Сноп (математика)

Эта статья о пучках на топологических пространствах . Для пучков на сайте см. Топологию Гротендика и Топос .

В математике пучок , ( мн. ч .: связки ) — это инструмент для систематического отслеживания данных (таких как множества , абелевы группы кольца ) , прикрепленных к открытым множествам топологического пространства и определенных локально по отношению к ним. Например, для каждого открытого набора данными может быть кольцо непрерывных функций, определенных в этом открытом наборе. Такие данные хорошо себя ведут, поскольку их можно ограничить меньшими открытыми наборами, а также данные, присвоенные открытому набору, эквивалентны всем коллекциям совместимых данных, присвоенным коллекциям меньших открытых наборов, охватывающим исходное открытое множество (интуитивно, каждый набор данных представляет собой сумму составляющих его данных).

Область математики, изучающая пучки, называется теорией пучков .

Пучки концептуально понимаются как общие и абстрактные объекты . Их правильное определение скорее техническое. Они конкретно определяются, например, как пучки множеств или как пучки колец , в зависимости от типа данных, присвоенных открытым наборам.

Существуют также отображения (или морфизмы ) одного пучка в другой; пучки (определенного типа, например пучки абелевых групп ) со своими морфизмами на фиксированном топологическом пространстве образуют категорию . С другой стороны, каждому непрерывному отображению соответствует как функтор прямого образа , переводящий пучки и их морфизмы на области в пучки и морфизмы на кодобласти , так и функтор обратного образа, действующий в противоположном направлении. Эти функторы и некоторые их варианты являются важной частью теории пучков.

Благодаря своей общей природе и универсальности пучки имеют несколько приложений в топологии, особенно в алгебраической и дифференциальной геометрии . Во-первых, геометрические структуры, такие как дифференцируемое многообразие или схема, могут быть выражены через пучок колец в пространстве. В таких контекстах некоторые геометрические конструкции, такие как векторные расслоения или делители, естественным образом задаются в терминах пучков. Во-вторых, пучки обеспечивают основу для очень общей теории когомологий , которая включает в себя также «обычные» теории топологических когомологий, такие как сингулярные когомологии . Особенно в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий когомологии пучков обеспечивают мощную связь между топологическими и геометрическими свойствами пространств. Пучки также составляют основу теории D -модулей , которая обеспечивает приложения к теории дифференциальных уравнений . Кроме того, обобщения пучков на более общие параметры, чем топологические пространства, такие как топология Гротендика. , предоставили приложения к математической логике и теории чисел .

Определения и примеры

Во многих разделах математики несколько структур, определенных в топологическом пространстве. $X$ (например, многообразие ) может быть естественным образом локализовано или ограничено открытыми дифференцируемое подмножествами $U\subseteq X$: типичные примеры включают непрерывные вещественные или комплексные функции, $n$-раз дифференцируемые (действительные или комплексные) функции, ограниченные функции с действительным знаком, векторные поля и сечения любого векторного расслоения в пространстве. Возможность ограничить данные меньшими открытыми подмножествами приводит к появлению концепции предпучков. Грубо говоря, пучки — это те предпучки, в которых локальные данные можно склеить с глобальными данными.

Предварительные шкивы

См. Также: Предварительный пучок (теория категорий)

Позволять $X$ быть топологическим пространством. пучок Предварительный $F$ комплектов на $X$ состоит из следующих данных:

• За каждый открытый набор $U$ из $X$, существует набор $F(U)$. Это множество также обозначается $\Gamma (U,F)$. этого множества называются секциями Элементы $F$ над $U$. Разделы $F$ над $X$ называются разделами глобальными $F$.
• Для каждого включения открытых множеств $V\subseteq U$, функция $\operatorname {res} _{V,U}\colon F(U)\rightarrow F(V)$. Учитывая множество приведенных ниже примеров, морфизмы ${\text{res}}_{V,U}$ называются морфизмами ограничения . Если $s\in F(U)$, то его ограничение ${\text{res}}_{V,U}(s)$ часто обозначается $s|_{V}$ по аналогии с ограничением функций.

Морфизмы ограничения должны удовлетворять двум дополнительным ( функториальным ) свойствам:

• Для каждого открытого набора $U$ из $X$, морфизм ограничения $\operatorname {res} _{U,U}\colon F(U)\rightarrow F(U)$ является тождественным морфизмом на $F(U)$.
• Если у нас есть три открытых набора $W\subseteq V\subseteq U$, то составной ${\text{res}}_{W,V}\circ {\text{res}}_{V,U}={\text{res}}_{W,U}$

Неформально вторая аксиома гласит, что не имеет значения, ограничимся ли мы до за один шаг или ограничимся сначала до V , а затем до W. W Краткая функториальная переформулировка этого определения приведена ниже.

Многие примеры предпучков происходят из разных классов функций: к любому $U$, можно назначить набор $C^{0}(U)$ непрерывных действительных функций на $U$. Тогда карты ограничений просто задаются путем ограничения непрерывной функции на $U$ к меньшему открытому подмножеству $V$, что опять-таки является непрерывной функцией. Две аксиомы предпучка проверяются сразу, тем самым давая пример предпучка. Это можно расширить до пучка голоморфных функций ${\mathcal {H}}(-)$ и пучок гладких функций $C^{\infty }(-)$.

Другой распространенный класс примеров — присвоение $U$ множество постоянных действительных функций на $U$. Этот предпучок называется постоянным предпучком, связанным с $\mathbb {R}$ и обозначается ${\underline {\mathbb {R} }}^{psh}$.

Шкивы

Учитывая предпучок, возникает естественный вопрос: в какой степени его сечения на открытом множестве? $U$ определяются их ограничениями на открытие подмножеств $U$. Пучок — это предпучок, секции которого в техническом смысле однозначно определяются своими ограничениями.

Аксиоматически пучок — это предпучок, который удовлетворяет обеим следующим аксиомам:

1. ( локальность ) Предположим $U$ представляет собой открытый набор, $\{U_{i}\}_{i\in I}$ представляет собой открытую крышку $U$ с $U_{i}\subseteq U$ для всех $i\in I$, и $s,t\in F(U)$ являются разделами. Если $s|_{U_{i}}=t|_{U_{i}}$ для всех $i\in I$, затем $s=t$.
2. ( Склеивание ) Предположим $U$ представляет собой открытый набор, $\{U_{i}\}_{i\in I}$ представляет собой открытую крышку $U$ с $U_{i}\subseteq U$ для всех $i\in I$, и $\{s_{i}\in F(U_{i})\}_{i\in I}$ представляет собой семейство разделов. Если все пары разделов договорились о перекрытии своих доменов, т. е. если $s_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}$ для всех $i,j\in I$, то существует участок $s\in F(U)$ такой, что $s|_{U_{i}}=s_{i}$ для всех $i\in I$.

В обеих этих аксиомах гипотеза об открытой крышке эквивалентна предположению, что ${\textstyle \bigcup _{i\in I}U_{i}=U}$.

Раздел $s$ существование которого гарантируется аксиомой 2, называется склейкой , конкатенацией или сопоставлением секций s _i . По аксиоме 1 оно единственно. Разделы $s_{i}$ и $s_{j}$ удовлетворяющие предварительному условию согласия аксиомы 2, часто называют совместимыми ; таким образом, аксиомы 1 и 2 вместе утверждают, что любой набор попарно совместимых секций может быть однозначно склеен . , Отделенный предпучок или монопредпучок , — это предпучок, удовлетворяющий аксиоме 1.

