Секающая разновидность

В алгебраической геометрии секущее многообразие $\operatorname {Sect} (V)$, или разновидность аккордов проективной разновидности $V\subset \mathbb {P} ^{r}$ является замыканием Зарисского объединения всех секущих прямых (хорд) к V в $\mathbb {P} ^{r}$:

$\operatorname {Sect} (V)=\bigcup _{x,y\in V}{\overline {xy}}$

(для $x=y$, линия ${\overline {xy}}$ это касательная линия .) Это также изображение под проекцией $p_{3}:(\mathbb {P} ^{r})^{3}\to \mathbb {P} ^{r}$ замыкания Z инцидентности многообразия

$\{(x,y,r)|x\wedge y\wedge r=0\}$.

Обратите внимание, что Z имеет размерность $2\dim V+1$ и так $\operatorname {Sect} (V)$ имеет максимальную размерность $2\dim V+1$.

В более общем смысле, $k^{th}$ секущее многообразие — это замыкание Зарисского объединения линейных пространств, натянутых на наборы из k+1 точек на $V$. Это может быть обозначено $\Sigma _{k}$. Вышеуказанная секущая разновидность является первой секущей разновидностью. Пока не $\Sigma _{k}=\mathbb {P} ^{r}$, оно всегда сингулярно вдоль $\Sigma _{k-1}$, но может иметь и другие особые точки.

Если $V$ имеет размерность d , размерность $\Sigma _{k}$ самое большее $kd+d+k$.Полезным инструментом для вычисления размерности секущего многообразия является лемма Террачини .

Примеры

Секансное многообразие можно использовать, чтобы показать тот факт, что гладкая проективная кривая может быть вложена в проективное трехмерное пространство. $\mathbb {P} ^{3}$ следующее. Позволять $C\subset \mathbb {P} ^{r}$ быть плавной кривой. Поскольку размерность секущего многообразия S в C имеет размерность не более 3, если $r>3$, то существует точка p на $\mathbb {P} ^{r}$ это не на S , и поэтому у нас есть проекция $\pi _{p}$ из p в гиперплоскость H , что дает вложение $\pi _{p}:C\hookrightarrow H\simeq \mathbb {P} ^{r-1}$. Теперь повторите.

Если $S\subset \mathbb {P} ^{5}$ — поверхность, не лежащая в гиперплоскости, и если $\operatorname {Sect} (S)\neq \mathbb {P} ^{5}$, то S — поверхность Веронезе .

Ссылки

• Эйзенбуд, Дэвид; Джо, Харрис (2016), 3264 и все это: второй курс алгебраической геометрии , CUP, ISBN  978-1107602724
• Гриффитс, П .; Харрис, Дж. (1994). Основы алгебраической геометрии . Библиотека классической литературы Уайли. Уайли Интерсайенс. п. 617. ИСБН  0-471-05059-8 .
• Джо Харрис, Алгебраическая геометрия, первый курс , (1992) Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN   0-387-97716-3