Цепное кольцо

В математике R коммутативное кольцо называется цепным , если для любой пары простых идеалов p , q любые две строго возрастающие цепи

р знак равно р ₀ ⊂ р ₁ ⊂ ... ⊂ р _n = q

простых идеалов содержатся в максимальных строго возрастающих цепочках от p до q одинаковой (конечной) длины. В геометрической ситуации, когда размерность алгебраического многообразия, присоединенного к простому идеалу, уменьшается по мере того, как простой идеал становится больше, длина такой цепочки n обычно равна разнице размеров.

Кольцо называется универсально цепным, если все конечно порожденные алгебры над ним являются цепными кольцами.

Слово «цепочка» происходит от латинского слова catena , что означает «цепь».

Имеется следующая цепочка включений.

Универсально цепные кольца ⊃ кольца Коэна–Маколея ⊃ кольца Горенштейна ⊃ кольца полных пересечений ⊃ регулярные локальные кольца

Формула измерения

Предположим, что A — нётерова область, а B — область, содержащая A которая конечно порождена над A. , Если P — простой идеал B и p — его пересечение с A , то

{\text{height}}(P)\leq {\text{height}}(p)+{\text{tr.deg.}}_{A}(B)-{\text{tr.deg.}}_{\kappa (p)}(\kappa (P)).

Формула размерности для универсально цепных колец гласит, что равенство имеет место, если A является универсально цепным. κ( P ) — поле вычетов P Здесь и tr.deg. означает степень трансцендентности (факторполей). Фактически, когда A не является универсальной цепной цепью, но $B=A[x_{1},\dots ,x_{n}]$ , то равенство также имеет место. ^[1]

Примеры

Почти все нётеровы кольца , встречающиеся в алгебраической геометрии, являются универсально цепными.В частности, следующие кольца являются универсально цепными:

Полные нётеровы локальные кольца
Дедекиндовы домены (и поля)
Кольца Коэна-Маколея (и обычные локальные кольца )
Любая локализация универсально цепного кольца
Любая конечно порожденная алгебра над универсально цепным кольцом.

Кольцо, которое является цепным, но не универсально цепным.

Построить примеры нётеровых колец, которые не являются универсально цепными, сложно. Первый пример был найден Масаеси Нагатой ( 1956 , 1962 , стр. 203, пример 2), который обнаружил двумерную нетерову локальную область, которая является цепной, но не универсально цепной.

Пример Нагаты заключается в следующем. Выберите поле k и формальный степенной ряд z =Σ _{i >0} a _i x ^я в кольце S формальных степенных рядов по x над k таких, что z и x алгебраически независимы.

Определим z ₁ = z и z _{i +1} = z _i /x– a _i .

Пусть R — (нетерово) кольцо, порожденное x и всеми элементами z _i .

Пусть m будет идеалом ( x ), и пусть n будет идеалом, порожденным x –1 и всеми элементами z _i . Оба они являются максимальными идеалами R с полями вычетов, изоморфными k . Локальное кольцо Rm _{алгебраически} кольцо размерности 1 (в доказательстве этого используется тот факт, что z и x независимы), а локальное кольцо Rn _{— регулярное локальное} — регулярное нётерово локальное кольцо размерности 2.

Пусть B — локализация R относительно всех элементов, не входящих ни в m , ни в n . Тогда B — двумерное нётерово полулокальное кольцо с двумя максимальными идеалами mB (высоты 1) и nB (высоты 2).

Пусть I радикал Джекобсона группы B , и пусть A = k + I. — Кольцо A является локальной областью размерности 2 с максимальным идеалом I , поэтому оно является цепным, поскольку все двумерные локальные области являются цепными. Кольцо A нётерово, поскольку B нётерово и является конечным A -модулем. Однако A не является универсально цепным, потому что если бы это было так, то идеал mB кольца B имел бы ту же высоту, что и mB ∩ A по формуле размерности для универсально цепных колец, но последний идеал имеет высоту, равную dim( A )=2.

Пример Нагаты также является квазиотличным кольцом , поэтому он дает пример квазиотличного кольца, которое не является превосходным кольцом .

См. также

Формально цепное кольцо (то же самое, что универсально цепное кольцо).

Ссылки

^ Хохстер, Мел (зима 2014 г.), «Лекция от 8 января 2014 г.» (PDF) , Лекции по интегральному замыканию, теореме Бриансона – Шкоды и смежным темам коммутативной алгебры , Мичиганский университет

Х. Мацумура, Коммутативная алгебра , 1980 г. ISBN 0-8053-7026-9 .
Нагата, Масаеши (1956), «О проблеме цепочки простых идеалов» , Nagoya Math. Дж. , 10 : 51–64, doi : 10.1017/S0027763000000076 , MR 0078974 , S2CID 122444738
Нагата, Масаеши (1962), Локальные кольца , Межнаучные трактаты по чистой и прикладной математике, том. 13, Нью-Йорк-Лондон: Interscience Publishers, подразделение John Wiley & Sons ; перепечатано RE Krieger Pub. Ко (1975) ISBN 0-88275-228-6

См. также

[1] Хохстер, Мел (зима 2014 г.), «Лекция от 8 января 2014 г.» (PDF) , Лекции по интегральному замыканию, теореме Бриансона – Шкоды и смежным темам коммутативной алгебры , Мичиганский университет

[1]