Предпучок, состоящий из упомянутых выше непрерывных функций, является пучком. Это утверждение сводится к проверке того, что для заданных непрерывных функций $f_{i}:U_{i}\to \mathbb {R}$ которые согласуются на пересечениях $U_{i}\cap U_{j}$, существует единственная непрерывная функция $f:U\to \mathbb {R}$ ограничение которого равно $f_{i}$. Напротив, постоянный предпучок обычно не является пучком, поскольку он не удовлетворяет аксиоме локальности на пустом множестве (более подробно это объясняется в разделе « Постоянный пучок »).

Предшкивы и шкивы обычно обозначаются заглавными буквами. $F$ особенно распространен, предположительно, для французского , обозначающего сноп слова faisceau . Использование каллиграфических букв, таких как ${\mathcal {F}}$ также распространено.

Можно показать, что для задания пучка достаточно указать его ограничение на открытые множества базиса топологии лежащего в его основе пространства. Более того, можно также показать, что достаточно проверить приведенные выше аксиомы пучков относительно открытых множеств покрытия. Это наблюдение используется для построения другого примера, имеющего решающее значение в алгебраической геометрии, а именно квазикогерентных пучков . Здесь рассматриваемое топологическое пространство представляет собой спектр коммутативного кольца $R$, точки которого являются простыми идеалами $p$ в $R$. Открытые наборы $D_{f}:=\{p\subseteq R,f\notin p\}$ составляют основу топологии Зарисского на этом пространстве. Учитывая $R$-модуль $M$, существует пучок, обозначаемый ${\tilde {M}}$ по спецификации $R$, что удовлетворяет

${\tilde {M}}(D_{f}):=M[1/f],$ локализация ​ ​ $M$ в $f$.

Существует еще одна характеристика пучков, эквивалентная рассмотренной ранее.Предварительный пучок ${\mathcal {F}}$ является пучком тогда и только тогда, когда для любого открытого $U$ и любая открытая крышка $(U_{a})$ из $U$, ${\mathcal {F}}(U)$ это волокнистый продукт ${\mathcal {F}}(U)\cong {\mathcal {F}}(U_{a})\times _{{\mathcal {F}}(U_{a}\cap U_{b})}{\mathcal {F}}(U_{b})$. Эта характеристика полезна при построении пучков, например, если ${\mathcal {F}},{\mathcal {G}}$ являются абелевыми пучками, то ядро ​​морфизма пучков ${\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}$ является пучком, поскольку проективные пределы коммутируют с проективными пределами. С другой стороны, коядро не всегда является пучком, поскольку индуктивный предел не обязательно коммутирует с проективными пределами. Один из способов исправить это — рассмотреть нётеровы топологические пространства; все открытые множества компактны, так что коядро представляет собой пучок, поскольку конечные проективные пределы коммутируют с индуктивными пределами.

Дальнейшие примеры

Пучок участков непрерывной карты

Любая непрерывная карта $f:Y\to X$ топологических пространств определяет пучок $\Gamma (Y/X)$ на $X$ установив

$\Gamma (Y/X)(U)=\{s:U\to Y,f\circ s=\operatorname {id} _{U}\}.$

Любой такой $s$ называют частью обычно $f$, и этот пример является причиной того, что элементы в $F(U)$ обычно называются разделами. Эта конструкция особенно важна, когда $f$ — это проекция расслоения на его базовое пространство. Например, пучки гладких функций — это пучки сечений тривиального расслоения . Другой пример: пучок секций

$\mathbb {C} {\stackrel {\exp }{\to }}\mathbb {C} \setminus \{0\}$

это пучок, который присваивает любому $U$ множество ветвей комплексного логарифма на $U$.

Учитывая точку $x$ и абелева группа $S$, сноп небоскреба $S_{x}$ определяется следующим образом: если $U$ представляет собой открытое множество, содержащее $x$, затем $S_{x}(U)=S$. Если $U$ не содержит $x$, затем $S_{x}(U)=0$, тривиальная группа . Карты ограничений являются либо тождествами на $S$, если оба открытых множества содержат $x$, или нулевое отображение в противном случае.

Шкивы на коллекторах

На $n$-мерный $C^{k}$-многообразие $M$, существует ряд важных пучков, таких как пучок $j$-раз непрерывно дифференцируемые функции ${\mathcal {O}}_{M}^{j}$ (с $j\leq k$). Его разделы на некоторых открытых $U$ являются $C^{j}$-функции $U\to \mathbb {R}$. Для $j=k$, этот пучок называется структурным пучком и обозначается ${\mathcal {O}}_{M}$. Ненулевое $C^{k}$ функции также образуют пучок, обозначаемый ${\mathcal {O}}_{X}^{\times }$. Дифференциальные формы (степени $p$) также образуют пучок $\Omega _{M}^{p}$. Во всех этих примерах морфизмы ограничения задаются ограничивающими функциями или формами.

Отправка задания $U$ к компактно поддерживаемым функциям на $U$ не является пучком, поскольку, вообще говоря, нет возможности сохранить это свойство путем перехода к меньшему открытому подмножеству. Вместо этого это формирует коспук , двойную концепцию, в которой карты ограничений идут в противоположном направлении, чем в случае с пучками. Однако взятие двойственного к этим векторным пространствам действительно дает пучок, пучок распределений .

Предварительные шкивы, которые не являются шкивами

Помимо упомянутого выше постоянного предпучка, который обычно не является пучком, существуют и другие примеры предпучков, которые не являются пучками:

• Позволять $X$ быть двухточечным топологическим пространством $\{x,y\}$ с дискретной топологией. Определить предпучок $F$ следующее: $$F(\varnothing )=\{\varnothing \},\ F(\{x\})=\mathbb {R} ,\ F(\{y\})=\mathbb {R} ,\ F(\{x,y\})=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$$Карта ограничений $F(\{x,y\})\to F(\{x\})$ это проекция $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ на свою первую координату и карту ограничений $F(\{x,y\})\to F(\{y\})$ это проекция $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ на свою вторую координату. $F$ представляет собой предпучок, который не разделен: глобальный раздел определяется тремя числами, но значения этого раздела превышают $\{x\}$ и $\{y\}$ определить только два из этих чисел. Итак, хотя мы можем склеить любые две секции $\{x\}$ и $\{y\}$, мы не можем склеить их однозначно.
• Позволять $X=\mathbb {R}$ быть настоящей линией , и пусть $F(U)$ — множество ограниченных непрерывных функций на $U$. Это не связка, потому что не всегда можно склеить. Например, пусть $U_{i}$ быть набором всех $x$ такой, что $|x|<i$. Функция идентификации $f(x)=x$ ограничено на каждом $U_{i}$. В результате мы получаем отрезок $s_{i}$ на $U_{i}$. Однако эти секции не склеиваются, поскольку функция $f$ не ограничено на действительной прямой. Следовательно $F$ является предпучком, но не пучком. Фактически, $F$ отделен, поскольку он является подпучком пучка непрерывных функций.

