Номер перекрестка

В математике , и особенно в алгебраической геометрии , число пересечений обобщает интуитивное понятие подсчета количества раз, когда две кривые пересекаются до более высоких измерений, нескольких (более двух) кривых и правильного учета касания . Чтобы сформулировать такие результаты, как теорема Безу, необходимо определение числа пересечений .

В некоторых случаях номер пересечения очевиден, например, при пересечении осей x и y в плоскости, которое должно быть единицей. Сложность возникает при расчете пересечений в точках касания, а также пересечений, которые не являются просто точками, а имеют более высокую размерность. Например, если плоскость касается поверхности вдоль линии, число пересечений вдоль линии должно быть не менее двух. Эти вопросы систематически обсуждаются в теории пересечений .

Определение римановых поверхностей

Пусть X — риманова поверхность . Тогда число пересечений двух замкнутых кривых на X имеет простое определение в терминах интеграла. Для каждой замкнутой кривой c на X (т. е. гладкой функции $c:S^{1}\to X$ ), мы можем связать дифференциальную форму $\eta _{c}$ компактного носителя, двойственного Пуанкаре к c , со свойством, что интегралы вдоль c могут быть вычислены с помощью интегралов по X :

\int _{c}\alpha =-\iint _{X}\alpha \wedge \eta _{c}=(\alpha ,*\eta _{c})

, для любого замкнутого (1-)дифференциала

\alpha

на Х ,

где $\wedge$ является клиновым произведением дифференциалов, а $*$ это звезда Ходжа . Тогда число пересечений двух замкнутых кривых a и b на X определяется как

a\cdot b:=\iint _{X}\eta _{a}\wedge \eta _{b}=(\eta _{a},-*\eta _{b})=-\int _{b}\eta _{a}

.

The $\eta _{c}$ имеют интуитивное определение следующим образом. Они представляют собой своего рода дельту Дирака вдоль кривой c , получаемую путем взятия дифференциала единичной ступенчатой функции , которая падает от 1 до 0 поперек c . Более формально, мы начинаем с определения для простой замкнутой кривой c на X функции f _c, полагая $\Omega$ быть небольшой полоской вокруг c в форме кольца. Назовите левую и правую части $\Omega \setminus c$ как $\Omega ^{+}$ и $\Omega ^{-}$ . Затем возьмите меньшую полосу вокруг c , $\Omega _{0}$ , с левой и правой частями $\Omega _{0}^{-}$ и $\Omega _{0}^{+}$ . Затем определите f _c как

f_{c}(x)={\begin{cases}1,&x\in \Omega _{0}^{-}\\0,&x\in X\setminus \Omega ^{-}\\{\mbox{smooth interpolation}},&x\in \Omega ^{-}\setminus \Omega _{0}^{-}\end{cases}}

.

Затем определение расширяется до произвольных замкнутых кривых. Каждая c на X гомологична замкнутая кривая $\sum _{i=1}^{N}k_{i}c_{i}$ для некоторых простых замкнутых кривых c _i , то есть

\int _{c}\omega =\int _{\sum _{i}k_{i}c_{i}}\omega =\sum _{i=1}^{N}k_{i}\int _{c_{i}}\omega

, для каждого дифференциала

\omega

.

Определите $\eta _{c}$ к

\eta _{c}=\sum _{i=1}^{N}k_{i}\eta _{c_{i}}

.

Определение алгебраических многообразий

Обычное конструктивное определение в случае алгебраических многообразий происходит поэтапно. Приведенное ниже определение относится к числу пересечений дивизоров неособого многообразия X .

1. Единственное число пересечений, которое можно вычислить непосредственно из определения, — это пересечение гиперповерхностей (подмногообразий X коразмерности один), находящихся в общем положении в точке x . В частности, предположим, что у нас есть неособое многообразие X и n гиперповерхностей Z ₁ , ..., Z _n, которые имеют локальные уравнения f ₁ , ..., f _n вблизи x для полиномов f _i ( t ₁ , ..., t _n ), такие, что выполняются следующие условия:

$n=\dim _{k}X$ .
$f_{i}(x)=0$ для всех я . (т. е. x находится на пересечении гиперповерхностей.)
$\dim _{x}\cap _{i=1}^{n}Z_{i}=0$ (т. е. делители находятся в общем положении.)
The $f_{i}$ неособы в точке x .

