Пространство модулей

В математике , в частности в алгебраической геометрии , пространство модулей — это геометрическое пространство (обычно схема или алгебраический стек ), точки которого представляют собой алгебро-геометрические объекты некоторого фиксированного вида или классы изоморфизма таких объектов. Такие пространства часто возникают как решения задач классификации: если можно показать, что набору интересных объектов (например, гладким алгебраическим кривым фиксированного рода ) можно придать структуру геометрического пространства, то можно параметризовать такие объекты, введя координаты на полученном пространстве. В этом контексте термин «модуль» используется как синоним «параметра»; Пространства модулей сначала понимались как пространства параметров, а не как пространства объектов. Вариантом пространств модулей являются формальные модули . Бернхард Риман впервые использовал термин «модули» в 1857 году.

Мотивация

Пространства модулей — это пространства решений задач геометрической классификации. То есть точки пространства модулей соответствуют решениям геометрических задач. Здесь различные решения идентифицируются, если они изоморфны (т. е. геометрически одинаковы). Пространства модулей можно рассматривать как универсальное пространство параметров задачи. Например, рассмотрим задачу нахождения всех окружностей в евклидовой плоскости с точностью до конгруэнтности. Любой круг можно описать однозначно, задав три точки, но множество различных наборов из трех точек дают один и тот же круг: соответствие «многие к одному». Однако круги однозначно параметризуются путем указания их центра и радиуса: это два действительных параметра и один положительный действительный параметр. Поскольку нас интересуют только круги «с точностью до конгруэнтности», мы идентифицируем круги, имеющие разные центры, но одинаковый радиус, и поэтому одного радиуса достаточно для параметризации интересующего множества. Таким образом, пространство модулей — это положительные действительные числа. .

Пространства модулей также часто содержат естественные геометрические и топологические структуры. Например, в примере с кругами пространство модулей — это не просто абстрактный набор, но абсолютное значение разности радиусов определяет метрику для определения того, когда два круга «близки». Геометрическая структура пространств модулей локально говорит нам, когда два решения задачи геометрической классификации «близки», но обычно пространства модулей также имеют сложную глобальную структуру.

Построение П ¹ ( R ), варьируя 0 ≤ θ < π или как фактор-пространство S ¹ .

Например, рассмотрим, как описать набор строк в R. ² которые пересекают начало координат. Мы хотим присвоить каждой линии L этого семейства величину, которая сможет однозначно ее идентифицировать — модуль. Примером такой величины является положительный угол θ( L ) с 0 ≤ θ < π радиан. Набор параметризованных таким образом линий L известен как P ¹ ( R ) и называется вещественной проективной прямой .

Мы также можем описать набор строк в R ² пересекающие начало координат посредством топологической конструкции. А именно: рассмотрим единичный круг S ¹ ⊂ Р ² и заметим, что каждая точка s ∈ S ¹ дает строку L ( s ) в коллекции (которая соединяет начало координат и s ). Однако это отображение имеет отношение два к одному, поэтому мы хотим идентифицировать s ~ − s, чтобы получить P ¹ ( р ) ≅ С ¹ /~ где топологией этого пространства является фактор-топология, индуцированная фактор- отображением S ¹ → П ¹ ( Р ).

Таким образом, если мы рассмотрим P ¹ ( R ) как пространство модулей прямых, которые пересекают начало координат в R ² , мы фиксируем способы, которыми члены (в данном случае линии) семейства могут модулировать, непрерывно изменяя 0 ≤ θ < π.

Основные примеры

Проективное пространство и Грассманианы

Реальное проективное пространство P ^н — пространство модулей, параметризующее пространство прямых в R ^{п +1} которые проходят через начало координат. Аналогично, комплексное проективное пространство — это пространство всех комплексных прямых в C. ^{п +1} проходя через начало координат.

В более общем смысле, грассманиан G ( k , V ) векторного пространства V над полем F является пространством модулей всех k -мерных линейных подпространств V .

