Подкатегория Жиро

В математике подкатегории Жиро образуют важный класс подкатегорий категорий Гротендика . Они названы в честь Жана Жиро .

Определение

Позволять ${\mathcal {A}}$ быть категорией Гротендика . Полная подкатегория ${\mathcal {B}}$ называется отражающим , если функтор включения $i\colon {\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {A}}$ имеет левый сопряженный . Если это левый сопряженный $i$ также сохраняет ядра , то ${\mathcal {B}}$ называется подкатегорией Жиро .

Свойства

Позволять ${\mathcal {B}}$ быть Жиро в категории Гротендика ${\mathcal {A}}$ и $i\colon {\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {A}}$ функтор включения.

• ${\mathcal {B}}$ снова является категорией Гротендика.
• Объект $X$ в ${\mathcal {B}}$ инъективен когда тогда и только тогда, $i(X)$ является инъективным в ${\mathcal {A}}$.
• Левый сопряженный $a\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ из $i$ это точно .
• Позволять ${\mathcal {C}}$ быть локализующей подкатегорией ${\mathcal {A}}$ и ${\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}$ быть связанной фактор-категорией . Функтор сечения $S\colon {\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {A}}$ полностью точен и индуцирует эквивалентность между ${\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}$ и подкатегория Жиро ${\mathcal {B}}$ предоставлено ${\mathcal {C}}$-закрытые объекты в ${\mathcal {A}}$.

См. также

• Локализация подкатегории

Ссылки

• Бо Стенстрем; 1975 год; Кольца частных . Бег.