Тогда номер пересечения в точке x (называемый кратностью пересечения в точке x ) равен

(Z_{1}\cdots Z_{n})_{x}:=\dim _{k}{\mathcal {O}}_{X,x}/(f_{1},\dots ,f_{n})

,

где ${\mathcal {O}}_{X,x}$ является локальным кольцом X в точке x , а размерность равна размерности k -векторного пространства. Его можно рассчитать как локализацию $k[U]_{{\mathfrak {m}}_{x}}$ , где ${\mathfrak {m}}_{x}$ — максимальный идеал полиномов, обращающихся в нуль в точке x , а U — открытое аффинное множество, содержащее x и не содержащее ни одной из особенностей f _i .

2. Число пересечений гиперповерхностей общего положения тогда определяется как сумма чисел пересечений в каждой точке пересечения.

(Z_{1}\cdots Z_{n})=\sum _{x\in \cap _{i}Z_{i}}(Z_{1}\cdots Z_{n})_{x}

3. Распространить определение на эффективные дивизоры по линейности, т. е.

(nZ_{1}\cdots Z_{n})=n(Z_{1}\cdots Z_{n})

и

((Y_{1}+Z_{1})Z_{2}\cdots Z_{n})=(Y_{1}Z_{2}\cdots Z_{n})+(Z_{1}Z_{2}\cdots Z_{n})

.

4. Распространите определение на произвольные делители общего положения, заметив, что каждый делитель имеет уникальное выражение как = P – N для некоторых эффективных делителей P и N. D , пусть D _i = P _i – Ni _Итак и используйте правила вида

((P_{1}-N_{1})P_{2}\cdots P_{n})=(P_{1}P_{2}\cdots P_{n})-(N_{1}P_{2}\cdots P_{n})

преобразить перекрёсток.

5. Число пересечений произвольных делителей затем определяется с помощью « леммы Чоу о перемещении », которая гарантирует, что мы можем найти линейно эквивалентные делители, находящиеся в общем положении, которые мы затем можем пересечь.

Обратите внимание, что определение числа пересечений не зависит от порядка появления делителей при вычислении этого числа.

Формула Тора Серра

Пусть V и W — два подмногообразия неособого проективного многообразия X такие, что dim( V ) + dim( W ) = dim( X ). Тогда мы ожидаем, что пересечение V ∩ W будет конечным набором точек. Если мы попытаемся их посчитать, могут возникнуть два рода проблем. Во-первых, даже если ожидаемая размерность V ∩ W равна нулю, фактическое пересечение может иметь большую размерность: например, число самопересечения проективной прямой в проективной плоскости . Вторая потенциальная проблема заключается в том, что даже если пересечение нульмерное, оно может быть нетрансверсальным, например, если V — плоская кривая, а W — одна из ее касательных линий .

Первая проблема требует использования аппарата теории пересечений , подробно рассмотренного выше, который заменяет V и W более удобными подмногообразиями с использованием леммы о перемещении . С другой стороны, вторую задачу можно решить напрямую, не V или W. перемещая В 1965 году Жан-Пьер Серр описал, как найти кратность каждой точки пересечения методами коммутативной алгебры и гомологической алгебры . ^[1] Эта связь между геометрическим понятием пересечения и гомологическим понятием производного тензорного произведения оказала влияние и привела, в частности, к нескольким гомологическим гипотезам в коммутативной алгебре .

Формула Тора Серра гласит: пусть X — регулярное многообразие, V и W — два подмногообразия дополнительной размерности, такие что V ∩ W нульмерно. Для любой точки x ∈ V ∩ W пусть A — локальное кольцо ${\mathcal {O}}_{X,x}$ из х . Структурные пучки V , и W точке x соответствуют I A. J ⊆ в идеалам Тогда кратность V ∩ W в точке x равна

e(X;V,W;x)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\mathrm {length} _{A}(\operatorname {Tor} _{i}^{A}(A/I,A/J))

где length — длина модуля над локальным кольцом, а Tor — функтор Tor . Когда V и W можно переместить в поперечное положение, эта гомологическая формула дает ожидаемый ответ. Так, например, если V и W пересекаются поперечно в точке x , кратность равна 1. Если V является касательной в точке x к параболе W на плоскости в точке x , то кратность в точке x равна 2.

Если и V , и W локально вырезаны регулярными последовательностями , например, если они неособые , то в приведенной выше формуле все высшие Tor обращаются в нуль, следовательно, кратность положительна. Положительность в произвольном случае — это одна из гипотез Серра о множественности .

Дальнейшие определения

Определение можно широко обобщить, например, на пересечения по подмногообразиям, а не только в точках, или на произвольные полные многообразия.

