor} _{1}^{A}(A/I^{i},M)=0,i>0$ (это так для больших $i$ а затем использовать нисходящую индукцию). 3. леммы 1 тогда следует, что $M$ плоский. $\square$

Доказательство основного утверждения .

$2.\Rightarrow 1.$: Если $I$ нильпотентен, то по лемме 1 $\operatorname {Tor} _{1}^{A}(-,M)=0$ и $M$ плоский $A$. Итак, предположим, что первое предположение справедливо. Позволять ${\mathfrak {a}}\subset A$ быть идеалом, и мы покажем ${\mathfrak {a}}\otimes M\to M$ является инъективным. Для целого числа $k>0$, рассмотрим точную последовательность

$0\to {\mathfrak {a}}/(I^{k}\cap {\mathfrak {a}})\to A/I^{k}\to A/({\mathfrak {a}}+I^{k})\to 0.$

С $\operatorname {Tor} _{1}^{A}(A/({\mathfrak {a}}+I^{k}),M)=0$ по лемме 1 (примечание $I^{k}$ убивает $A/({\mathfrak {a}}+I^{k})$), тензорируя приведенное выше с помощью $M$, мы получаем:

$0\to {\mathfrak {a}}/(I^{k}\cap {\mathfrak {a}})\otimes M\to A/I^{k}\otimes M=M/I^{k}M$.

Тензорирование $M$ с $0\to I^{k}\cap {\mathfrak {a}}\to {\mathfrak {a}}\to {\mathfrak {a}}/(I^{k}\cap {\mathfrak {a}})\to 0$, у нас также есть:

$(I^{k}\cap {\mathfrak {a}})\otimes M{\overset {f}{\to }}{\mathfrak {a}}\otimes M{\overset {g}{\to }}{\mathfrak {a}}/(I^{k}\cap {\mathfrak {a}})\otimes M\to 0.$

Мы объединим их, чтобы получить точную последовательность:

$(I^{k}\cap {\mathfrak {a}})\otimes M{\overset {f}{\to }}{\mathfrak {a}}\otimes M{\overset {g'}{\to }}M/I^{k}M.$

Теперь, если $x$ находится в ядре ${\mathfrak {a}}\otimes M\to M$, тогда, тем более, $x$ находится в $\operatorname {ker} (g')=\operatorname {im} (f)=(I^{k}\cap {\mathfrak {a}})\otimes M$. По лемме Артина–Риса , учитывая $n>0$, мы можем найти $k>0$ такой, что $I^{k}\cap {\mathfrak {a}}\subset I^{n}{\mathfrak {a}}$. С $\cap _{n\geq 1}I^{n}({\mathfrak {a}}\otimes M)=0$, мы заключаем $x=0$.

$1.\Rightarrow 4.$ следует из леммы 2.

$4.\Rightarrow 3.$: С $(A_{n})_{0}=A_{0}$, условие 4. остается в силе при $M,A$ заменен на $M_{n},A_{n}$. Тогда лемма 2 говорит, что $M_{n}$ плоский $A_{n}$.

$3.\Rightarrow 2.$ Тензорирование $0\to I\to A\to A/I\to 0$ с М мы видим $\operatorname {Tor} _{1}^{A}(A/I,M)$ является ядром $I\otimes M\to M$. Таким образом, импликация устанавливается аргументом, аналогичным аргументу $2.\Rightarrow 1.$$\square$

Приложение: характеристика этального морфизма.

Локальный критерий можно использовать для доказательства следующего:

Предложение — Учитывая морфизм $f:X\to Y$ конечного типа между нётеровыми схемами, $f$ является этальным ( плоским и неразветвленным ) тогда и только тогда, когда для каждого x в X f является аналитически локальным изоморфизмом вблизи x ; то есть с $y=f(x)$, ${\widehat {f_{x}^{*}}}:{\widehat {{\mathcal {O}}_{y,Y}}}\to {\widehat {{\mathcal {O}}_{x,X}}}$ является изоморфизмом.

Доказательство : Предположим, что ${\widehat {{\mathcal {O}}_{y,Y}}}\to {\widehat {{\mathcal {O}}_{x,X}}}$ является изоморфизмом, и мы показываем, что f этальный. Во-первых, поскольку ${\mathcal {O}}_{x}\to {\widehat {{\mathcal {O}}_{x}}}$ является строго плоским (в частности, является чистым подкольцом), имеем:

${\mathfrak {m}}_{y}{\mathcal {O}}_{x}={\mathfrak {m}}_{y}{\widehat {{\mathcal {O}}_{x}}}\cap {\mathcal {O}}_{x}={\widehat {{\mathfrak {m}}_{y}}}{\widehat {{\mathcal {O}}_{x}}}\cap {\mathcal {O}}_{x}={\widehat {{\mathfrak {m}}_{x}}}\cap {\mathcal {O}}_{x}={\mathfrak {m}}_{x}$.

Следовательно, $f$ неразветвлен (разделимость тривиальна). Теперь, это ${\mathcal {O}}_{y}\to {\mathcal {O}}_{x}$ является плоским, следует из (1) предположения, что индуцированное отображение по завершении является плоским, и (2) того факта, что плоскостность снижается при абсолютно плоской замене базы (нетрудно понять смысл (2)).

Далее покажем обратное: по локальному критерию для каждого n естественное отображение ${\mathfrak {m}}_{y}^{n}/{\mathfrak {m}}_{y}^{n+1}\to {\mathfrak {m}}_{x}^{n}/{\mathfrak {m}}_{x}^{n+1}$ является изоморфизмом. По индукции и лемме пяти отсюда следует ${\mathcal {O}}_{y}/{\mathfrak {m}}_{y}^{n}\to {\mathcal {O}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{n}$ является изоморфизмом для каждого n . Переходя к пределу, получаем заявленный изоморфизм. $\square$

Красная книга Мамфорда дает внешнее доказательство указанного выше факта (гл. III, § 5, теорема 3).

Чудо-теорема о плоскостности

Б. Конрад называет следующую теорему чудодейственной теоремой о плоскостности .

Теорема — Пусть $R\to S$ — локальный кольцевой гомоморфизм между локальными нётеровыми кольцами. Если S плоская над R , то

$\dim S=\dim R+\dim S/{\mathfrak {m}}_{R}S$.

И наоборот, если это равенство размерностей выполняется, если R регулярно и если S является Коэном-Маколеем (например, регулярным ), то S плоско над R .

Ссылки

• Мацумура, Хидеюки (1989), Коммутативная теория колец , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 8 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-36764-6 , МР   1011461
• Разоблачение IV Гротендик, Александр ; Рейно, Мишель (2003) [1971], Плоские накрытия и фундаментальная группа (SGA 1) , Documents Mathématiques (Париж) [Математические документы (Париж)], vol. 3, Париж: Société Mathématique de France , arXiv : math/0206203 , Bibcode : 2002math......6203G , ISBN  978-2-85629-141-2 , МР   2017446
• Фудзивара, К.; Габбер, О.; Като, Ф. (2011). «О хаусдорфовых пополнениях коммутативных колец в жесткой геометрии». Журнал алгебры (322): 293–321.

Внешние ссылки

• сообщение в блоге Ахила Мэтью