Интегрирование по волокнам

В дифференциальной геометрии по слоям k -формы интегрирование дает $(k-m)$ -форма, где m — размер волокна, полученный посредством «интегрирования». Это также называется интеграцией волокон .

Определение

Позволять $\pi :E\to B$ — расслоение над многообразием с компактными ориентированными слоями. Если $\alpha$ является k -формой на E , то для касательных векторов w _i в точке b пусть

(\pi _{*}\alpha )_{b}(w_{1},\dots ,w_{k-m})=\int _{\pi ^{-1}(b)}\beta

где $\beta$ — индуцированная топ-форма на волокне $\pi ^{-1}(b)$ ; то есть $m$ -форма задана: с ${\widetilde {w_{i}}}$ лифты $w_{i}$ к $E$ ,

\beta (v_{1},\dots ,v_{m})=\alpha (v_{1},\dots ,v_{m},{\widetilde {w_{1}}},\dots ,{\widetilde {w_{k-m}}}).

(Чтобы увидеть $b\mapsto (\pi _{*}\alpha )_{b}$ является гладким, определите его в координатах; ср. пример ниже.)

Затем $\pi _{*}$ это линейная карта $\Omega ^{k}(E)\to \Omega ^{k-m}(B)$ . По формуле Стокса, если слои не имеют границ (т.е. $[d,\int ]=0$ ), отображение спускается к когомологиям де Рама :

\pi _{*}:\operatorname {H} ^{k}(E;\mathbb {R} )\to \operatorname {H} ^{k-m}(B;\mathbb {R} ).

Это также называется интеграцией волокон.

Теперь предположим $\pi$ — расслоение сфер ; т. е. типичное волокно представляет собой сферу. Тогда существует точная последовательность $0\to K\to \Omega ^{*}(E){\overset {\pi _{*}}{\to }}\Omega ^{*}(B)\to 0$ , К ядро,что приводит к длинной точной последовательности с понижением коэффициента $\mathbb {R}$ и использование $\operatorname {H} ^{k}(B)\simeq \operatorname {H} ^{k+m}(K)$ :

\cdots \rightarrow \operatorname {H} ^{k}(B){\overset {\delta }{\to }}\operatorname {H} ^{k+m+1}(B){\overset {\pi ^{*}}{\rightarrow }}\operatorname {H} ^{k+m+1}(E){\overset {\pi _{*}}{\rightarrow }}\operatorname {H} ^{k+1}(B)\rightarrow \cdots

,

называется последовательностью Гайзина .

Пример

Позволять $\pi :M\times [0,1]\to M$ быть очевидной проекцией. Сначала предположим $M=\mathbb {R} ^{n}$ с координатами $x_{j}$ и рассмотрим k -форму:

\alpha =f\,dx_{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{i_{k}}+g\,dt\wedge dx_{j_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{j_{k-1}}.

Тогда в каждой M точке

\pi _{*}(\alpha )=\pi _{*}(g\,dt\wedge dx_{j_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{j_{k-1}})=\left(\int _{0}^{1}g(\cdot ,t)\,dt\right)\,{dx_{j_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{j_{k-1}}}.

^[1]

Из этого локального расчета легко следует следующая формула (см. Poincaré_lemma#Direct_proof ): если $\alpha$ является какой-либо k -формой на $M\times [0,1],$

\pi _{*}(d\alpha )=\alpha _{1}-\alpha _{0}-d\pi _{*}(\alpha )

где $\alpha _{i}$ это ограничение $\alpha$ к $M\times \{i\}$ .

В качестве применения этой формулы пусть $f:M\times [0,1]\to N$ быть гладким отображением (мыслимым как гомотопия). Тогда композиция $h=\pi _{*}\circ f^{*}$ — гомотопический оператор (также называемый цепной гомотопией):

d\circ h+h\circ d=f_{1}^{*}-f_{0}^{*}:\Omega ^{k}(N)\to \Omega ^{k}(M),

что подразумевает $f_{1},f_{0}$ индуцировать одно и то же отображение на когомологиях - факт, известный как гомотопическая инвариантность когомологий де Рама . Например, как следствие, пусть U — открытый шар в R ^н с центром в начале координат и пусть $f_{t}:U\to U,x\mapsto tx$ . Затем $\operatorname {H} ^{k}(U;\mathbb {R} )=\operatorname {H} ^{k}(pt;\mathbb {R} )$ , факт, известный как лемма Пуанкаре .

