Схема Горенштейна

В алгебраической геометрии схема Горенштейна — это локально нётерова схема, все локальные кольца которой являются горенштейновыми . ^{[ 1 ]} Каноническое линейное расслоение определено для любой схемы Горенштейна над полем , и его свойства во многом такие же, как и в частном случае гладких схем .

Связанные свойства

Для схемы Горенштейна X конечного типа над полем f : X → Spec( k ) дуализирующий комплекс f ^!( k ) на X представляет собой линейное расслоение (называемое каноническим расслоением K _X ), рассматриваемое как комплекс степени −dim( X ). ^{[ 2 ]} Если X гладкое размерности n над k , каноническое расслоение K _X можно отождествить с линейным расслоением Ω ^н высшей степени дифференциальных форм . ^{[ 3 ]}

При использовании канонического расслоения двойственность Серра принимает для схем Горенштейна ту же форму, что и для гладких схем.

Пусть X — нормальная схема конечного типа над полем k . Тогда X регулярно ; вне замкнутого подмножества коразмерности не ниже 2. Пусть U — открытое подмножество, где X регулярно тогда каноническое расслоение K _U является линейным. Ограничение группы классов дивизоров Cl( X ) на Cl( U ) является изоморфизмом, и (поскольку U гладко) Cl( U ) можно отождествить с группой Пикара Pic( U ). В результате K _U определяет линейной эквивалентности класс дивизоров Вейля на X . Любой такой дивизор называется каноническим дивизором K _X . Для нормальной схемы X канонический дивизор K _X называется Q-Картье, если некоторое положительное кратное дивизора Вейля K _X есть Картье . (Это свойство не зависит от выбора дивизора Вейля в его классе линейной эквивалентности.) Альтернативно, нормальные схемы X с K _X Q -Картье иногда называют Q-Горенштейном .

Полезно также рассмотреть нормальные схемы X, для которых канонический дивизор K _X есть Картье . Такую схему иногда называют Q-Горенштейном индекса 1 . (Некоторые авторы используют для этого свойства слово «Горенштейн», но это может привести к путанице.) Нормальная схема X является Горенштейном (как определено выше) тогда и только тогда, когда K _X является Картье, а X является Коэном – Маколеем . ^{[ 4 ]}

Примеры

Алгебраическое многообразие с локальными особенностями полного пересечения , например любая гиперповерхность в гладком многообразии, является Горенштейном. ^{[ 5 ]}
Многообразие X с факторособенностями над полем нулевой характеристики является многообразием Коэна–Маколея, а K _X является Q -Картье. Фактормногообразие векторного пространства V по линейному действию конечной группы G является горенштейновым, если G отображается в подгруппу SL( V ) линейных преобразований определителя 1. Напротив, если X является фактор-многообразием C ² циклической группой порядка n, действующей скалярами, то K _X не является Картье (и, следовательно, X не является Горенштейном) для n ≥ 3.
Обобщая предыдущий пример, каждое многообразие X с klt (логтерминальными особенностями Каваматы) над полем нулевой характеристики является многообразием Коэна–Маколея, а K _X является Q -Картье. ^{[ 6 ]}
Если многообразие X имеет лог-канонические особенности, то K _X является Q -Картье, но X не обязательно должен быть Коэном – Маколеем. Например, любой аффинный конус X над абелевым многообразием Y является лог-каноническим, а K _X — Картье, но X не является конусом Коэна–Маколея, если Y имеет размерность не менее 2. ^{[ 7 ]}

Примечания

^ Коллар (2013), раздел 2.5; Проект Stacks, тег 0AWV .
^ ( Хартшорн 1966 , Предложение V.9.3.)
^ ( Хартшорн 1966 , раздел III.1.)
^ ( Коллар и Мори 1998 , следствие 5.69.)
^ ( Eisenbud 1995 , следствие 21.19.)
^ ( Коллар и Мори 1998 , теоремы 5.20 и 5.22.)
^ ( Коллар 2013 , пример 3.6.)

Ссылки

Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра с взглядом на алгебраическую геометрию , Тексты для аспирантов по математике , том. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-0-387-94268-1 , МР 1322960
Хартсхорн, Робин (1966), Остатки и двойственность , Конспект лекций по математике, том. 20, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-03603-6 , МР 0222093
Коллар, Янош (2013), Особенности программы минимальной модели , Cambridge University Press , ISBN 978-1-107-03534-8 , МР 3057950
Коллар, Янош ; Мори, Сигефуми (1998), Бирациональная геометрия алгебраических многообразий , издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-63277-3 , МР 1658959

Внешние ссылки

Авторы проекта Stacks, The Stacks Project

[1] Коллар (2013), раздел 2.5; Проект Stacks, тег 0AWV .

[2] ( Хартшорн 1966 , Предложение V.9.3.)

[3] ( Хартшорн 1966 , раздел III.1.)

[4] ( Коллар и Мори 1998 , следствие 5.69.)

[5] ( Eisenbud 1995 , следствие 21.19.)

[6] ( Коллар и Мори 1998 , теоремы 5.20 и 5.22.)

[7] ( Коллар 2013 , пример 3.6.)

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]