Проективное пространство как модули очень обширных линейных расслоений, порожденных глобальными сечениями

Всякий раз, когда происходит встраивание схемы $X$ в универсальное проективное пространство $\mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}$, вложение задается линейным расслоением ${\mathcal {L}}\to X$ и $n+1$ разделы $s_{0},\ldots ,s_{n}\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})$ которые все не исчезают одновременно. Это означает, что с учетом точки

$x:{\text{Spec}}(R)\to X$

есть связанная точка

${\hat {x}}:{\text{Spec}}(R)\to \mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}$

представленные композициями

$[s_{0}:\cdots :s_{n}]\circ x=[s_{0}(x):\cdots :s_{n}(x)]\in \mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}(R)$

Тогда два линейных пучка с сечениями эквивалентны

$({\mathcal {L}},(s_{0},\ldots ,s_{n}))\sim ({\mathcal {L}}',(s_{0}',\ldots ,s_{n}'))$

тогда и только тогда, когда существует изоморфизм $\phi :{\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}'$ такой, что $\phi (s_{i})=s_{i}'$. Это означает, что соответствующий функтор модулей

$\mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}:{\text{Sch}}\to {\text{Sets}}$

отправляет схему $X$ на съемочную площадку

$\mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}(X)=\left\{({\mathcal {L}},s_{0},\ldots ,s_{n}):{\begin{matrix}{\mathcal {L}}\to X{\text{ is a line bundle}}\\s_{0},\ldots ,s_{n}\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})\\{\text{ form a basis of global sections}}\end{matrix}}\right\}/\sim$

Доказать, что это правда, можно, пройдя через ряд тавтологий: любое проективное вложение $i:X\to \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}$ дает глобально сгенерированный пучок $i^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}(1)$ с разделами $i^{*}x_{0},\ldots ,i^{*}x_{n}$. И наоборот, при наличии достаточного линейного расслоения ${\mathcal {L}}\to X$ глобально созданный $n+1$ разделы дают вложение, как указано выше.

Сорт чау

Сорт Чау Чау (d, P ³ ) — проективное алгебраическое многообразие, параметризующее кривые степени d в P ³ . Он построен следующим образом. Пусть C — кривая степени d в P ³ , затем рассмотрим все строки из P ³ пересекающие C. кривую Это степени d дивизор D _C в G (2, 4), грассманиан прямых в P ³ . Когда C изменяется, связывая C с DC _, мы получаем пространство параметров кривых степени d как подмножество пространства делителей степени d грассманиана: Чоу (d, P ³ ).

Схема Гильберта

Схема Гильберта Hilb ( X ) является схемой модулей. Каждая замкнутая точка Hilb ( X ) соответствует замкнутой подсхеме фиксированной схемы X , и каждая замкнутая подсхема представлена ​​такой точкой. Простым примером схемы Гильберта является схема параметризации степени Гильберта. $d$ гиперповерхности проективного пространства $\mathbb {P} ^{n}$. Это задается проективным расслоением

${\mathcal {Hilb}}_{d}(\mathbb {P} ^{n})=\mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(d)))$

с универсальной семьей, заданной

${\mathcal {U}}=\{(V(f),f):f\in \Gamma ({\mathcal {O}}(d))\}$

где $V(f)$ – соответствующая проективная схема степени $d$ однородный полином $f$.

Определения

Существует несколько связанных понятий того, что мы могли бы назвать пространствами модулей. Каждое из этих определений формализует различное представление о том, что означает, что точки пространства M представляют геометрические объекты.

Пространства тонких модулей

Это стандартная концепция. С эвристической точки зрения, если у нас есть пространство M , для которого каждая точка m ∊ M соответствует алгебро-геометрическому объекту U _m , то мы можем собрать эти объекты в тавтологическое семейство U над M . (Например, грассманиан G ( k , V ) содержит расслоение ранга k , слой которого в любой точке [ L ] ∊ G ( k , V ) является просто линейным подпространством L ⊂ V. ) M называется пространством базовым семья У. ​Мы говорим, что такое семейство является универсальным , если любое семейство алгебро-геометрических объектов T над любым базисным пространством B является обратным образом U вдоль единственного отображения B → M . Тонкое пространство модулей — это пространство M , являющееся базой универсального семейства.

