Смешанный модуль Ходжа

В математике смешанные модули Ходжа являются кульминацией теории Ходжа , смешанных структур Ходжа , когомологий пересечения и теоремы о разложении, дающей последовательную основу для обсуждения вариаций вырождающихся смешанных структур Ходжа с помощью формализма шести функторов . По сути, эти объекты представляют собой пару фильтруемого D-модуля $(M,F^{\bullet })$ вместе с извращенным снопом ${\mathcal {F}}$ такой, что функтор из соответствия Римана – Гильберта отправляет $(M,F^{\bullet })$ к ${\mathcal {F}}$ . Это позволяет построить структуру Ходжа на когомологиях пересечений, что было одной из ключевых проблем при открытии этого предмета. Эту проблему решил Морихико Сайто , который нашел способ использовать фильтрацию на когерентном D-модуле как аналог фильтрации Ходжа для структуры Ходжа. ^[1] Это позволило создать структуру Ходжа на пучке когомологий пересечения — простых объектах абелевой категории перверсивных пучков.

Абстрактная структура [ править ]

Прежде чем углубляться в мельчайшие детали определения модулей Mixed Hodge, что довольно сложно, полезно получить представление о том, что на самом деле предоставляет категория модулей Mixed Hodge. Учитывая комплексное алгебраическое многообразие $X$ существует абелева категория ${\textbf {MHM}}(X)$ ^[2]^{стр. 339} со следующими функториальными свойствами

Существует точный функтор ${\text{rat}}_{X}:D^{b}{\textbf {MHM}}(X)\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {Q} )$ называется функтором рационализации. Это дает основной рациональный извращенный пучок смешанного модуля Ходжа.
Существует точный функтор ${\text{Dmod}}_{X}:D^{b}{\textbf {MHM}}(X)\to D_{coh}^{b}({\mathcal {D}}_{X})$ отправка смешанного модуля Ходжа в базовый D-модуль
Эти функторы хорошо ведут себя относительно соответствия Римана-Гильберта. $DR_{X}:D_{Coh}^{b}({\mathcal {D}}_{X})\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {C} )$ , что означает для каждого смешанного модуля Ходжа $M$ существует изоморфизм $\alpha :{\text{rat}}_{X}(M)\otimes \mathbb {C} \xrightarrow {\sim } {\text{DR}}_{X}({\text{Dmod}}_{X}(M))$ .

Кроме того, существуют следующие категориальные свойства

Категория смешанных модулей Ходжа над точкой изоморфна категории смешанных структур Ходжа: ${\textbf {MHM}}(\{pt\})\cong {\text{MHS}}$
Каждый объект $M$ в ${\textbf {MHM}}(X)$ допускает весовую фильтрацию $W$ такая, что каждый морфизм в ${\textbf {MHM}}(X)$ строго сохраняет весовую фильтрацию, связанные градуированные объекты ${\text{Gr}}_{k}^{W}(M)$ являются полупростыми, и в категории смешанных модулей Ходжа над точкой это соответствует весовой фильтрации смешанной структуры Ходжа.
Существует дуализирующий функтор $\mathbb {D} _{X}$ поднятие дуализирующего функтора Вердье в $D_{cs}^{b}(X;\mathbb {Q} )$ что представляет собой инволюцию ${\textbf {MHM}}(X)$ .

Для морфизма $f:X\to Y$ алгебраических многообразий ассоциированные шесть функторов на $D^{b}{\textbf {MHM}}(X)$ и $D^{b}{\textbf {MHM}}(Y)$ иметь следующие свойства

$f_{!},f^{*}$ не увеличивайте веса комплекса $M^{\bullet }$ смешанных модулей Ходжа.
$f^{!},f_{*}$ не уменьшайте веса комплекса $M^{\bullet }$ смешанных модулей Ходжа.

Связь между производными категориями [ править ]

Производная категория смешанных модулей Ходжа $D^{b}{\textbf {MHM}}(X)$ тесно связано с производной категорией конструктивных пучков $D_{cs}^{b}(X;\mathbb {Q} )\cong D^{b}({\text{Perv}}(X;\mathbb {Q} ))$ эквивалент производной категории извращенных пучков. Это связано с тем, что функтор рационализации совместим с функтором когомологий. $H^{k}$ комплекса $M^{\bullet }$ смешанных модулей Ходжа. При рационализации имеется изоморфизм

${\text{rat}}_{X}(H^{k}(M^{\bullet }))={\text{ }}^{\mathbf {p} }H^{k}({\text{rat}}_{X}(M^{\bullet }))$

для средней извращенности $\mathbb {p}$ . Примечание ^[2]^{стр. 310} это функция $\mathbf {p} :2\mathbb {N} \to \mathbb {Z}$ отправка $\mathbf {p} (2k)=-k$ , что отличается от случая псевдомногообразий , где искажённость является функцией $\mathbb {p} :[2,n]\to \mathbb {Z} _{\geq 0}$ где $\mathbf {p} (2k)=\mathbf {p} (2k-1)=k-1$ . Напомним, что это определяется как взятие композиции перверсивных усечений с функтором сдвига, поэтому ^[2]^{стр. 341}