Мотивирующие пучки из комплексных аналитических пространств и алгебраической геометрии

Одна из исторических причин создания пучков возникла из изучения сложных многообразий . сложная аналитическая геометрия , и теория схем из алгебраической геометрии . Это связано с тем, что во всех предыдущих случаях мы рассматриваем топологическое пространство $X$ вместе со связкой структуры ${\mathcal {O}}$ придавая ему структуру комплексного многообразия, комплексного аналитического пространства или схемы. Эта перспектива оснащения топологического пространства пучком важна для теории локально окольцованных пространств (см. ниже).

Технические проблемы со сложными коллекторами

Одним из главных исторических мотивов введения пучков было создание устройства, отслеживающего голоморфные функции на комплексных многообразиях . Например, на компактном комплексном многообразии $X$ (например, комплексное проективное пространство или исчезающее место в проективном пространстве однородного многочлена ), единственные голоморфные функции

$f:X\to \mathbb {C}$

являются постоянными функциями. Это означает, что существуют два компактных комплексных многообразия. $X,X'$ которые не изоморфны, но, тем не менее, их кольца глобальных голоморфных функций, обозначаемые ${\mathcal {H}}(X),{\mathcal {H}}(X')$, изоморфны. Сравните это с гладкими многообразиями , где каждое многообразие $M$ может быть встроен в некоторые $\mathbb {R} ^{n}$, следовательно, его кольцо гладких функций $C^{\infty }(M)$ происходит из-за ограничения гладких функций из $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$. Еще одна сложность при рассмотрении кольца голоморфных функций на комплексном многообразии. $X$ дано достаточно маленькое открытое множество $U\subseteq X$, голоморфные функции будут изоморфны ${\mathcal {H}}(U)\cong {\mathcal {H}}(\mathbb {C} ^{n})$. Пучки являются прямым инструментом для решения этой сложности, поскольку они позволяют отслеживать голоморфную структуру в базовом топологическом пространстве. $X$ на произвольных открытых подмножествах $U\subseteq X$. Это значит, как $U$ становится более сложным топологически, кольцо ${\mathcal {H}}(U)$ можно выразить, приклеив ${\mathcal {H}}(U_{i})$. Заметим, что иногда этот пучок обозначают ${\mathcal {O}}(-)$ или просто ${\mathcal {O}}$или даже ${\mathcal {O}}_{X}$ когда мы хотим подчеркнуть пространство, с которым связан пучок структур.

Отслеживание подмногообразий с помощью пучков

Другой распространенный пример пучков можно построить, рассматривая комплексное подмногообразие. $Y\hookrightarrow X$. Имеется связанный пучок ${\mathcal {O}}_{Y}$ который принимает открытое подмножество $U\subseteq X$ и дает кольцо голоморфных функций на $U\cap Y$. Этот вид формализма оказался чрезвычайно мощным и мотивирует многие гомологические алгебры, такие как когомологии пучков , поскольку теория пересечений может быть построена с использованием этих видов пучков из формулы пересечения Серра.

Операции со связками

Морфизмы

Морфизмы пучков, грубо говоря, аналогичны функциям между ними. В отличие от функции между множествами, которая представляет собой просто присвоение выходных данных входным, морфизмы пучков также должны быть совместимы с локально-глобальными структурами базовых пучков. Эта идея конкретизируется в следующем определении.

Позволять $F$ и $G$ — два пучка множеств (соответственно абелевых групп, колец и т. д.) на $X$. Морфизм ​ $\varphi :F\to G$ состоит из морфизма $\varphi _{U}:F(U)\to G(U)$ множеств (соответственно абелевых групп, колец и т. д.) для каждого открытого множества $U$ из $X$, при условии, что этот морфизм совместим с ограничениями. Другими словами, для каждого открытого подмножества $V$ открытого набора $U$, следующая диаграмма коммутативна .

${\begin{array}{rcl}F(U)&\xrightarrow {\quad \varphi _{U}\quad } &G(U)\\r_{V,U}{\Biggl \downarrow }&&{\Biggl \downarrow }r'_{V,U}\\F(V)&{\xrightarrow[{\quad \varphi _{V}\quad }]{}}&G(V)\end{array}}$

Например, взятие производной дает морфизм пучков на $\mathbb {R}$: ${\mathcal {O}}_{\mathbb {R} }^{n}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {R} }^{n-1}.$Действительно, учитывая ( $n$-раз непрерывно дифференцируемая) функция $f:U\to \mathbb {R}$ (с $U$ в $\mathbb {R}$ открыт), ограничение (на меньшее открытое подмножество $V$) ее производной равна производной $f|_{V}$.

С этим понятием морфизма пучки множеств (соответственно абелевы группы, кольца и т. д.) на фиксированном топологическом пространстве $X$ сформировать категорию . общие категориальные понятия моно- , эпи- и изоморфизмов Поэтому к пучкам можно применять .

Морфизм $\varphi \colon F\rightarrow G$ снопов на $X$ является изоморфизмом (соответственно мономорфизмом) тогда и только тогда, когда существует открытое накрытие $\{U_{\alpha }\}$ из $X$ такой, что $\varphi |_{U_{\alpha }}\colon F(U_{\alpha })\rightarrow G(U_{\alpha })$ являются изоморфизмами (соответственно инъективными морфизмами) множеств (соответственно абелевых групп, колец и т. д.) для всех $\alpha$. Эти утверждения дают примеры того, как работать с пучками, используя локальную информацию, но важно отметить, что мы не можем таким же образом проверить, является ли морфизм пучков эпиморфизмом. Действительно, утверждение, отображающееся на уровне открытых множеств $\varphi _{U}\colon F(U)\rightarrow G(U)$ не всегда сюръективны для эпиморфизмов пучков, эквивалентно неточности функтора глобальных сечений или, что то же самое, нетривиальности пучковых когомологий .

Стебли снопа

Основная статья: Стебель (сноп)

Стебель ​ ${\mathcal {F}}_{x}$ из снопа ${\mathcal {F}}$ фиксирует свойства пучка «вокруг» точки $x\in X$, обобщающие ростки функций .Здесь «вокруг» означает, что, концептуально, мы рассматриваем все меньшие и меньшие окрестности точки. Конечно, ни один отдельный район не будет достаточно маленьким, что требует учета какого-то ограничения. Точнее, стебель определяется как

${\mathcal {F}}_{x}=\varinjlim _{U\ni x}{\mathcal {F}}(U),$

прямой предел распространяется на все открытые подмножества $X$ содержащий данную точку $x$. Другими словами, элемент стебля задается сечением по некоторой открытой окрестности $x$, и два таких участка считаются эквивалентными, если их ограничения совпадают в меньшей окрестности.

Естественный морфизм $F(U)\to F_{x}$ занимает раздел $x$ в $F(U)$ к своему зародышу в $x$. Это обобщает обычное определение ростка .

Во многих ситуациях знания стеблей снопа достаточно, чтобы контролировать сам сноп. Например, на стеблях можно проверить, является ли морфизм пучков мономорфизмом, эпиморфизмом или изоморфизмом. В этом смысле сноп определяется его стеблями, которые являются локальными данными. Напротив, глобальная информация представлена ​​в виде пучка, т. е. глобальных разделов , т. е. разделов. ${\mathcal {F}}(X)$ на всем пространстве $X$, обычно несут меньше информации. Например, для компактного комплексного многообразия $X$, глобальные сечения пучка голоморфных функций — это просто $\mathbb {C}$, поскольку любая голоморфная функция

$X\to \mathbb {C}$

постоянна по теореме Лиувилля .