Точнее, предположим, что у нас есть функтор F множествам, который сопоставляет схеме B множество всех подходящих семейств объектов с базой B. от схем к Пространство M является тонким пространством модулей для функтора F, если M представляет F , т. е. существует естественный изоморфизмτ : F → Hom (−, M ), где Hom (−, M ) — функтор точек. Это подразумевает, что M несет в себе универсальное семейство; это семейство является семейством на M, соответствующим тождественному отображению 1 _M ∊ Hom ( M , M ).

Грубые пространства модулей

Мелкие пространства модулей желательны, но они не всегда существуют, и их часто трудно построить, поэтому математики иногда используют более слабое понятие - идею грубого пространства модулей. Пространство M называется грубым пространством модулей для функтора F, если существует естественное преобразование τ : F → Hom (−, M ) и τ универсально среди таких естественных преобразований. Более конкретно, M является грубым пространством модулей для F, если любое семейство T над базой B порождает отображение φ _T : B → M и любые два объекта V и W (рассматриваемые как семейства над точкой) соответствуют одной и той же точке. M V тогда и только тогда, когда и W изоморфны . Таким образом, М — это пространство, в котором есть точка для каждого объекта, который может появиться в семействе, и геометрия которого отражает способы, которыми объекты могут различаться в семействах. Однако обратите внимание, что грубое пространство модулей не обязательно содержит какое-либо семейство подходящих объектов, не говоря уже об универсальном.

Другими словами, тонкое пространство модулей включает в себя как базовое пространство M, и универсальное семейство U → M , тогда как грубое пространство модулей имеет только базовое пространство M. так

Стеки модулей

Часто интересные геометрические объекты обладают множеством естественных автоморфизмов . Это, в частности, делает невозможным существование тонкого пространства модулей (интуитивно идея состоит в том, что если L — некоторый геометрический объект, тривиальное семейство L × [0,1] можно превратить в скрученное семейство на круге S ¹ отождествляя L × {0} с L × {1} посредством нетривиального автоморфизма. Теперь, если бы существовало тонкое пространство модулей X , отображение S ¹ → X не должно быть постоянным, но должно быть постоянным на любом собственном открытом множестве по тривиальности), иногда все же можно получить грубое пространство модулей. Однако этот подход не идеален, поскольку существование таких пространств не гарантируется, они часто являются сингулярными, когда существуют, и упускают детали о некоторых нетривиальных семействах объектов, которые они классифицируют.

Более сложный подход — обогатить классификацию за счет запоминания изоморфизмов. Точнее, на любой базе B можно рассматривать категорию семейств на B, в которой в качестве морфизмов принимаются только изоморфизмы между семействами. Затем рассматривается расслоенная категория , которая ставит в соответствие любому пространству B группоид семейств над B . Использование этих категорий, расслоенных в группоиды, для описания проблемы модулей восходит к Гротендику (1960/61). В общем случае они не могут быть представлены схемами или даже алгебраическими пространствами , но во многих случаях имеют естественную структуру алгебраического стека .

Алгебраические стеки и их использование для анализа задач о модулях появились у Делиня-Мамфорда (1969) как инструмент для доказательства неприводимости (грубого) пространства модулей кривых данного рода. Язык алгебраических стеков, по сути, обеспечивает систематический способ рассмотрения расслоенной категории, составляющей проблему модулей, как «пространства», а стек модулей во многих задачах модулей ведет себя лучше (например, гладкий), чем соответствующее грубое пространство модулей.

Дальнейшие примеры

Модули кривых

Дополнительная информация: Модули алгебраических кривых.

Стек модулей ${\mathcal {M}}_{g}$ классифицирует семейства гладких проективных кривых рода g вместе с их изоморфизмами. При g > 1 этот стек можно компактифицировать путем добавления новых «граничных» точек, соответствующих устойчивым узловым кривым (вместе с их изоморфизмами). Кривая устойчива, если она имеет лишь конечную группу автоморфизмов. Полученный стек обозначается ${\overline {\mathcal {M}}}_{g}$. Оба набора модулей содержат универсальные семейства кривых. Можно также определить грубые пространства модулей, представляющие классы изоморфизма гладких или устойчивых кривых. Эти грубые пространства модулей фактически изучались до того, как было изобретено понятие стека модулей. Фактически, идея стека модулей была изобретена Делинем и Мамфордом в попытке доказать проективность грубых пространств модулей. В последние годы стало очевидно, что набор кривых на самом деле является более фундаментальным объектом.

