Детерминантный сорт

В алгебраической геометрии детерминантные многообразия — это пространства матриц с заданной верхней границей ранга . Их значение проистекает из того факта, что многие примеры в алгебраической геометрии имеют такую ​​форму, например, вложение Сегре произведения двух проективных пространств .

Определение

Учитывая m и n и r < min( m , n ), детерминантное многообразие Y   _r представляет собой набор всех матриц размера m × n (над полем k ) с рангом ≤ r . Это, естественно, алгебраическое многообразие , поскольку условие того, что матрица имеет ранг ≤ r , задается исчезновением всех ее ( r + 1) × ( r + 1) миноров . Учитывая общую матрицу m × n, элементы которой являются алгебраически независимыми переменными x   _{i , j} , эти миноры являются полиномами степени r + 1. Идеал k [ x   _{i , j} ], порожденный этими полиномами, является детерминантным идеалом . Поскольку уравнения, определяющие миноры, однородны, можно рассматривать Y   _r либо как аффинное многообразие в mn -мерном аффинном пространстве , либо как проективное многообразие в ( mn − 1)-мерном проективном пространстве .

Характеристики

Радикальный идеал, определяющий детерминантное многообразие, порождается минорами ( r + 1) × ( r + 1) матрицы (Брунс-Феттер, теорема 2.10).

Предполагая, что мы рассматриваем Y   _r как аффинное многообразие , его размерность равна r ( m + n − r ). Один из способов увидеть это заключается в следующем: сформировать пространство продукта. $\mathbf {A} ^{mn}\times \mathbf {Gr} (r,m)$ над $\mathbf {A} ^{mn}$ где $\mathbf {Gr} (r,m)$ является грассманианом -плоскостей r в m -мерном векторном пространстве, и рассмотрим подпространство $Z_{r}=\{(A,W)\mid A(k^{n})\subseteq W\}$, что десингуляризацией является $Y_{r}$ (над открытым множеством матриц ранга ровно r это отображение является изоморфизмом) и $Z_{r}$ расслоение векторное над $\mathbf {Gr} (r,m)$ который изоморфен $\mathrm {Hom} (k^{n},{\mathcal {R}})$ где ${\mathcal {R}}$ есть тавтологическое расслоение над грассманианом. Так $\dim Y_{r}=\dim Z_{r}$ поскольку они бирационально эквивалентны и $\dim Z_{r}=\dim \mathbf {Gr} (r,m)+nr=r(m-r)+nr$ поскольку волокно $\mathrm {Hom} (k^{n},{\mathcal {R}})$ имеет размерность nr .

Вышеизложенное показывает, что матрицы ранга < r содержат сингулярное множество $Y_{r}$, и фактически имеется равенство. Этот факт можно проверить, используя тот факт, что радикальный идеал задается минорами вместе с критерием Якобиана несингулярности.

Многообразие Y   _r, естественно, обладает действием $G=\mathbf {GL} (m)\times \mathbf {GL} (n)$, произведение общих линейных групп . Проблема сизигий определения $Y_{r}$, когда характеристика поля , используя была решена Аленом Ласку естественное действие G. равна нулю ,

Связанные темы

Можно «глобализировать» понятие детерминантных многообразий, рассматривая пространство линейных отображений между двумя векторными расслоениями на алгебраическом многообразии. Тогда детерминантные разновидности попадают в общее изучение локусов вырождения . Выражение для класса когомологий этих локусов вырождения дается формулой Тома-Портеуса , см. (Фултон-Прагач).

Ссылки

• Брунс, Винфрид; Веттер, Удо (1988). Детерминантные кольца . Конспект лекций по математике. Том. 1327. Шпрингер-Верлаг. дои : 10.1007/BFb0080378 . ISBN  978-3-540-39274-3 .
• Фултон, Уильям; Прагач, Петр (1998). Многообразия Шуберта и локусы вырождения . Конспект лекций по математике. Том. 1689. Шпрингер-Верлаг. дои : 10.1007/BFb0096380 . ISBN  978-3-540-69804-3 .
• Ласку, Ален (1978). «Сизигии детерминантных сортов» . Достижения в математике . 30 (3): 202–237. дои : 10.1016/0001-8708(78)90037-3 .
• Миллер, Эзра; Штурмфельс, Бернд (2005). Комбинаторная коммутативная алгебра . Тексты для аспирантов по математике. Том 227. Спрингер. ISBN  978-0-387-23707-7 .
• Вейман, Ежи (2003). Когомологии векторных расслоений и сизигий . Кембриджские трактаты по математике. Том. 149. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-62197-7 .