Превращение предварительного снопа в сноп

Часто бывает полезно взять данные, содержащиеся в предварительном пучке, и выразить их в виде пучка. Оказывается, есть лучший способ сделать это. Требуется предварительный пучок $F$ и производит новый пучок $aF$ называется связкой или пучком, связанным с предпучком $F$. Например, снопирование постоянного предпучка (см. выше) называется постоянным пучком . Несмотря на название, его разделы представляют собой локально постоянные функции.

Сноп $aF$ можно построить, используя пространство этальное $F$, а именно как пучок участков карты

$\mathrm {Spe} (F)\to X.$

Еще одна конструкция снопа $aF$ происходит с помощью функтора $L$ от предшкивов к предпучкам, что постепенно улучшает свойства предпучка: для любого предпучка $F$, $LF$ является отделенным предпучком, и для любого отделенного предпучка $F$, $LF$ представляет собой сноп. Соответствующий пучок $aF$ дается $LLF$.

Идея о том, что сноп $aF$ является наилучшим приближением к $F$ пучком уточняется с помощью следующего универсального свойства : существует естественный морфизм предпучков. $i\colon F\to aF$ так что для любого связки $G$ и любой морфизм предпучков $f\colon F\to G$, существует единственный морфизм пучков ${\tilde {f}}\colon aF\rightarrow G$ такой, что $f={\tilde {f}}i$. Фактически $a$ является левым сопряженным функтором к функтору включения (или функтору забывчивости ) из категории пучков в категорию предпучков, и $i$ является единицей присоединения. Таким образом, категория пучков превращается в Жиро подкатегорию предпучков . Эта категоричная ситуация является причиной того, что функтор расслоения появляется при построении коядер пучковых морфизмов или тензорных произведений пучков, но не для ядер, скажем.

Подшкивы, частные шкивы

Если $K$ является подпучком пучка $F$ абелевых групп, то факторпучок $Q$ пучок связан с предпучком $U\mapsto F(U)/K(U)$; другими словами, факторпучок укладывается в точную последовательность пучков абелевых групп;

$0\to K\to F\to Q\to 0.$

(это также называется расширением пучка .)

Позволять $F,G$ — пучки абелевых групп. Набор $\operatorname {Hom} (F,G)$ морфизмов пучков из $F$ к $G$ образует абелеву группу (по абелевой групповой структуре $G$). Сноп хом ​ $F$ и $G$, обозначается,

${\mathcal {Hom}}(F,G)$

есть пучок абелевых групп $U\mapsto \operatorname {Hom} (F|_{U},G|_{U})$ где $F|_{U}$ находится ли сноп на $U$ предоставлено $(F|_{U})(V)=F(V)$ (обратите внимание, что снопификация здесь не требуется). Прямая сумма $F$ и $G$ это пучок, заданный $U\mapsto F(U)\oplus G(U)$и тензорное произведение $F$ и $G$ пучок связан с предпучком $U\mapsto F(U)\otimes G(U)$.

Все эти операции распространяются на пучки модулей над пучком колец. $A$; вышеописанное является особым случаем, когда $A$ постоянный пучок ${\underline {\mathbf {Z} }}$.

Базовая функториальность

Основная статья: Функторы изображений для пучков

Поскольку данные (пред)пучка зависят от открытых подмножеств базового пространства, пучки в разных топологических пространствах не связаны друг с другом в том смысле, что между ними нет морфизмов. Однако, учитывая непрерывное отображение $f:X\to Y$ между двумя топологическими пространствами движение вперед и назад связывают пучки на $X$ тем, кто на $Y$ и наоборот.

Прямое изображение

Выдвижение вперед (также известное как прямое изображение ) связки ${\mathcal {F}}$ на $X$ это пучок, определяемый

$(f_{*}{\mathcal {F}})(V)={\mathcal {F}}(f^{-1}(V)).$

Здесь $V$ является открытым подмножеством $Y$, так что его прообраз открыт в $X$ благодаря непрерывности $f$. Эта конструкция оживляет связку небоскреба $S_{x}$ упоминалось выше:

$S_{x}=i_{*}(S)$

где $i:\{x\}\to X$ является включение, и $S$ рассматривается как пучок на синглтоне (по $S(\{*\})=S,S(\emptyset )=\emptyset$.

Для отображения локально компактных пространств прямой образ с компактным носителем является подпучком прямого образа. По определению, $(f_{!}{\mathcal {F}})(V)$ состоит из тех $f\in {\mathcal {F}}(f^{-1}(V))$ чья поддержка - правильная карта над $V$. Если $f$ является собственным, то $f_{!}{\mathcal {F}}=f_{*}{\mathcal {F}}$, но в целом они не согласны.

Обратное изображение

Обратный образ или обратный образ идет другим путем: он создает пучок на $X$, обозначенный $f^{-1}{\mathcal {G}}$ из снопа ${\mathcal {G}}$ на $Y$. Если $f$ является включением открытого подмножества, то прообраз является просто ограничением, т. е. он задается формулой $(f^{-1}{\mathcal {G}})(U)={\mathcal {G}}(U)$ для открытого $U$ в $X$. Сноп $F$ (на каком-то пространстве $X$) называется локально постоянным, если $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ некоторыми открытыми подмножествами $U_{i}$ такое, что ограничение $F$ для всех этих открытых подмножеств является постоянным. В широком диапазоне топологических пространств $X$, такие эквивалентны представлениям пучки фундаментальной группы $\pi _{1}(X)$.

Для общих карт $f$, определение $f^{-1}{\mathcal {G}}$ более вовлечен; это подробно описано в функторе обратного изображения . Стебель является существенным частным случаем отступления ввиду естественной идентификации, где $i$ как указано выше:

${\mathcal {G}}_{x}=i^{-1}{\mathcal {G}}(\{x\}).$

В более общем плане стебли удовлетворяют $(f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{f(x)}$.

Расширение на ноль

Для включения $j:U\to X$ открытого подмножества расширение нулем $j_{!}{\mathcal {F}}$ (произносится как «J нижний визг F») снопа ${\mathcal {F}}$ абелевых групп на $U$ - это расслоение предпучка, определяемое формулой

$V\mapsto {\mathcal {F}}(V)$ если $V\subseteq U$ и $V\mapsto 0$ в противном случае.

Для снопа ${\mathcal {G}}$ на $X$, эта конструкция в некотором смысле дополняет $i_{*}$, где $i:X\setminus U\to X$ является включение дополнения $U$:

$(j_{!}j^{*}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{x}$ для $x$ в $U$, а в противном случае стебель равен нулю, а

$(i_{*}i^{*}{\mathcal {G}})_{x}=0$ для $x$ в $U$, и равно ${\mathcal {G}}_{x}$ в противном случае.

В более общем смысле, если $A\subset X$ является локально замкнутым подмножеством, то существует открытое $U$ из $X$ содержащий $A$ такой, что $A$ закрыт в $U$. Позволять $f:A\to U$ и $j:U\to X$ быть естественными включениями. Тогда расширение нулем пучка ${\mathcal {F}}$ на $A$ определяется $j_{!}f_{*}F$.

