Проективный расслоение
В математике проективное расслоение — это расслоение , слои которого представляют собой проективные пространства .
По определению, схема X над нётеровой схемой S является P н -расслоение, если оно локально является проективным n -пространством; то есть, и переходные автоморфизмы линейны. Над регулярной схемой S , такой как гладкое многообразие , каждое проективное расслоение имеет вид для некоторого векторного расслоения (локально свободного пучка) E . [1]
Проективное расслоение векторного расслоения
[ редактировать ]Каждое векторное расслоение над многообразием X дает проективное расслоение, занимая проективные пространства слоев, но не все проективные расслоения возникают таким образом: существует препятствие в группе когомологий H. 2 ( Х , О*). Чтобы понять почему, вспомним, что проективное расслоение снабжено функциями перехода на двойных пересечениях подходящего открытого покрытия. При тройных перекрытиях любой подъем этих функций перехода удовлетворяет условию коцикла с точностью до обратимой функции. Совокупность этих функций образует 2-коцикл, обращающийся в нуль в H 2 ( X ,O*) только в том случае, если проективное расслоение является проективизацией векторного расслоения. В частности, если X — компактная риманова поверхность , то H 2 ( X ,O*)=0, и поэтому это препятствие исчезает.
Проективное расслоение векторного расслоения E — это то же самое, что и расслоение Грассмана. 1-плоскостей в E .
Проективное расслоение P ( E ) векторного расслоения E характеризуется универсальным свойством, которое гласит: [2]
- Учитывая морфизм f : T → X , факторизовать f через карту проекции p : P ( E ) → X означает указать линейное подрасслоение f * EЭ.
Например, принимая f за p , можно получить линейное подрасслоение O (-1) p * E , называемое тавтологическим линейным расслоением на P ( E ). Более того, это O (-1) является универсальным расслоением в том смысле, что когда линейное расслоение L дает факторизацию f = p ∘ g , L является обратным образом O (-1) вдоль g . См. также Cone# O (1) для более явной конструкции O (-1).
На P ( E ) существует естественная точная последовательность (называемая тавтологической точной последовательностью):
где Q называется тавтологическим факторрасслоением.
Пусть E ⊂ F — векторные расслоения (локально свободные пучки конечного ранга) на X и G = F / E . Пусть q : P ( F ) → X — проекция. Тогда естественное отображение O (-1) → q * Ф → д * G — глобальное сечение пучка hom ( O (-1), q * Г) = q * г ⊗ О (1) . Более того, это естественное отображение исчезает в той точке, в которой эта точка является прямой в E ; другими словами, нулевой локус этого сечения — это P ( E ).
Особенно полезным примером этой конструкции является случай, когда F является прямой суммой E ⊕ 1 E и тривиального линейного расслоения (т. е. структурного пучка). Тогда P ( E ) — гиперплоскость в P ( E ⊕ 1), называемая гиперплоскостью на бесконечности, и дополнение к P ( E можно отождествить с E. ) Таким образом, P ( E ⊕ 1) называется проективным пополнением (или «компактификацией») E .
Проективное расслоение P ( E ) устойчиво при скручивании E линейным расслоением; точнее, для линейного расслоения L существует естественный изоморфизм:
такой, что [3] (Фактически, g получается благодаря универсальному свойству, примененному к линейному расслоению справа.)
Примеры
[ редактировать ]Многие нетривиальные примеры проективных расслоений можно найти с помощью расслоений над такие как расслоения Лефшеца . Например, эллиптическая поверхность К3 представляет собой поверхность К3 с расслоением
такие, что волокна для являются эллиптическими кривыми в общем случае. Поскольку каждая эллиптическая кривая представляет собой кривую рода 1 с выделенной точкой, существует глобальное сечение расслоения. Благодаря этому глобальному разделу существует модель придающий морфизм проективному расслоению [4]
определяется уравнением Вейерштрасса
где представляют местные координаты соответственно и коэффициенты
представляют собой участки шкивов на . Обратите внимание, что это уравнение четко определено, поскольку каждый член в уравнении Вейерштрасса имеет полную степень (имеется в виду степень коэффициента плюс степень одночлена. Например, ).
Кольцо когомологий и группа Чоу
[ редактировать ]Пусть X — комплексное гладкое проективное многообразие, а E — комплексное векторное расслоение ранга r на нем. Пусть p : P ( E ) → — проективное расслоение E. X Тогда кольцо когомологий H * ( P ( E )) — алгебра над H * ( X ) через обратный путь p * . Тогда первый класс Чженя ζ = c 1 ( O (1)) порождает H * ( P ( E )) с соотношением
где c i ( E ) — i Чженя E. -й класс Одна интересная особенность этого описания состоит в том, что можно определить классы Чженя как коэффициенты в отношении; именно такого подхода придерживается Гротендик.
Для полей, отличных от комплексного поля, то же описание остается верным с кольцом Чоу вместо кольца когомологий (все еще предполагая, что X гладко). В частности, для групп Чжоу существует разложение в прямую сумму
Как оказалось, это разложение остается справедливым, даже если X не является ни гладким, ни проективным. [5] Напротив, Ak , морально ( E ) = Ak потому , - r ( X ) посредством гомоморфизма Гайзина что слои E , векторные пространства, сжимаемы.
См. также
[ редактировать ]- Строительство проекта
- конус (алгебраическая геометрия)
- линейчатая поверхность (пример проективного расслоения)
- Сорт Севери – Брауэра
- Поверхность Хирцебруха
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Хартсхорн 1977 , гл. II, Упражнение 7.10. (с).
- ^ Хартсхорн 1977 , гл. II, предложение 7.12.
- ^ Хартсхорн 1977 , гл. II, Лемма 7.9.
- ^ Пропп, Орон Ю. (22 мая 2019 г.). «Построение явных спектров К3». arXiv : 1810.08953 [ math.AT ].
- ^ Фултон 1998 , Теорема 3.3.
- Эленцвайг, Г.; Нарасимхан, MS (1983), «Проективные расслоения на комплексном торе», Журнал чистой и прикладной математики , 1983 (340): 1–5, doi : 10.1515/crll.1983.340.1 , ISSN 0075-4102 , MR 0691957 , S2CID 122557310
- Фултон, Уильям (1998), Теория пересечений , результаты математики и ее пограничные области . 3-я серия, том. 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4 , МР 1644323
- Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9 , МР 0463157