Теоремы Картана A и B
В математике теоремы Картана A и B — это два результата, Анри Картаном примерно в 1951 году и касающиеся когерентного пучка F на многообразии Штейна X. доказанные Они существенны как применительно к нескольким комплексным переменным , так и при общем развитии пучковых когомологий .
Теорема A — F охватывает свои глобальные разделы .
Теорема B формулируется в когомологических терминах (формулировка, которую Картан ( 1953 , стр. 51) приписывает Ж.-П. Серру):
Теорема Б — Н п ( Икс , F ) знак равно 0 для всех p > 0 .
Аналогичные свойства были установлены Серром ( 1957 ) для когерентных пучков в алгебраической геометрии , когда X — аффинная схема . Аналогом теоремы B в этом контексте является следующий ( Hartshorne 1977 , теорема III.3.7):
Теорема B (аналог теории схем) . Пусть X — аффинная схема, F — пучок O квазикогерентный X -модулей для топологии Зарисского на X . Тогда Х п ( Икс , F ) знак равно 0 для всех p > 0 .
Эти теоремы имеют множество важных приложений. Например, они подразумевают, что голоморфная функция на замкнутом комплексном подмногообразии Z многообразия Штейна X может быть расширена до голоморфной функции на всем X . На более глубоком уровне эти теоремы были использованы Жаном-Пьером Серром для доказательства теоремы GAGA .
Теорема B точна в том смысле, что если H 1 ( X , F ) = 0 для всех когерентных пучков F на комплексном многообразии X (соответственно квазикогерентных пучков F на нетеровой схеме X ), то X является штейновым (соответственно аффинным); см. ( Серр 1956 ) (соответственно ( Серр 1957 ) и ( Хартшорн 1977 , Теорема III.3.7)).
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Картан, Х. (1953), «Комплексные аналитические многообразия и когомологии», Конференция в Брюсселе : 41–55, Zbl 0053.05301 .
- Ганнинг, Роберт С .; Росси, Хьюго (1965), Аналитические функции нескольких комплексных переменных , Прентис Холл , doi : 10.1090/chel/368 , ISBN 9780821821657 .
- Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Тексты для аспирантов по математике. Том. 52. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-1-4757-3849-0 . ISBN 978-0-387-90244-9 . МР 0463157 . Збл 0367.14001 . .
- Серр, Жан-Пьер (1956), «Алгебраическая геометрия и аналитическая геометрия» , Annales de l'Institut Fourier , 6 : 1–42, doi : 10.5802/aif.59 , ISSN 0373-0956 , MR 0082175
- Серр, Жан-Пьер (1957), «О когомологиях алгебраических многообразий», Журнал чистой и прикладной математики , 36 : 1–16, Zbl 0078.34604
- Серр, Жан-Пьер (2 декабря 2013 г.). «35. О когомологиях алгебраических многообразий». Сочинения — Сборник статей I: 1949 — 1959 . Спрингер. стр. 469–484. ISBN 978-3-642-39815-5 .