Благодаря своему хорошему поведению на стеблях расширение с помощью нулевого функтора полезно для решения вопросов теории снопов на $X$ на слои стратификации , т. е. разложения $X$ на более мелкие, локально замкнутые подмножества.

Дополняет

Шкивы в более общих категориях

В дополнение к (предварительным) пучкам, представленным выше, где ${\mathcal {F}}(U)$ представляет собой просто набор, во многих случаях важно отслеживать дополнительную структуру этих разделов. Например, сечения пучка непрерывных функций естественным образом образуют вещественное векторное пространство , а ограничение представляет собой линейное отображение между этими векторными пространствами.

Предварительные шкивы со значениями в произвольной категории $C$ определяются путем сначала рассмотрения категории открытых множеств на $X$ быть посетальной категорией $O(X)$ объектами которого являются открытые множества $X$ и чьи морфизмы являются включениями. Тогда $C$-значный предпучок на $X$ то же самое, что контравариантный функтор из $O(X)$ к $C$. Морфизмы в этой категории функторов, также известные как естественные преобразования , такие же, как морфизмы, определенные выше, как можно увидеть, разгадав определения.

Если целевая категория $C$ допускает все пределы , $C$-значный предпучок является пучком, если следующая диаграмма является эквалайзером для каждого открытого покрытия ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$ любого открытого множества $U$:

$F(U)\rightarrow \prod _{i}F(U_{i}){{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\prod _{i,j}F(U_{i}\cap U_{j}).$

Здесь первая карта является произведением карт ограничений

$\operatorname {res} _{U_{i},U}\colon F(U)\rightarrow F(U_{i})$

а пара стрелок — произведения двух наборов ограничений

$\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}\colon F(U_{i})\rightarrow F(U_{i}\cap U_{j})$

и

$\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{j}}\colon F(U_{j})\rightarrow F(U_{i}\cap U_{j}).$

Если $C$ является абелевой категорией , это условие также можно перефразировать, потребовав существования точной последовательности

$0\to F(U)\to \prod _{i}F(U_{i})\xrightarrow {\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}-\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{j}}} \prod _{i,j}F(U_{i}\cap U_{j}).$

Частный случай этого состояния пучка имеет место для $U$ будучи пустым набором и набором индексов $I$ также быть пустым. В этом случае условие связки требует ${\mathcal {F}}(\emptyset )$ быть конечным объектом в $C$.

Окольцованные пространства и пучки модулей

Основные статьи: Кольцевое пространство и Связка модулей.

В некоторых геометрических дисциплинах, включая алгебраическую геометрию и дифференциальную геометрию , пространства сопровождаются естественным пучком колец, часто называемым структурным пучком и обозначаемым ${\mathcal {O}}_{X}$. Такая пара $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ называется кольцевым пространством . Многие типы пространств можно определить как определенные типы кольцевых пространств. Обычно все стебли ${\mathcal {O}}_{X,x}$ структурного пучка являются локальными кольцами , и в этом случае пара называется локально окольцованным пространством .

Например, $n$-мерный $C^{k}$ многообразие $M$ — локально окольцованное пространство, структурный пучок которого состоит из $C^{k}$-функции на открытых подмножествах $M$. Свойство быть локально окольцованным пространством приводит к тому, что такая функция, не равная нулю в точке $x$, также отличен от нуля на достаточно малой открытой окрестности $x$. Некоторые авторы фактически определяют вещественные (или комплексные) многообразия как локально окольцованные пространства, локально изоморфные паре, состоящей из открытого подмножества $\mathbb {R} ^{n}$ (соответственно $\mathbb {C} ^{n}$) вместе с пучком $C^{k}$ (соответственно голоморфные) функции. Точно так же схемы , основное понятие пространств в алгебраической геометрии, представляют собой локально окольцованные пространства, локально изоморфные спектру кольца .

Учитывая окольцованное пространство, пучок модулей является пучком ${\mathcal {M}}$ такой, что на каждом открытом множестве $U$ из $X$, ${\mathcal {M}}(U)$ это ${\mathcal {O}}_{X}(U)$-модуля и для каждого включения открытых множеств $V\subseteq U$, карта ограничений ${\mathcal {M}}(U)\to {\mathcal {M}}(V)$ совместим с картой ограничений ${\mathcal {O}}(U)\to {\mathcal {O}}(V)$: ограничение fs — это ограничение $f$ раз больше, чем $s$ для любого $f$ в ${\mathcal {O}}(U)$ и $s$ в ${\mathcal {M}}(U)$.

Наиболее важными геометрическими объектами являются пучки модулей. Например, существует взаимно однозначное соответствие между векторными расслоениями и локально свободными пучками ${\mathcal {O}}_{X}$-модули. Эта парадигма применима к действительным векторным расслоениям, комплексным векторным расслоениям или векторным расслоениям в алгебраической геометрии (где ${\mathcal {O}}$ состоит из гладких функций, голоморфных функций или регулярных функций соответственно). Пучки решений дифференциальных уравнений: $D$-модули , т. е. модули над пучком дифференциальных операторов . В любом топологическом пространстве модули над постоянным пучком ${\underline {\mathbf {Z} }}$ то же самое, что пучки абелевых групп в указанном выше смысле.

Для пучков модулей над пучками колец существует другой функтор обратного образа. Этот функтор обычно обозначается $f^{*}$ и это отличается от $f^{-1}$. См. функтор обратного изображения .

Условия конечности пучков модулей.

Условия конечности модуля над коммутативными кольцами порождают аналогичные условия конечности для пучков модулей: ${\mathcal {M}}$ называется конечно порожденным (соответственно конечно представленным ), если для каждой точки $x$ из $X$, существует открытая окрестность $U$ из $x$, натуральное число $n$ (возможно, в зависимости от $U$) и сюръективный морфизм пучков ${\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {M}}|_{U}$ (соответственно, кроме натурального числа $m$и точная последовательность ${\mathcal {O}}_{X}^{m}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {M}}|_{U}\to 0$.) Параллельно с понятием связного модуля , ${\mathcal {M}}$ называется когерентным пучком , если он имеет конечный тип и если для любого открытого множества $U$ и каждый морфизм пучков $\phi :{\mathcal {O}}_{X}^{n}\to {\mathcal {M}}$ (не обязательно сюръективное), ядро $\phi$ имеет конечный тип. ${\mathcal {O}}_{X}$ когерентен , если он когерентен как модуль над собой. Как и в случае с модулями, связность, как правило, является более строгим условием, чем конечное представление. Теорема Оки о когерентности утверждает, что пучок голоморфных функций на комплексном многообразии когерентен.

Этальное пространство связки

В приведенных выше примерах было отмечено, что некоторые пучки естественным образом возникают как пучки сечений. Фактически, все пучки множеств можно представить как пучки секций топологического пространства, называемого étalé space , от французского слова étalé [etale] , что примерно означает «распространённый». Если $F\in {\text{Sh}}(X)$ сноп закончился $X$, то этальное пространство (иногда называемое этальным пространством ) $F$ это топологическое пространство $E$ вместе с локальным гомеоморфизмом $\pi :E\to X$ такой, что пучок сечений $\Gamma (\pi ,-)$ из $\pi$ является $F$. Пространство $E$ обычно очень странно, и даже если связка $F$ возникает из естественной топологической ситуации, $E$ может не иметь четкой топологической интерпретации. Например, если $F$ — пучок сечений непрерывной функции $f:Y\to X$, затем $E=Y$ тогда и только тогда, когда $f$ является локальным гомеоморфизмом .

