Закрытое погружение

В алгебраической геометрии замкнутое погружение схем . — это морфизм схем $f:Z\to X$ который идентифицирует Z как замкнутое подмножество X такое, что локально регулярные функции на Z могут быть расширены до X . ^[1] Последнее условие можно формализовать, сказав, что $f^{\#}:{\mathcal {O}}_{X}\rightarrow f_{\ast }{\mathcal {O}}_{Z}$ является сюръективным. ^[2]

Примером может служить карта включения $\operatorname {Spec} (R/I)\to \operatorname {Spec} (R)$ индуцированное каноническим отображением $R\to R/I$ .

Другие характеристики

Следующие действия эквивалентны:

$f:Z\to X$ это закрытое погружение.
Для каждого открытого аффинного $U=\operatorname {Spec} (R)\subset X$ , существует идеал $I\subset R$ такой, что $f^{-1}(U)=\operatorname {Spec} (R/I)$ как схемы над U .
Существует открытое аффинное накрытие $X=\bigcup U_{j},U_{j}=\operatorname {Spec} R_{j}$ и для каждого j существует идеал $I_{j}\subset R_{j}$ такой, что $f^{-1}(U_{j})=\operatorname {Spec} (R_{j}/I_{j})$ как схемы закончились $U_{j}$ .
Существует квазисвязный пучок идеалов. ${\mathcal {I}}$ на X такой, что $f_{\ast }{\mathcal {O}}_{Z}\cong {\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}$ и f — изоморфизм Z на глобальную Spec группы ${\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}$ над Х.

Определение локально окольцованных пространств

В случае локально окольцованных пространств ^[3] морфизм $i:Z\to X$ является закрытым погружением, если удовлетворяется аналогичный список критериев

Карта $i$ является гомеоморфизмом $Z$ на его изображение
Соответствующая карта пучка ${\mathcal {O}}_{X}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}$ является сюръективным с ядром ${\mathcal {I}}$
Ядро ${\mathcal {I}}$ локально генерируется разделами как ${\mathcal {O}}_{X}$ -модуль ^[4]

Единственное изменяющееся условие — третье. Полезно рассмотреть контрпример, чтобы понять, к чему приводит третье условие, глядя на карту, которая не является замкнутым погружением. $i:\mathbb {G} _{m}\hookrightarrow \mathbb {A} ^{1}$ где

$\mathbb {G} _{m}={\text{Spec}}(\mathbb {Z} [x,x^{-1}])$

Если мы посмотрим на стебель $i_{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {G} _{m}}|_{0}$ в $0\in \mathbb {A} ^{1}$ тогда разделов нет. Это означает, что для любой открытой подсхемы $U\subset \mathbb {A} ^{1}$ содержащий $0$ связка не имеет секций. Это нарушает третье условие, поскольку хотя бы одна открытая подсхема $U$ покрытие $\mathbb {A} ^{1}$ содержит $0$ .

Характеристики

Замкнутое погружение конечно и радикально (универсально инъективно). В частности, замкнутое погружение универсально замкнуто. Закрытое погружение стабильно при изменении основания и состава. Понятие замкнутого погружения является локальным в том смысле, что f является замкнутым погружением тогда и только тогда, когда для некоторого (эквивалентно любого) открытого накрытия $X=\bigcup U_{j}$ индуцированная карта $f:f^{-1}(U_{j})\rightarrow U_{j}$ это закрытое погружение. ^[5]^[6]

Если состав $Z\to Y\to X$ представляет собой закрытое погружение и $Y\to X$ отделяется то , $Z\to Y$ это закрытое погружение. Если X — отделимая S -схема, то каждое S -сечение X является замкнутым погружением. ^[7]

Если $i:Z\to X$ представляет собой закрытое погружение и ${\mathcal {I}}\subset {\mathcal {O}}_{X}$ есть квазикогерентный пучок идеалов, вырезающий Z , то прямой образ $i_{*}$ из категории квазикогерентных пучков над Z в категорию квазикогерентных пучков над X является точным, вполне точным с существенным образом, состоящим из ${\mathcal {G}}$ такой, что ${\mathcal {I}}{\mathcal {G}}=0$ . ^[8]

Плоское замкнутое погружение конечного представления — это открытое погружение открытой замкнутой подсхемы. ^[9]

См. также

Примечания

^ Мамфорд, Красная книга разновидностей и схем , Раздел II.5.
^ Хартсхорн 1977 , §II.3
^ «Раздел 26.4 (01HJ): Замкнутые погружения локально окольцованных пространств — проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 5 августа 2021 г.
^ «Раздел 17.8 (01B1): Модули, локально создаваемые разделами — проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 5 августа 2021 г.
^ Гротендик и Дьедонне 1960 , 4.2.4
^ «Часть 4: Алгебраические пространства, Глава 67: Морфизмы алгебраических пространств» , Проект stacks , Колумбийский университет , получено 6 марта 2024 г.
^ Гротендик и Дьедонне 1960 , 5.4.6
^ Стеки, Морфизмы схем. Лемма 4.1.
^ Стеки, Морфизмы схем. Лемма 27.2.

Ссылки

Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык диаграмм» . Публикации IHÉS по математике . 4 . дои : 10.1007/bf02684778 . МР 0217083 .
Стеки Проект
Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9 , МР 0463157

[1] Мамфорд, Красная книга разновидностей и схем , Раздел II.5.

[2] Хартсхорн 1977 , §II.3

[3] «Раздел 26.4 (01HJ): Замкнутые погружения локально окольцованных пространств — проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 5 августа 2021 г.

[4] «Раздел 17.8 (01B1): Модули, локально создаваемые разделами — проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 5 августа 2021 г.

[5] Гротендик и Дьедонне 1960 , 4.2.4

[6] «Часть 4: Алгебраические пространства, Глава 67: Морфизмы алгебраических пространств» , Проект stacks , Колумбийский университет , получено 6 марта 2024 г.

[7] Гротендик и Дьедонне 1960 , 5.4.6

[8] Стеки, Морфизмы схем. Лемма 4.1.

[9] Стеки, Морфизмы схем. Лемма 27.2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]