В алгебраической топологии число пересечений выглядит как двойственное по Пуанкаре произведение чашки . В частности, если два многообразия X и Y пересекаются трансверсально в многообразии M , класс гомологий пересечения является двойственным к Пуанкаре чашечному произведению. $D_{M}X\smile D_{M}Y$ двойственных Пуанкаре X и Y .

Определение номера перекрестка Снаппера-Клеймана

Существует подход к числу пересечений, предложенный Снаппером в 1959-60 годах и развитый позже Картье и Клейманом, который определяет число пересечений как эйлерову характеристику.

Пусть X — схема над схемой S , Pic( X ) группа Пикара X — и G — Гротендика категории когерентных пучков на X носитель которой является собственным над артиновой подсхемой S. группа ,

Для каждого L в Pic( X ) определите эндоморфизм ( _c1 L ) группы ( называемый первым классом Чженя L G ) формулой

c_{1}(L)F=F-L^{-1}\otimes F.

Он аддитивен на G, поскольку тензорирование с линейным расслоением точно. Еще у одного есть:

$c_{1}(L_{1})c_{1}(L_{2})=c_{1}(L_{1})+c_{1}(L_{2})-c_{1}(L_{1}\otimes L_{2})$ ; в частности, $c_{1}(L_{1})$ и $c_{1}(L_{2})$ добираться.
$c_{1}(L)c_{1}(L^{-1})=c_{1}(L)+c_{1}(L^{-1}).$
$\dim \operatorname {supp} c_{1}(L)F\leq \dim \operatorname {supp} F-1$ (это нетривиально и следует из аргумента Девиссажа .)

Номер перекрестка

L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}

линейных расслоений L _i тогда определяется следующим образом:

L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}\cdot F=\chi (c_{1}(L_{1})\cdots c_{1}(L_{r})F)

где х обозначает эйлерову характеристику . Альтернативно, по индукции имеем:

L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}\cdot F=\sum _{0}^{r}(-1)^{i}\chi (\wedge ^{i}(\oplus _{0}^{r}L_{j}^{-1})\otimes F).

Каждый раз, когда F фиксируется, $L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}\cdot F$ является симметричным функционалом в L _i 's.

Если L _i = O _X ( D _i ) для некоторых дивизоров Картье D _i , то будем писать $D_{1}\cdot {\dots }\cdot D_{r}$ по номеру перекрестка.

Позволять $f:X\to Y$ быть морфизмом S -схем, $L_{i},1\leq i\leq m$ линейные расслоения на X и F в G с $m\geq \dim \operatorname {supp} F$ . Затем

f^{*}L_{1}\cdots f^{*}L_{m}\cdot F=L_{1}\cdots L_{m}\cdot f_{*}F

. ^[2]

Кратность пересечения плоских кривых

Каждому триплету присваивается уникальная функция. $(P,Q,p)$ состоящая из пары проективных кривых, $P$ и $Q$ , в $K[x,y]$ и точка $p\in K^{2}$ , число $I_{p}(P,Q)$ называется пересечения кратностью $P$ и $Q$ в $p$ который удовлетворяет следующим свойствам:

$I_{p}(P,Q)=I_{p}(Q,P)$
$I_{p}(P,Q)=\infty$ тогда и только тогда, когда $P$ и $Q$ имеют общий делитель, равный нулю в $p$
$I_{p}(P,Q)=0$ тогда и только тогда, когда один из $P(p)$ или $Q(p)$ не равно нулю (т.е. точка $p$ не находится на пересечении двух кривых)
$I_{p}(x,y)=1$ где $p=(0,0)$
$I_{p}(P,Q_{1}Q_{2})=I_{p}(P,Q_{1})+I_{p}(P,Q_{2})$
$I_{p}(P+QR,Q)=I_{p}(P,Q)$ для любого $R\in K[x,y]$

Хотя эти свойства полностью характеризуют кратность пересечений, на практике она реализуется несколькими различными способами.

Одна из реализаций кратности пересечений - через размерность определенного факторпространства степенных рядов . кольца $K[[x,y]]$ . Сделав при необходимости замену переменных, можно считать, что $p=(0,0)$ . Позволять $P(x,y)$ и $Q(x,y)$ — многочлены, определяющие интересующие нас алгебраические кривые. Если исходные уравнения заданы в однородной форме, их можно получить, положив $z=1$ . Позволять $I=(P,Q)$ обозначают идеал $K[[x,y]]$ созданный $P$ и $Q$ . Кратность пересечения – это размерность $K[[x,y]]/I$ как векторное пространство над $K$ .