Раскинувшееся пространство $E$ построен из стеблей $F$ над $X$. Как совокупность, это их непересекающееся объединение и $\pi$ это очевидная карта, которая принимает значение $x$ на стебле $F$ над $x\in X$. Топология $E$ определяется следующим образом. Для каждого элемента $s\in F(U)$ и каждый $x\in U$, мы получаем зародыш $s$ в $x$, обозначенный $[s]_{x}$ или $s_{x}$. Эти микробы определяют точки $E$. Для любого $U$ и $s\in F(U)$, объединение этих точек (для всех $x\in U$) объявлен открытым в $E$. Обратите внимание, что каждый стебель имеет дискретную топологию как топологию подпространства. Два морфизма между пучками определяют непрерывное отображение соответствующих этальных пространств, совместимое с отображениями проекций (в том смысле, что каждый росток отображается в росток над той же точкой). Это превращает конструкцию в функтор.

Приведенная выше конструкция определяет эквивалентность категорий между категорией пучков множеств на $X$ и категория этальных пространств над $X$. Построение этального пространства также можно применить к предпучку, и в этом случае пучок сечений этального пространства восстанавливает пучок, связанный с данным предпучком.

Эта конструкция превращает все пучки в представимые функторы на определенных категориях топологических пространств. Как и выше, пусть $F$ быть снопом на $X$, позволять $E$ будь его развернутым пространством, и пусть $\pi :E\to X$ быть естественной проекцией. Рассмотрим сверхкатегорию ${\text{Top}}/X$ топологических пространств над $X$, то есть категория топологических пространств вместе с фиксированными непрерывными отображениями в $X$. Каждый объект этой категории представляет собой непрерывное отображение $f:Y\to X$и морфизм из $Y\to X$ к $Z\to X$ представляет собой непрерывную карту $Y\to Z$ который коммутирует с двумя картами в $X$. Существует функтор

$\Gamma :{\text{Top}}/X\to {\text{Sets}}$

отправка объекта $f:Y\to X$ к $f^{-1}F(Y)$. Например, если $i:U\hookrightarrow X$ есть включение открытого подмножества, то

$\Gamma (i)=f^{-1}F(U)=F(U)=\Gamma (F,U)$

и для включения точки $i:\{x\}\hookrightarrow X$, затем

$\Gamma (i)=f^{-1}F(\{x\})=F|_{x}$

это стебель $F$ в $x$. Существует естественный изоморфизм

$(f^{-1}F)(Y)\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {Top} /X}(f,\pi )$,

что показывает, что $\pi :E\to X$ (для этального пространства) представляет функтор $\Gamma$.

$E$ строится так, что отображение проекции $\pi$ является покрывающей картой. В алгебраической геометрии естественный аналог накрывающего отображения называется этальным морфизмом . Несмотря на сходство с «étalé», слово étale [etal] во французском языке имеет другое значение. Можно повернуть $E$ в схему и $\pi$ в морфизм схем таким образом, что $\pi$ сохраняет то же универсальное свойство, но $\pi$ является вообще не этальным морфизмом, поскольку он не квазиконечен. Однако формально оно является этальным .

Определение пучков этальными пространствами старше определения, данного ранее в статье. Это все еще распространено в некоторых областях математики, таких как математический анализ .

Когомологии пучков

Основная статья: Когомологии пучка

В контекстах, где открытое множество $U$ фиксирован, а пучок рассматривается как переменная, множество $F(U)$ также часто обозначается $\Gamma (U,F).$

Как отмечалось выше, этот функтор не сохраняет эпиморфизмов. Вместо этого эпиморфизм пучков ${\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}$ представляет собой карту со следующим свойством: для любого сечения $g\in {\mathcal {G}}(U)$ есть покрытие ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$ где

$U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$

открытых подмножеств, таких, что ограничение $g|_{U_{i}}$ находятся в образе ${\mathcal {F}}(U_{i})$. Однако, $g$ само по себе не обязательно должно быть по образу ${\mathcal {F}}(U)$. Конкретным примером этого явления является экспоненциальная карта

${\mathcal {O}}{\stackrel {\exp }{\to }}{\mathcal {O}}^{\times }$

между пучком голоморфных функций и ненулевыми голоморфными функциями. Это отображение является эпиморфизмом, который означает, что любая ненулевая голоморфная функция $g$ (в некотором открытом подмножестве в $\mathbb {C}$, скажем), допускает комплексный логарифм локально , т. е. после ограничения $g$ присваивать открытые подмножества. Однако, $g$ не обязательно иметь глобальный логарифм.

Когомологии пучков фиксируют это явление. Точнее, для точной последовательности пучков абелевых групп

$0\to {\mathcal {F}}_{1}\to {\mathcal {F}}_{2}\to {\mathcal {F}}_{3}\to 0,$

(т.е. эпиморфизм ${\mathcal {F}}_{2}\to {\mathcal {F}}_{3}$ чьё ядро ${\mathcal {F}}_{1}$), существует длинная точная последовательность $$0\to \Gamma (U,{\mathcal {F}}_{1})\to \Gamma (U,{\mathcal {F}}_{2})\to \Gamma (U,{\mathcal {F}}_{3})\to H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{1})\to H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{2})\to H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{3})\to H^{2}(U,{\mathcal {F}}_{1})\to \dots$$С помощью этой последовательности первая группа когомологий $H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{1})$ является мерой несюръективности отображения между участками ${\mathcal {F}}_{2}$ и ${\mathcal {F}}_{3}$.

Существует несколько различных способов построения пучковых когомологий. Гротендик (1957) ввел их, определив пучковые когомологии как производный функтор $\Gamma$. Этот метод теоретически удовлетворительен, но, поскольку он основан на инъективном разрешении , малопригоден для конкретных вычислений. Резолюции Годемента — еще один общий, но практически недоступный подход.

Вычисление пучковых когомологий

Когомологии пучков часто можно вычислить, особенно в контексте пучков на многообразиях, используя разрешения мягких пучков , тонких пучков и дряблых пучков (также известных как вязочные пучки от французского flasque, означающего дряблый). Например, разбиение аргумента единицы показывает, что пучок гладких функций на многообразии является мягким. Высшие когомологические группы $H^{i}(U,{\mathcal {F}})$ для $i>0$ исчезают для мягких пучков, что дает возможность вычислить когомологии других пучков. Например, комплекс де Рама представляет собой разрешение постоянного пучка ${\underline {\mathbf {R} }}$ на любом гладком многообразии, поэтому пучковые когомологии ${\underline {\mathbf {R} }}$ равна своим когомологиям де Рама .