Обе стопки выше имеют размерность 3 г -3; следовательно, устойчивую узловую кривую можно полностью задать, выбрав значения 3 g −3 параметров, когда g > 1. В нижнем роде необходимо учитывать наличие гладких семейств автоморфизмов, вычитая их количество. Существует ровно одна комплексная кривая нулевого рода — сфера Римана, и ее группа изоморфизмов — PGL(2). Следовательно, размерность ${\mathcal {M}}_{0}$ является

dim(пространство кривых рода нуль) − dim(группа автоморфизмов) = 0 − dim(PGL(2)) = −3.

Аналогично, в роде 1 существует одномерное пространство кривых, но каждая такая кривая имеет одномерную группу автоморфизмов. Следовательно, стек ${\mathcal {M}}_{1}$ имеет размерность 0. Пространства грубых модулей имеют размерность 3 g −3 как стопки, когда g > 1, поскольку кривые рода g > 1 имеют в качестве автоморфизма только конечную группу, т. е. dim (группу автоморфизмов) = 0. В конце концов, в нулевом роде грубое пространство модулей имеет нулевую размерность, а в первом роде - единицу.

Можно также обогатить задачу, рассмотрев стек модулей узловых кривых рода g с n отмеченными точками. Такие отмеченные кривые называются устойчивыми, если подгруппа автоморфизмов кривых, фиксирующих отмеченные точки, конечна. Полученные стопки модулей гладких (или устойчивых) кривых рода g с n -отмеченными точками обозначаются ${\mathcal {M}}_{g,n}$ (или ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$) и имеют размерность 3 g − 3 + n .

Особый интерес представляет стек модулей ${\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}$ кривых рода 1 с одной отмеченной точкой. Это стопка эллиптических кривых , и она является естественным домом для хорошо изученных модульных форм , которые представляют собой мероморфные секции расслоений в этой стопке.

Модули сортов

В более высоких размерностях модули алгебраических многообразий сложнее строить и изучать. Например, многомерным аналогом пространства модулей эллиптических кривых, обсуждавшегося выше, является пространство модулей абелевых многообразий, таких как модулярное многообразие Зигеля . Это проблема, лежащая в основе форм Зигеля модульной теории . См. также сорт Шимура .

построили пространства модулей многообразий общего типа Используя методы, возникшие из программы минимальной модели, Янош Коллар и Николас Шеперд-Бэррон , теперь известные как пространства модулей KSB.

Используя методы, возникающие одновременно из дифференциальной геометрии и бирациональной геометрии, построение пространств модулей многообразий Фано было достигнуто путем ограничения специальным классом K-стабильных многообразий. важные результаты об ограниченности многообразий Фано, доказанные Кошером Биркаром В этой постановке используются , за что он был награжден медалью Филдса 2018 года .

Построение пространств модулей многообразий Калаби-Яу является важной открытой проблемой, и только частные случаи, такие как пространства модулей поверхностей К3 или абелевы многообразия . изучены

Модули векторных расслоений

Другая важная проблема модулей — понять геометрию (различных подстеков) стека модулей Vect _n ( X ранга n ) векторных расслоений на фиксированном многообразии X. алгебраическом Этот стек наиболее изучен, когда X одномерен и особенно когда n равно единице. В данном случае грубое пространство модулей — это схема Пикара , которая, как и пространство модулей кривых, изучалась до изобретения стеков. Когда расслоения имеют ранг 1 и нулевую степень, изучение грубого пространства модулей является изучением многообразия Якобиана .

В приложениях к физике число модулей векторных расслоений и тесно связанная с ней проблема числа модулей главных G-расслоений оказались существенными в калибровочной теории .

