Jump to content

Строительство проекта

(Перенаправлено с Global Proj )

В алгебраической геометрии Proj конструкция, аналогичная «спектр кольца» конструкции аффинных схем , которая создает объекты с типичными свойствами проективных пространств и проективных многообразий . Конструкция, хотя и не функториальна , является фундаментальным инструментом в теории схем .

В этой статье все кольца будут считаться коммутативными и единичными.

Проект градуированного кольца

[ редактировать ]

Проект в комплекте

[ редактировать ]

Позволять — коммутативное градуированное кольцо , где разложение в прямую сумму, связанное с градацией. Неактуальный идеал идеал элементов положительной степени Мы говорим, что идеал однороден, если он порождается однородными элементами. Затем в виде набора Для краткости иногда будем писать для .

Проект как топологическое пространство

[ редактировать ]

Мы можем определить топологию , называемую топологией Зариского , на определив замкнутые множества как множества вида

где представляет собой однородный идеал . Как и в случае аффинных схем, быстро проверяется, что образуют замкнутые множества топологии на .

Действительно, если представляют собой семью идеалов, то мы имеем и если набор индексов I конечен, то

Эквивалентно, мы можем взять открытые множества в качестве отправной точки и определить

Распространенным сокращением является обозначение к , где идеал , порожденный . Для любого идеала , наборы и дополняют друг друга, и, следовательно, то же доказательство, что и раньше, показывает, что множества сформировать топологию на . Преимущество этого подхода в том, что множества , где распространяется по всем однородным элементам кольца , составляют основу этой топологии, которая является незаменимым инструментом для анализа , как необходим и аналогичный факт для спектра кольца.

Проект как схема

[ редактировать ]

Также строим пучок на , называемый «структурным пучком», как в аффинном случае, что превращает его в схему . Как и в случае с конструкцией Spec, существует множество путей: наиболее прямой из них, который также очень напоминает построение регулярных функций на проективном многообразии в классической алгебраической геометрии, заключается в следующем. Для любого открытого набора из (который по определению представляет собой набор однородных простых идеалов не содержащий ) мы определяем кольцо быть набором всех функций

(где обозначает подкольцо кольца частных состоящие из долей однородных элементов одной степени) такие, что для каждого простого идеала из :

  1. является элементом ;
  2. Существует открытое подмножество содержащий и однородные элементы из одинаковой степени такой, что для каждого простого идеала из :
    • не в ;

Из определения непосредственно следует, что сформировать связку колец на , и можно показать, что пара ( , ) на самом деле является схемой (это достигается путем демонстрации того, что каждое из открытых подмножеств на самом деле является аффинной схемой).

Пучок, связанный с градуированным модулем

[ редактировать ]

Основное свойство для приведенной конструкции была возможность формировать локализации для каждого простого идеала из . Этим свойством обладает и любой градуированный модуль над , и, следовательно, с соответствующими незначительными изменениями предыдущий раздел строится для любого такого пучок, обозначаемый , из -модули включены . Этот пучок квазикогерентен по построению. Если порождается конечным числом элементов степени (например, кольцо полиномов или его однородное частное), все квазикогерентные пучки на возникают из градуированных модулей этой конструкцией. [1] Соответствующий градуированный модуль не является уникальным.

Извилистый пучок Серра

[ редактировать ]

Особым случаем пучка, ассоциированного с градуированным модулем, является случай, когда мы берем быть себя с другой градуировкой: а именно, положим степень элементы быть степенью элементы , так и обозначим . Затем мы получаем как квазикогерентный пучок на , обозначенный или просто называемый скручивающим пучком Серра , . Это можно проверить на самом деле является обратимым пучком .

Одна из причин полезности заключается в том, что он восстанавливает алгебраическую информацию которое было потеряно, когда при строительстве , мы перешли к дробям нулевой степени. В случае Spec A для кольца A глобальные сечения структурного пучка образуют само A , тогда как глобальные сечения здесь образуют только элементы нулевой степени . Если мы определим

затем каждый содержит степень- информация о , обозначенный , и вместе они содержат всю потерянную информацию об оценках. Аналогично для любого пучка градуированных -модули мы определяем

и ожидайте, что этот «скрученный» пучок будет содержать оценочную информацию о . В частности, если пучок, связанный с градуированным -модуль мы также ожидаем, что он будет содержать потерянную информацию об оценках . Это предполагает, хотя и ошибочно, что на самом деле можно восстановить по этим пучкам; как однако это верно в том случае, если - кольцо полиномов, см. ниже. Этой ситуации следует противопоставить тот факт, что функтор spec сопряжен с функтором глобальных сечений в категории локально окольцованных пространств .

Проективное n -пространство

[ редактировать ]

Если является кольцом, мы определяем проективное n -пространство над быть схемой

Градуировка на кольце полиномов определяется, позволяя каждому иметь степень одного и каждого элемента , градус ноль. Сравнивая это с определением , выше мы видим, что разделы на самом деле являются линейными однородными полиномами, порожденными сами себя. Это предполагает другую интерпретацию , а именно как пучок «координат» для , поскольку буквально являются координатами для проективного -космос.

Примеры проектов

[ редактировать ]

Proj над аффинной линией

[ редактировать ]

Если мы позволим базовому кольцу быть , затем имеет канонический проективный морфизм к аффинной прямой слои которого представляют собой эллиптические кривые, за исключением точек где кривые вырождаются в узловые кривые. Итак, существует расслоение что также является гладким морфизмом схем (что можно проверить с помощью критерия Якобиана ).