Другая реализация множественности пересечений исходит из результата двух полиномов. $P$ и $Q$ . В координатах где $p=(0,0)$ , кривые не имеют других пересечений с $y=0$ , степень и $P$ относительно $x$ равна полной степени $P$ , $I_{p}(P,Q)$ можно определить как высшую степень $y$ который делит результат $P$ и $Q$ (с $P$ и $Q$ рассматриваться как полиномы по $K[x]$ ).

Кратность пересечений также может быть реализована как количество различных пересечений, которые существуют, если кривые слегка возмущены. Более конкретно, если $P$ и $Q$ определить кривые, которые пересекаются только один раз при замыкании открытого множества $U$ , то для плотного набора $(\epsilon ,\delta )\in K^{2}$ , $P-\epsilon$ и $Q-\delta$ гладкие и пересекаются трансверсально (т.е. имеют разные касательные) ровно в некотором числе $n$ указывает на $U$ . Мы говорим тогда, что $I_{p}(P,Q)=n$ .

Пример

Рассмотрим пересечение оси x с параболой $y=x^{2}$ в начале.

Письмо $P=y,$ $Q=y-x^{2},\$ и $p=(0,0)$ мы получаем

I_{p}(P,Q)=I_{p}(y,y-x^{2})=I_{p}(y,x^{2})=I_{p}(y,x)+I_{p}(y,x)=1+1=2.\,

Таким образом, кратность пересечения равна двум; это обычное касание . Аналогично можно вычислить, что кривые $y=x^{m}$ и $y=x^{n}$ с целыми числами $m>n\geq 0$ пересекаются в начале координат с кратностью $n.$

Самопересечения

Некоторые из наиболее интересных для вычисления чисел пересечения — это числа самопересечения . Это означает, что дивизор перемещается к другому эквивалентному дивизору, находящемуся в общем положении относительно первого, и они пересекаются. Таким образом, числа самопересечения могут стать четко определенными и даже отрицательными.

Приложения

Число пересечений частично мотивировано желанием определить пересечение так, чтобы оно удовлетворяло теореме Безу .

Число пересечений возникает при изучении неподвижных точек , которые можно определить как пересечения графиков функций с диагоналями . Вычисление чисел пересечения в фиксированных точках подсчитывает фиксированные точки с кратностью и приводит к теореме Лефшеца о неподвижной точке в количественной форме.

Примечания

^ Серр, Жан-Пьер (1965). Локальная алгебра, кратности . Конспект лекций по математике. Полет. 11. Шпрингер-Верлаг. стр. х+160.
^ Коллар 1996 , Глава VI. Предложение 2.11.

Ссылки

Уильям Фултон (1974). Алгебраические кривые . Серия лекций по математике. В. А. Бенджамин. стр. 74–83. ISBN 0-8053-3082-8 .
Робин Хартшорн (1977). Алгебраическая геометрия . Тексты для аспирантов по математике . Том. 52. ИСБН 0-387-90244-9 . Приложение А.
Уильям Фултон (1998). Теория пересечений (2-е изд.). Спрингер. ISBN 9780387985497 .
Алгебраические кривые: введение в алгебраическую геометрию , Уильям Фултон и Ричард Вайс. Нью-Йорк: Бенджамин, 1969. Переиздание: Редвуд-Сити, Калифорния, США: Аддисон-Уэсли, Advanced Book Classics, 1989. ISBN 0-201-51010-3 . Полный текст онлайн .
Хершел М. Фаркас; Ирвин Кра (1980). Римановы поверхности . Тексты для аспирантов по математике . Том. 71. С. 40–41, 55–56. ISBN 0-387-90465-4 .
Клейман, Стивен Л. (2005), «Схема Пикара: Приложение B.», Фундаментальная алгебраическая геометрия , Матем. Обзоры Моногр., вып. 123, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , arXiv : math/0504020 , Bibcode : 2005math......4020K , MR 2223410
Коллар, Янош (1996), Рациональные кривые алгебраических многообразий , Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03276-3 , ISBN 978-3-642-08219-1 , МР 1440180

[1] Серр, Жан-Пьер (1965). Локальная алгебра, кратности . Конспект лекций по математике. Полет. 11. Шпрингер-Верлаг. стр. х+160.

[2] Коллар 1996 , Глава VI. Предложение 2.11.

[1]

[2]