Jump to content

Проективный расслоение

В математике проективное расслоение — это расслоение , слои которого представляют собой проективные пространства .

По определению, схема X над нётеровой схемой S является P н -расслоение, если оно локально является проективным n -пространством; то есть, и переходные автоморфизмы линейны. Над регулярной схемой S , такой как гладкое многообразие , каждое проективное расслоение имеет вид для некоторого векторного расслоения (локально свободного пучка) E . [1]

Проективное расслоение векторного расслоения

[ редактировать ]

Каждое векторное расслоение над многообразием X дает проективное расслоение, занимая проективные пространства слоев, но не все проективные расслоения возникают таким образом: существует препятствие в группе когомологий H. 2 ( Х , О*). Чтобы понять почему, вспомним, что проективное расслоение снабжено функциями перехода на двойных пересечениях подходящего открытого покрытия. При тройных перекрытиях любой подъем этих функций перехода удовлетворяет условию коцикла с точностью до обратимой функции. Совокупность этих функций образует 2-коцикл, обращающийся в нуль в H 2 ( X ,O*) только в том случае, если проективное расслоение является проективизацией векторного расслоения. В частности, если X — компактная риманова поверхность , то H 2 ( X ,O*)=0, и поэтому это препятствие исчезает.

Проективное расслоение векторного расслоения E — это то же самое, что и расслоение Грассмана. 1-плоскостей в E .

Проективное расслоение P ( E ) векторного расслоения E характеризуется универсальным свойством, которое гласит: [2]

Учитывая морфизм f : T X , факторизовать f через карту проекции p : P ( E ) → X означает указать линейное подрасслоение f * EЭ.

Например, принимая f за p , можно получить линейное подрасслоение O (-1) p * E , называемое тавтологическим линейным расслоением на P ( E ). Более того, это O (-1) является универсальным расслоением в том смысле, что когда линейное расслоение L дает факторизацию f = p g , L является обратным образом O (-1) вдоль g . См. также Cone# O (1) для более явной конструкции O (-1).

На P ( E ) существует естественная точная последовательность (называемая тавтологической точной последовательностью):

где Q называется тавтологическим факторрасслоением.

Пусть E F — векторные расслоения (локально свободные пучки конечного ранга) на X и G = F / E . Пусть q : P ( F ) → X — проекция. Тогда естественное отображение O (-1) → q * Ф д * G — глобальное сечение пучка hom ( O (-1), q * Г) = q * г О (1) . Более того, это естественное отображение исчезает в той точке, в которой эта точка является прямой в E ; другими словами, нулевой локус этого сечения — это P ( E ).

Особенно полезным примером этой конструкции является случай, когда F является прямой суммой E ⊕ 1 E и тривиального линейного расслоения (т. е. структурного пучка). Тогда P ( E ) — гиперплоскость в P ( E ⊕ 1), называемая гиперплоскостью на бесконечности, и дополнение к P ( E можно отождествить с E. ) Таким образом, P ( E ⊕ 1) называется проективным пополнением (или «компактификацией») E .

Проективное расслоение P ( E ) устойчиво при скручивании E линейным расслоением; точнее, для линейного расслоения L существует естественный изоморфизм:

такой, что [3] (Фактически, g получается благодаря универсальному свойству, примененному к линейному расслоению справа.)

Многие нетривиальные примеры проективных расслоений можно найти с помощью расслоений над такие как расслоения Лефшеца . Например, эллиптическая поверхность К3 представляет собой поверхность К3 с расслоением

такие, что волокна для являются эллиптическими кривыми в общем случае. Поскольку каждая эллиптическая кривая представляет собой кривую рода 1 с выделенной точкой, существует глобальное сечение расслоения. Благодаря этому глобальному разделу существует модель придающий морфизм проективному расслоению [4]

определяется уравнением Вейерштрасса

где представляют местные координаты соответственно и коэффициенты

представляют собой участки шкивов на . Обратите внимание, что это уравнение четко определено, поскольку каждый член в уравнении Вейерштрасса имеет полную степень (имеется в виду степень коэффициента плюс степень одночлена. Например, ).

Кольцо когомологий и группа Чоу

[ редактировать ]

Пусть X — комплексное гладкое проективное многообразие, а E — комплексное векторное расслоение ранга r на нем. Пусть p : P ( E ) → проективное расслоение E. X Тогда кольцо когомологий H * ( P ( E )) — алгебра над H * ( X ) через обратный путь p * . Тогда первый класс Чженя ζ = c 1 ( O (1)) порождает H * ( P ( E )) с соотношением

где c i ( E ) — i Чженя E. -й класс Одна интересная особенность этого описания состоит в том, что можно определить классы Чженя как коэффициенты в отношении; именно такого подхода придерживается Гротендик.

Для полей, отличных от комплексного поля, то же описание остается верным с кольцом Чоу вместо кольца когомологий (все еще предполагая, что X гладко). В частности, для групп Чжоу существует разложение в прямую сумму

Как оказалось, это разложение остается справедливым, даже если X не является ни гладким, ни проективным. [5] Напротив, Ak , морально ( E ) = Ak потому , - r ( X ) посредством гомоморфизма Гайзина что слои E , векторные пространства, сжимаемы.

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Хартсхорн 1977 , гл. II, Упражнение 7.10. (с).
  2. ^ Хартсхорн 1977 , гл. II, предложение 7.12.
  3. ^ Хартсхорн 1977 , гл. II, Лемма 7.9.
  4. ^ Пропп, Орон Ю. (22 мая 2019 г.). «Построение явных спектров К3». arXiv : 1810.08953 [ math.AT ].
  5. ^ Фултон 1998 , Теорема 3.3.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: d34c9f2cf211ad8bf6e42cb03eb6e109__1694086620
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/d3/09/d34c9f2cf211ad8bf6e42cb03eb6e109.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Projective bundle - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)