Проективные гиперповерхности и многообразия

[ редактировать ]

Проективная гиперповерхность является примером трехмерного многообразия Ферма квинтики , которое также является многообразием Калаби – Яу . Помимо проективных гиперповерхностей, любое проективное многообразие, вырезанное системой однородных многочленов в -переменные можно преобразовать в проективную схему с помощью конструкции proj для градуированной алгебры дающее вложение проективных многообразий в проективные схемы.

Взвешенное проективное пространство

[ редактировать ]

Взвешенные проективные пространства можно построить с использованием кольца полиномов, переменные которого имеют нестандартные степени. Например, взвешенное проективное пространство соответствует взятию кольца где иметь вес пока имеет вес 2.

Биградированные кольца

[ редактировать ]

Конструкция проекта распространяется на биградуированные и многоградусные кольца. Геометрически это соответствует взятию произведений проективных схем. Например, учитывая градуированные кольца со степенью каждого образующего . Тогда тензорное произведение этих алгебр по дает биградуированную алгебру где иметь вес и иметь вес . Тогда конструкция проекта дает которое является продуктом проективных схем. Существует вложение таких схем в проективное пространство путем взятия тотальной градуированной алгебры где степень элемент рассматривается как степень элемент. Это означает, -th сорт кусок это модуль Кроме того, схема теперь поставляется с биградуированными шкивами которые являются тензорным произведением пучков где и являются каноническими проекциями, возникающими в результате инъекций этих алгебр из тензорной диаграммы произведения коммутативных алгебр.

Глобальный проект

[ редактировать ]

Обобщение конструкции Proj заменяет кольцо S пучком алгебр и в результате дает схему, которую можно рассматривать как расслоение колец Proj. Эта конструкция часто используется, например, для построения проективных пространственных расслоений над базовой схемой .

Предположения

[ редактировать ]

Формально, пусть X — любая схема , а S — пучок градуированных -алгебры (определение которых аналогично определению -модули на локально окольцованном пространстве ): т. е. пучок с разложением в прямую сумму

где каждый это -модуль такой, что для любого открытого подмножества в X S U ( U ) является -алгебра и полученное разложение в прямую сумму

является градуировкой этой алгебры как кольца. Здесь мы предполагаем, что . Сделаем дополнительное предположение, что S квазикогерентный пучок ; это предположение о «непротиворечивости» сечений над разными открытыми множествами, необходимое для продолжения построения.

Строительство

[ редактировать ]

В этой установке мы можем построить схему «проекционное» отображение p на X такое, что для любого открытого аффинного U X и ,

Это определение предполагает, что мы построим предварительно определив схемы для каждого открытого аффинного U , установив

и карты , а затем покажем, что эти данные можно склеить «поверх» каждого пересечения двух открытых аффинов U и V, чтобы сформировать схему Y , которую мы определяем как . Нетрудно показать, что определение каждого быть отображением, соответствующим включению в S ( U ) как элементы нулевой степени, дает необходимую согласованность , в то время как консистенция сами по себе следуют из предположения квазикогерентности на S .

Скручивающий пучок

[ редактировать ]

Если S обладает дополнительным свойством, которое является когерентным пучком и локально порождает S над (то есть, когда мы переходим к стеблю пучка S в точке x из X , которая является градуированной алгеброй, элементы нулевой степени которой образуют кольцо то элементы первой степени образуют конечно порожденный модуль над а также сгенерировать стебель как алгебру над ним), то мы можем сделать дальнейшую конструкцию. Над каждым открытым аффином U Proj S ( U ) несет обратимый пучок O(1) , и только что сделанное нами предположение гарантирует, что эти пучки могут быть склеены так же, как и выше; полученный пучок на также обозначается O (1) и служит примерно той же цели для как это делает скручивающий пучок на Proj кольца.

Проект квазикогерентного пучка

[ редактировать ]

Позволять быть квазикогерентным пучком на схеме . Пучок симметрических алгебр естественно, является квазикогерентным пучком градуированных -модули, порожденные элементами степени 1. Полученную схему обозначим через . Если имеет конечный тип, то его канонический морфизм является проективным морфизмом . [2]

Для любого , слой указанного морфизма над это проективное пространство связанный с двойственным векторным пространством над .

Если представляет собой квазикогерентный пучок градуированных -модули, генерируемые и такое, что имеет конечный тип, то представляет собой закрытую подсхему и тогда проективно . Фактически, каждая замкнутая подсхема проективной имеет такую ​​форму. [3]

Проективные пространственные пучки

[ редактировать ]

В качестве частного случая, когда локально свободен от ранга , мы получаем проективное расслоение над относительного размера . Действительно, если мы возьмем открытое покрытие X аффинами открытыми так что при ограничении каждого из них свободен над A , то

и, следовательно, является проективным пространственным расслоением. Многие семейства многообразий могут быть построены как подсхемы этих проективных расслоений, например семейство эллиптических кривых Вейерштрасса. Более подробную информацию смотрите в основной статье.

Пример глобального проекта

[ редактировать ]

Global proj можно использовать для построения карандашей Лефшеца . Например, пусть и возьмем однородные многочлены степени к. Можно рассматривать идеальный пучок из и построим глобальный проект этого факторпучка алгебр . Это можно явно описать как проективный морфизм .

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Рави Вакил (2015). Основы алгебраической геометрии (PDF) . , Следствие 15.4.3.
  2. ^ ЕГА , II.5.5.
  3. ^ ЕГА , II.5.5.1.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 9eee795437b8ca4025316e193bc92514__1722322680
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/9e/14/9eee795437b8ca4025316e193bc92514.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Proj construction - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)