Другой подход – когомологии Чеха . Когомологии Чеха были первой теорией когомологий, разработанной для пучков, и она хорошо подходит для конкретных вычислений, таких как вычисление когерентных когомологий пучков комплексного проективного пространства. $\mathbb {P} ^{n}$. Он связывает разделы об открытых подмножествах пространства с классами когомологий в пространстве. В большинстве случаев когомологии Чеха вычисляют те же группы когомологий, что и производные когомологии функторов. Однако для некоторых патологических пространств когомологии Чеха дадут правильные значения. $H^{1}$ но неправильные группы высших когомологий. Чтобы обойти эту проблему, Жан-Луи Вердье разработал гиперпокрытия . Гипернакрытия не только дают правильные группы высших когомологий, но и позволяют заменить упомянутые выше открытые подмножества некоторыми морфизмами из другого пространства. Эта гибкость необходима в некоторых приложениях, таких как построение Пьера Делиня смешанных структур Ходжа .

Многие другие группы когомологий когерентного пучка находятся с помощью вложения $i:X\hookrightarrow Y$ пространства $X$ в пространство с известными когомологиями, такими как $\mathbb {P} ^{n}$, или некоторое взвешенное проективное пространство . Таким образом, известные группы пучковых когомологий в этих объемлющих пространствах могут быть связаны с пучками $i_{*}{\mathcal {F}}$, давая $H^{i}(Y,i_{*}{\mathcal {F}})\cong H^{i}(X,{\mathcal {F}})$. Например, когерентные когомологии пучков проективных плоских кривых легко найти . Одной из больших теорем в этом пространстве является разложение Ходжа, найденное с использованием спектральной последовательности, связанной с пучковыми группами когомологий , доказанное Делинем. По сути, $E_{1}$-страница с условиями

$E_{1}^{p,q}=H^{p}(X,\Omega _{X}^{q})$

пучковые когомологии гладкого проективного многообразия $X$, вырождается, смысл $E_{1}=E_{\infty }$. Это дает каноническую структуру Ходжа на группах когомологий $H^{k}(X,\mathbb {C} )$. Позже было обнаружено, что эти группы когомологий можно легко вычислить явно, используя вычеты Гриффитса . См. якобианский идеал . Теоремы такого рода приводят к одной из самых глубоких теорем о когомологиях алгебраических многообразий, теореме о разложении , прокладывающей путь для смешанных модулей Ходжа .

Другим чистым подходом к вычислению некоторых групп когомологий является теорема Бореля-Ботта-Вейля , которая идентифицирует группы когомологий некоторых линейных расслоений на многообразиях флагов с неприводимыми представлениями групп Ли . Эту теорему можно использовать, например, для легкого вычисления групп когомологий всех линейных расслоений на проективном пространстве и грассмановых многообразиях .

Во многих случаях существует теория двойственности пучков, обобщающая двойственность Пуанкаре . См. двойственность Гротендика и двойственность Вердье .

Производные категории пучков

Производная категория категории пучков, скажем, абелевых групп на некотором пространстве X , обозначаемая здесь как $D(X)$, является концептуальным убежищем для пучковых когомологий в силу следующего соотношения:

$H^{n}(X,{\mathcal {F}})=\operatorname {Hom} _{D(X)}(\mathbf {Z} ,{\mathcal {F}}[n]).$

Примыкание между $f^{-1}$, который является левым сопряженным $f_{*}$ (уже на уровне пучков абелевых групп) порождает присоединение

$f^{-1}:D(Y)\rightleftarrows D(X):Rf_{*}$ (для $f:X\to Y$),

где $Rf_{*}$ является производным функтором. Этот последний функтор включает в себя понятие пучковых когомологий, поскольку $H^{n}(X,{\mathcal {F}})=R^{n}f_{*}{\mathcal {F}}$ для $f:X\to \{*\}$.

Нравиться $f_{*}$, прямой образ с компактной поддержкой $f_{!}$ также можно вывести. В силу следующего изоморфизма $Rf_{!}{\mathcal {F}}$ параметризует компактным слоев носителем когомологии с $f$:

$(R^{i}f_{!}{\mathcal {F}})_{y}=H_{c}^{i}(f^{-1}(y),{\mathcal {F}}).$

Этот изоморфизм является примером теоремы о замене базы . Есть еще одно дополнение

$Rf_{!}:D(X)\rightleftarrows D(Y):f^{!}.$

В отличие от всех рассмотренных выше функторов, скрученный (или исключительный) функтор обратного образа $f^{!}$ вообще говоря, определяется только на уровне производных категорий , т. е. функтор не получается как производный функтор некоторого функтора между абелевыми категориями. Если $f:X\to \{*\}$ и X — гладкое ориентируемое многообразие размерности n , то

$f^{!}{\underline {\mathbf {R} }}\cong {\underline {\mathbf {R} }}[n].$

Это вычисление и совместимость функторов с двойственностью (см. двойственность Вердье ) могут быть использованы для получения интеллектуального объяснения двойственности Пуанкаре . В контексте квазикогерентных пучков схем существует аналогичная двойственность, известная как когерентная двойственность .

Извращенные связки — это определенные объекты в $D(X)$, т. е. комплексы пучков (но не собственно пучки). Они являются важным инструментом для изучения геометрии особенностей .

Производные категории когерентных пучков и группа Гротендика.

Другое важное применение производных категорий пучков — это производная категория когерентных пучков на схеме. $X$ обозначенный $D_{Coh}(X)$. Это использовал Гротендик при разработке теории пересечений. используя производные категории и K-теорию , продукт пересечения подсхем $Y_{1},Y_{2}$ представляется в K-теории как

$[Y_{1}]\cdot [Y_{2}]=[{\mathcal {O}}_{Y_{1}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}^{\mathbf {L} }{\mathcal {O}}_{Y_{2}}]\in K({\text{Coh(X)}})$

где ${\mathcal {O}}_{Y_{i}}$ являются когерентными пучками, определяемыми ${\mathcal {O}}_{X}$-модули, заданные их структурными пучками .

Сайты и топои

Основные статьи: топология Гротендика и топос

Андре Вейля утверждали Гипотезы Вейля , что существует теория когомологий для алгебраических многообразий над конечными полями , которая дает аналог гипотезы Римана . Когомологии комплексного многообразия можно определить как пучковые когомологии локально постоянного пучка ${\underline {\mathbf {C} }}$ в евклидовой топологии, которая предлагает определить теорию когомологий Вейля в положительной характеристике как пучковые когомологии постоянного пучка. Но единственной классической топологией такого многообразия является топология Зарисского , а в топологии Зарисского очень мало открытых множеств, настолько мало, что когомологии любого постоянного Зарисского пучка на неприводимом многообразии обращаются в нуль (кроме нулевой степени). Александр Гротендик решил эту проблему, введя топологии Гротендика , которые аксиоматизируют понятие покрытия . Идея Гротендика заключалась в том, что определение пучка зависит только от открытых множеств топологического пространства, а не от отдельных точек. Как только он аксиоматизировал понятие покрытия, открытые множества можно было заменить другими объектами. Предварительный пучок переносит каждый из этих объектов в данные, как и раньше, и пучок — это предпучок, который удовлетворяет аксиоме склейки в отношении нашего нового понятия покрытия. Это позволило Гротендику определить этальные когомологии и ℓ-адические когомологии , которые в конечном итоге были использованы для доказательства гипотез Вейля.