Объем пространства модулей

Простые геодезические и объемы Вейля-Петерсона пространств модулей римановых поверхностей с краями.

Методы построения пространств модулей

Современная формулировка проблем модулей и определение пространств модулей в терминах функторов модулей (или, в более общем плане, категорий, расслоенных в группоиды ) и пространств (почти), представляющих их, восходят к Гротендику (1960/61), в котором он описал общие рамки, подходы и основные проблемы на пространств Тейхмюллера примере в сложной аналитической геометрии. В докладах, в частности, описывается общий метод построения пространств модулей путем предварительного ужесточения рассматриваемой проблемы модулей.

Точнее, существование нетривиальных автоморфизмов классифицируемых объектов делает невозможным существование тонкого пространства модулей. Однако часто можно рассмотреть модифицированную задачу модулей классификации исходных объектов вместе с дополнительными данными, выбранными таким образом, что тождество является единственным автоморфизмом, уважающим также дополнительные данные. При правильном выборе данных жесткости модифицированная задача модулей будет иметь (тонкое) пространство модулей T , часто описываемое как подсхема подходящей схемы Гильберта или схемы Кота . Более того, данные жесткости выбираются так, чтобы они соответствовали главному расслоению с алгебраической структурной группой G . Таким образом, можно вернуться от жесткой проблемы к исходной, факторизируя по действию G , и проблема построения пространства модулей становится проблемой поиска схемы (или более общего пространства), которая (в достаточно сильном смысле) частное T / G числа T действию G. по Последняя проблема вообще не допускает решения; однако эта проблема решается новаторскими теория геометрических инвариантов (GIT), разработанная Дэвидом Мамфордом в 1965 году, которая показывает, что при подходящих условиях частное действительно существует.

Чтобы увидеть, как это может работать, рассмотрим задачу параметризации гладких кривых рода g > 2. Гладкая кривая вместе с полной линейной системой степени d > 2 g эквивалентна замкнутой одномерной подсхеме проективного пространства P ^d−g . Следовательно, пространство модулей гладких кривых и линейных систем (удовлетворяющих определенным критериям) может быть вложено в схему Гильберта достаточно многомерного проективного пространства. Этот локус H в схеме Гильберта имеет действие PGL( n ), которое смешивает элементы линейной системы; следовательно, пространство модулей гладких кривых затем восстанавливается как фактор H по проективной общей линейной группе.

Другой общий подход в первую очередь связан с Майклом Артином . Здесь идея состоит в том, чтобы начать с объекта, подлежащего классификации, и изучить теорию его деформации . Это означает, что сначала нужно построить бесконечно малые деформации, а затем обратиться к теоремам о пропредставимости, чтобы объединить их в объект на формальной основе. Далее, обращение к Гротендика формальной теореме существования дает объект искомого вида над базой, которая является полным локальным кольцом. Этот объект можно аппроксимировать с помощью аппроксимационной теоремы Артина объектом, определенным над конечно порожденным кольцом. Тогда спектр этого последнего кольца можно рассматривать как своего рода координатную карту в желаемом пространстве модулей. Склеив достаточное количество таких диаграмм, мы сможем покрыть все пространство, но карта нашего объединения спектров в пространство модулей, как правило, будет много к одному. Поэтому мы определяем отношение эквивалентности для первого; по сути, две точки эквивалентны, если объекты над каждой из них изоморфны. Это дает схему и отношение эквивалентности, которых достаточно для определения алгебраическое пространство (на самом деле алгебраический стек, если быть осторожным), хотя и не всегда схема.

По физике

Дополнительная информация: модули (физика)

Термин «пространство модулей» иногда используется в физике для обозначения пространства модулей вакуумных математических ожиданий набора скалярных полей или пространства модулей возможных струнных фонов .

Пространства модулей также появляются в физике в топологической теории поля , где можно использовать интегралы по путям Фейнмана для вычисления чисел пересечения различных пространств алгебраических модулей.

