Конус (алгебраическая геометрия)

В алгебраической геометрии конус — это обобщение векторного расслоения . В частности, для схемы X относительная Spec

$C=\operatorname {Spec} _{X}R$

квазикогерентной градуированной O _X -алгебры R называется конусом или аффинным R конусом . Аналогично, относительный Proj

$\mathbb {P} (C)=\operatorname {Proj} _{X}R$

называется конусом C . или R проективным

Примечание . Конус поставляется в комплекте с $\mathbb {G} _{m}$-действие в связи с присвоением рейтинга R ; это действие является частью данных конуса (откуда терминология).

Примеры

• Если X = Spec k — точка, а R — однородное координатное кольцо , то аффинный конус R — это (обычный) аффинный конус соответствующим R. над проективным многообразием ,
• Если $R=\bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}$ для некоторого идеального пучка I , то $\operatorname {Spec} _{X}R$ – нормальный конус замкнутой схемы, определяемой I .
• Если $R=\bigoplus _{0}^{\infty }L^{\otimes n}$ для некоторого линейного расслоения L , то $\operatorname {Spec} _{X}R$ является полным пространством двойственного L .
• В более общем смысле, для векторного расслоения (локально свободного пучка конечного ранга) E на X , если R =Sym( E ^* ) — симметрическая алгебра, порожденная двойственной к E , то конус $\operatorname {Spec} _{X}R$ — это общее пространство E , часто записываемое как E , и проективный конус $\operatorname {Proj} _{X}R$ является проективным расслоением E , которое записывается как $\mathbb {P} (E)$.
• Позволять ${\mathcal {F}}$ быть когерентным пучком на стеке Делиня–Мамфорда X . Тогда пусть $C({\mathcal {F}}):=\operatorname {Spec} _{X}(\operatorname {Sym} ({\mathcal {F}})).$ Для любого $f:T\to X$, поскольку global Spec является правым сопряжением с функтором прямого изображения, имеем: $C({\mathcal {F}})(T)=\operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{X}}(\operatorname {Sym} ({\mathcal {F}}),f_{*}{\mathcal {O}}_{T})$; в частности, $C({\mathcal {F}})$ является коммутативной групповой схемой над X .
• Пусть R — градуированный ${\mathcal {O}}_{X}$-алгебра такая, что $R_{0}={\mathcal {O}}_{X}$ и $R_{1}$ является когерентным и локально порождает R как $R_{0}$-алгебра. Затем происходит закрытое погружение

$\operatorname {Spec} _{X}R\hookrightarrow C(R_{1})$

данный $\operatorname {Sym} (R_{1})\to R$. Из-за этого, $C(R_{1})$ называется абелевой оболочкой конуса $\operatorname {Spec} _{X}R.$ Например, если $R=\oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}$ для некоторого идеального пучка I это вложение есть вложение нормального конуса в нормальное расслоение.

Вычисления

Рассмотрим полный идеал пересечения $(f,g_{1},g_{2},g_{3})\subset \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]$ и пусть $X$ — проективная схема, определяемая идеальным пучком ${\mathcal {I}}=(f)(g_{1},g_{2},g_{3})$. Тогда мы имеем изоморфизм ${\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}$-алгебры задаются выражением

$\bigoplus _{n\geq 0}{\frac {{\mathcal {I}}^{n}}{{\mathcal {I}}^{n+1}}}\cong {\frac {{\mathcal {O}}_{X}[a,b,c]}{(g_{2}a-g_{1}b,g_{3}a-g_{1}c,g_{3}b-g_{2}c)}}$

Характеристики

Если $S\to R$ является градуированным гомоморфизмом градуированных O _X -алгебр, то между конусами возникает индуцированный морфизм:

$C_{R}=\operatorname {Spec} _{X}R\to C_{S}=\operatorname {Spec} _{X}S$.

Если гомоморфизм сюръективен, то возникают замкнутые погружения $C_{R}\hookrightarrow C_{S},\,\mathbb {P} (C_{R})\hookrightarrow \mathbb {P} (C_{S}).$

В частности, полагая R ₀ = O _X , конструкция применима к проекции $R=R_{0}\oplus R_{1}\oplus \cdots \to R_{0}$ (которая является картой увеличения ) и дает

$\sigma :X\hookrightarrow C_{R}$.

Это раздел; то есть, $X{\overset {\sigma }{\to }}C_{R}\to X$ является тождественным и называется вложением нулевого сечения.

Рассмотрим градуированную алгебру R [ t ] с переменной t, имеющей степень один: явно, кусок n -й степени равен

$R_{n}\oplus R_{n-1}t\oplus R_{n-2}t^{2}\oplus \cdots \oplus R_{0}t^{n}$.

Тогда его аффинный конус обозначается через $C_{R[t]}=C_{R}\oplus 1$. Проективный конус $\mathbb {P} (C_{R}\oplus 1)$ называется пополнением C R _. проективным Действительно, нулевой локус t = 0 в точности $\mathbb {P} (C_{R})$ а дополнением является открытая подсхема C _R . Геометрическое положение t = 0 называется гиперплоскостью на бесконечности.

О (1)

Пусть R — квазикогерентная градуированная O _X -алгебра такая, что R ₀ = O _X и R локально порождается как O _X -алгебра с помощью R ₁ . Тогда по определению проективный конус R равен:

$\mathbb {P} (C)=\operatorname {Proj} _{X}R=\varinjlim \operatorname {Proj} (R(U))$

где копредел пробегает открытые аффинные подмножества U из X . По предположению R ( U ) имеет конечное число генераторов x _i степени один . Таким образом,

$\operatorname {Proj} (R(U))\hookrightarrow \mathbb {P} ^{r}\times U.$

Затем $\operatorname {Proj} (R(U))$ имеет линейное расслоение O (1), заданное гиперплоским расслоением ${\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}(1)$ из $\mathbb {P} ^{r}$; склейка таких локальных O (1), которые согласуются локально, дает линейное расслоение O (1) на $\mathbb {P} (C)$.

Для любого целого числа n также пишут O ( n ) для n -й тензорной степени O (1). Если конус C =Spec _X R — полное пространство векторного расслоения E , то O (-1) — тавтологическое линейное расслоение на проективном расслоении P ( E ).

Примечание . Когда (локальные) генераторы R имеют степень, отличную от единицы, построение O (1) все равно происходит, но с взвешенным проективным пространством вместо проективного пространства; поэтому полученное O (1) не обязательно является линейным расслоением. На языке дивизоров этот O (1) соответствует Q -дивизору Картье.

Ссылки

Конспекты лекций

• Фантечи, Барбара, Введение в теорию пересечений (PDF)

Ссылки

• Беренд, К.; Фантечи, Б. (1 марта 1997 г.). «Внутренний нормальный конус». Математические изобретения . 128 (1): 45–88. дои : 10.1007/s002220050136 . ISSN   0020-9910 .
• Уильям Фултон. (1998), Теория интерсекций , результаты математики и ее пограничные области . 3-я серия, том. 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-62046-4 , МР   1644323
• § 8 из Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). «Элементы алгебраической геометрии: II. Элементарное глобальное изучение некоторых классов морфизмов» . Публикации IHÉS по математике . 8 . дои : 10.1007/bf02699291 . МР   0217084 .