Гиперпокрытие

В математике и, в частности, в теории гомотопий , гиперпокрытие (или гиперпокрытие) — это симплициальный объект , который обобщает чеховский нерв покрытия . Для чеховского нерва открытой крышки ${\mathcal {U}}\to X$, можно показать, что если пространство $X$ компактно, и если каждое пересечение открытых множеств в покрытии стягиваемо, то можно сжать эти множества и получить симплициальное множество, слабо эквивалентное $X$ естественным образом. Для этальной топологии и других сайтов эти условия не выполняются. Идея гиперкавера заключается в том, чтобы вместо работы только с $n$-кратные пересечения множеств данного открытого покрытия ${\mathcal {U}}$, чтобы разрешить попарные пересечения множеств в ${\mathcal {U}}={\mathcal {U}}_{0}$ быть прикрытым открытой крышкой ${\mathcal {U}}_{1}$, и позволить тройным пересечениям этого покрытия быть покрыты еще одним открытым покрытием ${\mathcal {U}}_{2}$и так далее, итеративно. Гипернакрытия играют центральную роль в этальной гомотопии и других областях, где теория гомотопии применяется к алгебраической геометрии , таких как мотивная теория гомотопии .

Формальное определение

Исходное определение этальных когомологий, данное Жаном-Луи Вердье в SGA4 , Expose V, Sec. 7, Thm. 7.4.1, для вычисления пучковых когомологий в произвольных топологиях Гротендика. Для сайта étale определение следующее:

Позволять $X$ — схема и рассмотрим категорию этальных схем над $X$. Гиперпокрытие . — это полусимплициальный объект $U_{\bullet }$ этой категории такой, что $U_{0}\to X$ это этальная кавер-версия и такая, что $U_{n+1}\to \left(\left(\operatorname {\mathbf {cosk} } _{n}:=\operatorname {cosk} _{n}\circ \operatorname {tr} _{n}\right)U_{\bullet }\right)_{n+1}$ это этальный кавер для каждого $n\geq 0$.

Здесь, $U_{n+1}\to \left(\operatorname {\mathbf {cosk} } _{n}U_{\bullet }\right)_{n+1}$ - это предел диаграммы, которая имеет одну копию $U_{i}$ для каждого $i$-размерная грань стандарта $n+1$-симплекс (для $0\leq i\leq n$), один морфизм для каждого включения граней и карта увеличения $U_{0}\to X$ в конце. Морфизмы задаются граничными отображениями полусимплициального объекта $U_{\bullet }$.

Свойства

Теорема Вердье о гипернакрытии утверждает, что когомологии абелевых пучков этального пучка можно вычислить как копредел когомологий коцепей по всем гипернакрытиям.

Для локально нетеровой схемы $X$, категория $HR(X)$ гипернакрытий по модулю симплициальной гомотопии является кофильтрующим и, таким образом, дает прообъект в гомотопической категории симплициальных множеств. Геометрической реализацией этого является гомотопический тип Артина-Мазура . Обобщение Э. Фридлендера с использованием бисимплициальных гиперпокрытий симплициальных схем называется этальным топологическим типом.

Ссылки

• Артин, Майкл; Мазур, Барри (1969). Этальная гомотопия . Спрингер.
• Фридлендер, Эрик (1982). Этальная гомотопия симплициальных схем . Анналы математических исследований, ПНП.
• Конспект лекций Г. Куика « Этальная гомотопическая лекция 2 ».
• Гиперкавер в n Lab