См. также

Строительные инструменты

• Схема Гильберта
• Схема котировок
• Теория деформации
• коэффициент ГИТ
• Критерий Артина , общий критерий построения пространств модулей как алгебраических стеков из функторов модулей

Пространства модулей

• Модули алгебраических кривых
• Стек модулей эллиптических кривых
• Пространства модулей K-стабильных многообразий Фано
• Модульная кривая
• Функтор Пикара
• Модули полустабильных пучков на кривой
• Kontsevich moduli space
• Модули полустабильных пучков

Ссылки

Примечания

• Теория модулей
• Стеки модулей в P-адических модульных формах и программа Ленглендса

Научные статьи

Фундаментальные статьи

• Гротендик, Александр (1960–1961). «Техника построения в аналитической геометрии. I. Аксиоматическое описание пространства Тейхмюллера и его вариантов» (PDF) . Анри Картан Семинар 13 №1, Лекции №7 и 8 . Париж.

• Мамфорд, Дэвид , Геометрическая теория инвариантов . Результаты математики и ее пограничные области , новая серия, том 34 Springer-Verlag, Берлин-Нью-Йорк, 1965 vi + 145 стр. MR 0214602
• Мамфорд, Дэвид; Фогарти, Дж.; Кирван, Ф. Геометрическая теория инвариантов . Третье издание. Результаты по математике и смежным областям (2) (Результаты по математике и смежным областям (2)), 34. Springer-Verlag, Берлин, 1994. xiv+292 стр. MR 1304906 ISBN   3-540-56963-4

Ранние приложения

• Делинь, Пьер ; Мамфорд, Дэвид (1969). «Неприводимость пространства кривых данного рода» (PDF) . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 36 : 75–109. CiteSeerX   10.1.1.589.288 . дои : 10.1007/bf02684599 .
• Фальтингс, Герд ; Чай, Чинг Ли (1990). Вырождение абелевых многообразий . Результаты математики и ее пограничные области. Том 22. С приложением Дэвида Мамфорда. Берлин: Springer Verlag. дои : 10.1007/978-3-662-02632-8 . ISBN  978-3-540-52015-3 . МР   1083353 .
• Кац, Николас М; Мазур, Барри (1985). Арифметические модули эллиптических кривых . Анналы математических исследований. Том. 108. Издательство Принстонского университета . ISBN  978-0-691-08352-0 . МР   0772569 .

Другие ссылки

• Пападопулос, Атанас, изд. (2007), Справочник по теории Тейхмюллера. Том. I, Лекции IRMA по математике и теоретической физике, 11, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, дои : 10.4171/029 , ISBN   978-3-03719-029-6 , МР 2284826
• Пападопулос, Атанас, изд. (2009), Справочник по теории Тейхмюллера. Том. II, Лекции IRMA по математике и теоретической физике, 13, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, дои : 10.4171/055 , ISBN   978-3-03719-055-5 , МР 2524085
• Пападопулос, Атанас, изд. (2012), Справочник по теории Тейхмюллера. Том. III, Лекции IRMA по математике и теоретической физике, 17, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, дои : 10.4171/103 , ISBN   978-3-03719-103-3 .

Другие статьи и источники

• Харрис, Джо ; Моррисон, Ян (1998). Модули кривых . Тексты для аспирантов по математике. Том. 187. Нью-Йорк: Springer Verlag . дои : 10.1007/b98867 . ISBN  978-0-387-98429-2 . МР   1631825 .

• Фивег, Эккарт (1995). Квазипроективные модули для поляризованных многообразий (PDF) . Издательство Спрингер. ISBN  978-3-540-59255-6 .

• Симпсон, Карлос (1994). «Модули представлений фундаментальной группы гладкого проективного многообразия I» (PDF) . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 79 : 47–129. дои : 10.1007/bf02698887 .
• Марьям Мирзахани (2007) «Простые геодезические и объемы Вейля-Петерсона пространств модулей граничных римановых поверхностей» Inventiones Mathematicae

Внешние ссылки

• Лурье, Дж. (2011). «Проблемы модулей для кольцевых спектров». Материалы Международного конгресса математиков 2010 (ICM 2010) . стр. 1099–1125. дои : 10.1142/9789814324359_0088 . ISBN  978-981-4324-30-4 .