Формула прогноза

Для векторного расслоения π : E → B над многообразием мы говорим, что дифференциальная форма α на E имеет вертикально-компактный носитель, если ограничение $\alpha |_{\pi ^{-1}(b)}$ имеет компактную поддержку для каждого b в B . Мы пишем $\Omega _{vc}^{*}(E)$ для векторного пространства дифференциальных форм на E с вертикально-компактным носителем.Если E ориентировано как векторное расслоение, точно так же , как и раньше, мы можем определить интегрирование вдоль слоя:

\pi _{*}:\Omega _{vc}^{*}(E)\to \Omega ^{*}(B).

Следующая формула известна как формула проекции. ^[2] Мы делаем $\Omega _{vc}^{*}(E)$ право $\Omega ^{*}(B)$ -модуль по настройке $\alpha \cdot \beta =\alpha \wedge \pi ^{*}\beta$ .

Предложение — Пусть $\pi :E\to B$ — ориентированное векторное расслоение над многообразием и $\pi _{*}$ интегрирование вдоль волокна. Затем

$\pi _{*}$ является $\Omega ^{*}(B)$ -линейный; т. е. для любой формы β на B и любой формы α на E с вертикально-компактным носителем
$\pi _{*}(\alpha \wedge \pi ^{*}\beta )=\pi _{*}\alpha \wedge \beta .$
Если B ориентировано как многообразие, то для любой формы α на E с компактным вертикальным носителем и любой формы β на B с компактным носителем
$\int _{E}\alpha \wedge \pi ^{*}\beta =\int _{B}\pi _{*}\alpha \wedge \beta$ .

Доказательство: 1. Поскольку утверждение локально, можно считать, что π тривиально: т. е. $\pi :E=B\times \mathbb {R} ^{n}\to B$ является проекцией. Позволять $t_{j}$ — координаты на волокне. Если $\alpha =g\,dt_{1}\wedge \cdots \wedge dt_{n}\wedge \pi ^{*}\eta$ , тогда, поскольку $\pi ^{*}$ является кольцевым гомоморфизмом,

\pi _{*}(\alpha \wedge \pi ^{*}\beta )=\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\cdot ,t_{1},\dots ,t_{n})dt_{1}\dots dt_{n}\right)\eta \wedge \beta =\pi _{*}(\alpha )\wedge \beta .

Аналогично, обе части равны нулю, если α не содержит dt . Доказательство 2 аналогично. $\square$

См. также

Карта трансгрессии

Примечания

^ Если $\alpha =g\,dt\wedge dx_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{j_{k-1}}$ , то в точке b из M , отождествляя $\partial _{x_{j}}$ с их лифтами у нас есть:
$\beta (\partial _{t})=\alpha (\partial _{t},\partial _{x_{j_{1}}},\dots ,\partial _{x_{j_{k-1}}})=g(b,t)$
и так
$\pi _{*}(\alpha )_{b}(\partial _{x_{j_{1}}},\dots ,\partial _{x_{j_{k-1}}})=\int _{[0,1]}\beta =\int _{0}^{1}g(b,t)\,dt.$
Следовательно, $\pi _{*}(\alpha )_{b}=\left(\int _{0}^{1}g(b,t)\,dt\right)dx_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{j_{k-1}}.$ По тому же расчету $\pi _{*}(\alpha )=0$ если dt не появляется в α .
^ Ботт и Ту 1982 , Предложение 6.15.; обратите внимание, что они используют другое определение, отличное от приведенного здесь, что приводит к изменению знака.

Ссылки

Мишель Оден , Действия тора на симплектических многообразиях, Биркхаузер, 2004 г.
Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии , Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-90613-4

[1] Если $\alpha =g\,dt\wedge dx_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{j_{k-1}}$ , то в точке b из M , отождествляя $\partial _{x_{j}}$ с их лифтами у нас есть:
$\beta (\partial _{t})=\alpha (\partial _{t},\partial _{x_{j_{1}}},\dots ,\partial _{x_{j_{k-1}}})=g(b,t)$
и так
$\pi _{*}(\alpha )_{b}(\partial _{x_{j_{1}}},\dots ,\partial _{x_{j_{k-1}}})=\int _{[0,1]}\beta =\int _{0}^{1}g(b,t)\,dt.$
Следовательно, $\pi _{*}(\alpha )_{b}=\left(\int _{0}^{1}g(b,t)\,dt\right)dx_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{j_{k-1}}.$ По тому же расчету $\pi _{*}(\alpha )=0$ если dt не появляется в α .

[2] Ботт и Ту 1982 , Предложение 6.15.; обратите внимание, что они используют другое определение, отличное от приведенного здесь, что приводит к изменению знака.

[1]

[2]