Категория с топологией Гротендика называется сайтом . Категория пучков на участке называется топосом или топосом Гротендика . Понятие топоса позже было абстрагировано Уильямом Ловером и Майлзом Тирни для определения элементарного топоса , который имеет связи с математической логикой .

История

Первые истоки теории пучков трудно определить — они могут совпадать с идеей аналитического продолжения. . возникла узнаваемая, самостоятельная теория пучков Потребовалось около 15 лет, чтобы на основе основополагающих работ по когомологиям .

• 1936 г. Эдуард Чех представляет нервную конструкцию, позволяющую связать симплициальный комплекс с открытым покрытием.
• 1938 Хасслер Уитни дает «современное» определение когомологий, подводя итог работе, проведенной с тех пор, как Дж. У. Александер и Колмогоров впервые определили коцепи .
• 1943 Норман Стинрод публикует статью о гомологии с локальными коэффициентами .
• 1945 Жан Лере публикует работу, выполненную в качестве военнопленного , мотивированную доказательством теорем о неподвижной точке для применения в PDE теории ; это начало теории пучков и спектральных последовательностей .
• 1947 Анри Картан опровергает теорему де Рама методами связки в переписке с Андре Вейлем (см. Теорему Де Рама – Вейля ). Лере в своих курсах дает определение связки через закрытые множества (более поздние панцири ).
• 1948 г. На семинаре Картана впервые излагается теория пучков.
• 1950 Теория связки «второго издания» семинара Картана: пространства связки ( espace étalé используется определение носители ) со стебельчатой ​​структурой. Вводятся и когомологии с носителями. Непрерывные отображения порождают спектральные последовательности. В то же время Киёси Ока вводит идею (смежную с ней) пучка идеалов в нескольких комплексных переменных .
• 1951 г. Семинар Картана доказывает теоремы А и Б , основанные на работе Оки.
• 1953 Теорема конечности для когерентных пучков в аналитической теории доказана Картаном и Жан-Пьером Серром . как и двойственность Серра .
• Статья Серра 1954 г. Когерентные алгебраические пучки. (опубликовано в 1955 году) вводит пучки в алгебраическую геометрию . Эти идеи немедленно использовал Фридрих Хирцебрух , написавший в 1956 году большую книгу о топологических методах.
• 1955 Александр Гротендик на лекциях в Канзасе определяет абелеву категорию и предпучок и с помощью инъективных резолюций позволяет напрямую использовать когомологии пучков во всех топологических пространствах в качестве производных функторов .
• 1956 Оскара Зариски Доклад «Алгебраическая теория пучков».
• Гротендика о Тохоку. 1957 г., статья переписывает гомологическую алгебру ; он доказывает двойственность Гротендика (т. е. двойственность Серра для возможно сингулярных алгебраических многообразий).
• 1957 г. и далее: Гротендик расширяет теорию пучков в соответствии с потребностями алгебраической геометрии, вводя: схемы и общие пучки на них, локальные когомологии , производные категории (с Вердье) и топологии Гротендика . Возникает также его влиятельная схематическая идея « шести операций » в гомологической алгебре.
• 1958 г. Роджера Годемана Опубликована книга по теории пучков. Примерно в это же время Микио Сато предлагает свои гиперфункции , которые, как окажется, имеют теоретико-связочную природу.

В этот момент пучки стали основной частью математики, использование которой ни в коем случае не ограничивалось алгебраической топологией . Позднее было обнаружено, что логика в категориях пучков является интуиционистской логикой (это наблюдение сейчас часто называют семантикой Крипке–Джойала , но, вероятно, следует приписать ряду авторов).

См. также

• Когерентный пучок
• Gerbe
• Стек (математика)
• Сноп спектров
• Извращенная связка
• Предварительный пучок пространств
• Конструктивная связка
• О теореме Рама

Ссылки

• Бредон, Глен Э. (1997), Теория пучков , Тексты для выпускников по математике, том. 170 (2-е изд.), Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-94905-5 , MR   1481706 (ориентирован на традиционные топологические приложения)
• де Катальдо, Андреа Марк; Мильорини, Лука (2010). «Что такое извращенный сноп?» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 57 (5): 632–4. arXiv : 1004.2983 . Бибкод : 2010arXiv1004.2983D . МР   2664042 .
• Годемент, Роджер (2006) [1973], Алгебраическая топология и теория пучков , Париж: Hermann, ISBN  2705612521 , МР   0345092
• Гротендик, Александр (1957), «Sur quelques point d'algèbre homologique», The Tohoku Mathematical Journal , Second Series, 9 (2): 119–221, doi : 10.2748/tmj/1178244839 , ISSN   0040-8735 , MR   0102537
• Хирцебрух, Фридрих (1995), Топологические методы в алгебраической геометрии , Классика математики, Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-58663-0 , MR   1335917 (обновленное издание классической книги, в котором использовано достаточно теории снопов, чтобы показать ее силу)
• Иверсен, Биргер (1986), Когомологии пучков , Universitext, Springer, doi : 10.1007/978-3-642-82783-9 , ISBN  3-540-16389-1 , МР   0842190
• Касивара, Масаки ; Шапира, Пьер (1994), Пучки на многообразиях , Фундаментальные принципы математических наук, том. 292, Springer Verlag, ISBN  978-3-540-51861-7 , MR   1299726 (продвинутые методы, такие как производная категория и исчезающие циклы в наиболее разумных пространствах)
• Мак Лейн, Сондерс ; Мурдейк, Ике (1994), Пучки в геометрии и логике: первое введение в теорию топоса , Universitext, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-97710-2 , MR   1300636 (с акцентом на теорию категорий и топосы)
• Мартин, Уильям Т.; Черн, Шиинг-Шен ; Зариски, Оскар (1956), «Научный отчет о Втором летнем институте, несколько комплексных переменных», Бюллетень Американского математического общества , 62 (2): 79–141, doi : 10.1090/S0002-9904-1956-10013-X , ISSN   0002-9904 , МР   0077995
• Раманан, С. (2005), Глобальное исчисление , Аспирантура по математике, том. 65, Американское математическое общество, номер документа : 10.1090/gsm/065 , ISBN.  0-8218-3702-8 , МР   2104612
• Сибах, Дж. Артур ; Зеебах, Линда А.; Стин, Линн А. (1970), «Что такое пучок», American Mathematical Monthly , 77 (7): 681–703, doi : 10.1080/00029890.1970.11992563 , MR   0263073 , S2CID   203043621
• Серр, Жан-Пьер (1955), «Когерентные алгебраические пучки» (PDF) , Анналы математики , вторая серия, 61 (2): 197–278, doi : 10.2307/1969915 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1969915 , MR   0068874
• Свон, Ричард Г. (1964), Теория пучков , Чикагские лекции по математике (3-е изд.), University of Chicago Press , ISBN  9780226783291 (краткие конспекты лекций)
• Теннисон, Барри Р. (1975), Теория пучков , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 20, Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-20784-3 , МР   0404390 (педагогическое лечение)
• Росиак, Дэниел (2022). Теория снопов на примерах . Кембридж, Массачусетс. дои : 10.7551/mitpress/12581.001.0001 . ISBN  978-0-262-37042-4 . OCLC   1333708310 . S2CID   253133215 . {{cite book}}:CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) (вводная книга в открытом доступе)