${\text{ }}^{\mathbf {p} }H^{k}({\text{rat}}_{X}(M^{\bullet }))={\text{ }}^{\mathbf {p} }\tau _{\leq 0}{\text{ }}^{\mathbf {p} }\tau _{\geq 0}({\text{rat}}_{X}(M^{\bullet })[+k])$

Этот тип установки также отражен в полученных функторах push и pull. $f_{!},f^{*},f^{!},f_{*}$ и с близкими и исчезающими циклами $\psi _{f},\phi _{f}$ , функтор рационализации переводит их в аналогичные перверсивные функторы в производной категории перверсивных пучков.

Тейта когомологии и Модули

Здесь мы обозначим каноническую проекцию в точку через $p:X\to \{pt\}$ . Одним из первых доступных смешанных модулей Ходжа является объект Тейта с весом 0, обозначаемый ${\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}$ который определяется как откат соответствующего объекта в $\mathbb {Q} ^{Hdg}\in {\textbf {MHM}}(\{pt\})$ , так

${\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}=p^{*}\mathbb {Q} ^{Hdg}$

Он имеет нулевой вес, поэтому $\mathbb {Q} ^{Hdg}$ соответствует весу 0 объекта Тейт $\mathbb {Q} (0)$ в категории смешанных структур Ходжа. Этот объект полезен, потому что его можно использовать для вычисления различных когомологий $X$ через формализм шести функторов и придать им смешанную структуру Ходжа. Их можно суммировать с помощью таблицы

${\begin{matrix}H^{k}(X;\mathbb {Q} )&=H^{k}(\{pt\},p_{*}p^{*}\mathbb {Q} ^{Hdg})\\H_{c}^{k}(X;\mathbb {Q} )&=H^{k}(\{pt\},p_{!}p^{*}\mathbb {Q} ^{Hdg})\\H_{-k}(X;\mathbb {Q} )&=H^{k}(\{pt\},p_{!}p^{!}\mathbb {Q} ^{Hdg})\\H_{-k}^{BM}(X;\mathbb {Q} )&=H^{k}(\{pt\},p_{!}p^{*}\mathbb {Q} ^{Hdg})\end{matrix}}$

Более того, учитывая закрытое вложение $i:Z\to X$ существует локальная группа когомологий

$H_{Z}^{k}(X;\mathbb {Q} )=H^{k}(\{pt\},p_{*}i_{*}i^{!}{\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg})$

структур смешанных Вариации Ходжа

Для морфизма многообразий $f:X\to Y$ карты продвижения вперед $f_{*}{\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}$ и $f_{!}{\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}$ дают вырождающиеся вариации смешанных структур Ходжа на $Y$ . Чтобы лучше понять эти вариации, необходимы теорема о разложении и когомологии пересечения.

Когомологии пересечения [ править ]

Одной из определяющих особенностей категории смешанных модулей Ходжа является тот факт, что когомологии пересечения могут быть сформулированы на ее языке. Это позволяет использовать теорему о разложении для отображений $f:X\to Y$ сортов. Чтобы определить комплекс пересечений, пусть $j:U\hookrightarrow X$ быть открытой гладкой частью разнообразия $X$ . Тогда комплекс пересечений $X$ может быть определен как

$IC_{X}^{\bullet }\mathbb {Q} ^{Hdg}:=j_{!*}{\underline {\mathbb {Q} }}_{U}^{Hdg}[d_{X}]$

где

$j_{!*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{U}^{Hdg})=\operatorname {Image} [j_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{U}^{Hdg})\to j_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{U}^{Hdg})]$

как с извращенными снопами ^[2]^{стр. 311}. В частности, эту установку можно использовать для отображения групп когомологий пересечения.

$IH^{k}(X)=H^{k}(p_{*}IC^{\bullet }{\underline {\mathbb {Q} }}_{X})$

иметь чистый вес $k$ Структура Ходжа.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ «Структура Ходжа через фильтрованные $\mathcal{D}$-модули» . www.numdam.org . Проверено 16 августа 2020 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Питерс, К. (Крис) (2008). Смешанные структуры Ходжа . Шпрингер Берлин Гейдельберг. ISBN 978-3-540-77017-6 . OCLC 1120392435 .

Руководство для молодежи по смешанным модулям Ходжа

[1] «Структура Ходжа через фильтрованные $\mathcal{D}$-модули» . www.numdam.org . Проверено 16 августа 2020 г.

[:0-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Питерс, К. (Крис) (2008). Смешанные структуры Ходжа . Шпрингер Берлин Гейдельберг. ISBN 978-3-540-77017-6 . OCLC 1120392435 .

[1]

[2]