Гомоморфизм Гайзина
В области математики, известной как алгебраическая топология , последовательность Гайзина представляет собой длинную точную последовательность , которая связывает классы когомологий базового пространства , слоя и полного пространства расслоения сфер . Последовательность Гайзина — полезный инструмент для вычисления колец когомологий с учетом класса Эйлера расслоения сфер и наоборот. Она была введена Гайзиным ( 1942 ) и обобщена спектральной последовательностью Серра .
Определение
[ редактировать ]Рассмотрим послойно-ориентированное расслоение сфер с полным пространством E , базовым пространством M , слоем S к и карта проекции :
степени k + 1 Любое такое расслоение определяет класс когомологий e , называемый классом Эйлера расслоения.
Когомологии Де Рама
[ редактировать ]Обсуждение последовательности наиболее ясно происходит с когомологиями де Рама . Там классы когомологий представлены дифференциальными формами , так что e можно представить ( k + 1)-формой.
Карта проекции индуцирует отображение в когомологиях назвал его откатом
В случае расслоения можно также определить прямого распространения . карту
которое действует путем послойного интегрирования дифференциальных форм на ориентированной сфере - обратите внимание, что это отображение идет «неправильным путем» : это ковариантное отображение между объектами, связанными с контравариантным функтором.
Гайсин доказал, что следующая длинная точная последовательность
где является клиновым произведением дифференциальной формы с классом Эйлера e .
Интегральные когомологии
[ редактировать ]Последовательность Гайзина — длинная точная последовательность не только для когомологий де Рама дифференциальных форм, но и для когомологий с целыми коэффициентами. В интегральном случае необходимо заменить клиновое произведение класса Эйлера на чашечное произведение , и прямое отображение уже не соответствует интегрированию.
Гомоморфизм Гайзина в алгебраической геометрии
[ редактировать ]Пусть i : X → Y – (замкнутое) регулярное вложение коразмерности d , Y ' → Y – морфизм и i ' : X ' = X × Y Y ' → Y ' индуцированное отображение. Пусть N — обратный образ нормального расслоения i на X ' . Тогда уточненный гомоморфизм Гайзина i ! относится к составу
где
- σ — гомоморфизм специализации ; которое переводит k мерное подмногообразие V в нормальный конус пересечения V и X ' в V. - Результат лежит в N через .
- Второе отображение — это (обычный) гомоморфизм Гайзина, индуцированный вложением нулевого сечения .
Гомоморфизм i ! кодирует продукт пересечения в теории пересечений тем, что либо показывается продукт пересечения X и V , заданный формулой или принимает эту формулу как определение. [1]
Пример : Для векторного расслоения E пусть s : X → E сечение E. — Тогда, когда s — регулярное сечение , — класс нулевого локуса s где [ X ] — класс X. фундаментальный , [2]
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ Фултон 1998 , Пример 6.2.1..
- ^ Фултон 1998 , Предложение 14.1. (с).
Источники
[ редактировать ]- Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии , Тексты для аспирантов по математике, Springer-Verlag, ISBN 978-038790613-3
- Фултон, Уильям (1998), Теория пересечений , результаты математики и ее пограничные области . 3-я серия, том. 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-1700-8 , ISBN 978-3-540-62046-4 , МР 1644323
- Гайсин, Вернер (1942), «К теории гомологии отображений и расслоений многообразий» , Commentarii Mathematici Helvetici , 14 : 61–122, doi : 10.1007/bf02565612 , ISSN 0010-2571 , MR 0006511